数字信号处理资源第3章 离散傅里叶变换(DFT).pptx

1、第3章离散傅里叶变换(DFT),3.1离散傅里叶级数变换(DFS)3.2离散傅里叶变换的定义和性质3.3频域取样3.4离散傅里叶变换的应用,3.1离散傅里叶级数变换(DFS),3.1.1离散傅里叶级数变换引入3.1.2离散傅里叶级数的主要性质,3.1.1离散傅里叶级数变换引入,为了更好地理解离散傅里叶变换的概念，作为一种过渡，先简要地研究离散傅里叶级数(简称DFS)。,3.1.2离散傅里叶级数的主要性质,1.线性特性2.序列移位3.周期卷积特性,1.线性特性,若有周期皆等于N的两个离散周期序列x1(n)和x2(n)线性组合成一个新的周期序列x3(n) x3(n)=ax1(n)+bx2(n)(3

2、-10) 则 X3(k)=DFSax1(n)+bx2(n)=aX1(k)+bX2(k)(3-11) 式中a,b为任意常数。线性特性可根据DFS的定义证明。由于是线性组合，所以x3(n)的周期长度不变，仍为N。X3(k)也是周期为N的离散周期序列。,2.序列移位,(1)时域移位。(2)频域移位。,(1)时域移位。,周期序列x(n)左移m位后，得x(n+m)，则 DFSx(n+m)=W-kmNx(k) (3-12),(2)频域移位。,当将X(k)左移l时，得X(k+l)，则 IDFSX(k+l)=WnlNx(n),3.周期卷积特性,(1)时域卷积。(2)频域卷积。,(1)时域卷积。,图3-1周期卷

3、积,(2)频域卷积。,对于周期序列的乘积，存在着频域的周期卷积。若 x3(n)=x1(n)x2(n) 则X3(k)=DFSx3(n)=1NN-1l=0X1(l)X2(k-l,3.2离散傅里叶变换的定义和性质,3.2.1离散傅里叶变换的定义3.2.2离散傅里叶变换的性质,3.2.1离散傅里叶变换的定义,图3-2有限长序列及其周期延拓,3.2.2离散傅里叶变换的性质,1.线性特性2.离散傅里叶逆变换的另一公式3.对称定理4.反转定理5.序列的总和6.序列的始值7.延长序列的离散傅里叶变换8.序列的圆周移位,1.线性特性,若两个有限长序列x1(n)和x2(n)的线性组合为 x3(n)=ax1(n)+

4、bx2(n),2.离散傅里叶逆变换的另一公式,离散傅里叶逆变换形式与正变换不同之处在于WN因子用负指数，且有一比例系数1N。离散傅里叶逆变换还有另一种形式，即 x(n)=1NN-1k=0X*(k)WknN*0nN-1 (3-27) 1NN-1k=0X*(k)WknN*=1NN-1k=0X(k)W-knN=x(n) (3-28),3.对称定理,若x(n)的离散傅里叶变换为X(k)，则当时间序列具有频谱序列的形状X(n)时，其对应的离散傅里叶变换对如下： 1Nx(n)X(-k) X(-k)=X(N-k) 式(3-29)说明X(n)的对应频谱序列具有原来的时间序列x(n)在时间上倒置的形状。,4.反

5、转定理,若x(n)的离散傅里叶变换为X(k)，则x(-n)的离散傅里叶变换为X(-k)。这可直接由离散傅里叶变换的定义得到证明。,5.序列的总和,列长为N的时间序列x(n)中各取样值的总和等于其离散傅里叶变换X(k)在k=0时的值，即 X(k)k=0=N-1n=0 x(n)WknNk=0=N-1n=0 x(n),6.序列的始值,若序列的离散傅里叶变换为X(k)，则对应的时间序列x(n)的始值x(0)为频谱序列各取样值X(k)的总和除以N，即 x(0)=1NN-1k=0X(k),7.延长序列的离散傅里叶变换,把序列x(n)，0nN-1,填充零值，人为地加长到rN，得到 g(n)0nrN-1 式中

6、，r为正整数，而 g(n)=x(n)0nN-10NnrN-1 g(n)的离散傅里叶变换为 G(k)=DFTg(n)=rN-1n=0g(n)e-j2nkrN =N-1n=0 x(n)e-j2nkrN=Xkrk=0,1,rN-1,8.序列的圆周移位,(1)圆周移位。(2)有限长序列圆周移位定理。,8.序列的圆周移位,图3-3圆周移位过程图,(1)圆周移位。,一列长为N的有限长序列x(n)，在0nN-1区间内取非零值，如图3-3a所示。如令其沿坐标n右移m后仍在0nN-1区间内取值，如图3-3b所示，则将发生信息损失。为避免这种情况，可将x(n)以N为周期做周期延拓得 x(n)= x(n)N 再把x

7、(n)偏移m得 x(n+m)=x(n+m)N,(2)有限长序列圆周移位定理。,图3-4序列圆周移位a)N等分的圆周b)将序列排列在N等分的圆周上c)将圆周旋转得序列x(n)的圆周移位,3.3频域取样,3.3.1对X(z)取样时取样点数的限制3.3.2X(z)的内插公式,3.3.1对X(z)取样时取样点数的限制,对任一绝对可和的非周期序列x(n)的z变换X(z)在单位圆上(即对X(ej)进行等距取样得 X(k)=X(z)z=W-kN=n=-x(n)WnkN(3-37),3.3.2X(z)的内插公式,图3-5内插函数的振幅与相位特性,3.4离散傅里叶变换的应用,3.4.1用DFT计算线性卷积3.4.2用DFT对信号进行谱分析,3.4.1用DFT计算线性卷积,图3-6用DFT计算圆周卷积,3.4.1用DFT