本科经济计量学第2章(自学)(第3版).ppt

1、第一部分概率论与统计学基础第2章概率与概率分布,2.1 一些符号,2.2 试验 样本空间 样本点和事件,2.3 随机变量,2.4 概率,2.5 随机变量及其概率分布,2.6 多元 随机变量的概率密度函数,2.7 总结,2.1 一些符号,或,求和符号：,求和符号的性质：,1.若k为常数，则有：,2.若k为常数，则有：,3.,4.若 a, b为常数，则有：,2.2 试验 样本空间 样本点 事件,1. 随机试验（random experiment）是指至少有两个可能结果，但不确定哪一个结果会出现的过程。,例2.1：抛一枚硬币 掷一颗骰子 从一副纸牌中抽取一张牌,？你还有其它的例子吗？ ？抛币100次

2、，正面朝上70次，你会认为该币均匀吗？,2. 样本空间或总体（population or sample space）：随机试验所有可能结果的集合。,例2.2 ：抛两枚同样的均匀硬币。H代表正面朝上，T代表正面朝下。则有四种结果：HH，HT，TH，TT。 样本空间（ HH，HT，TH，TT ）,例2.3：在一种双回合游戏中,O1表示两个回合全部获胜; O2表示第一回合获胜，第二回合失败；O3表示第一回合失败，但第二回合获胜；O4表示两个回合全部失败。 样本空间（O1，O2，O3，O4）,3. 样本点（sample point）样本空间的每一元素，即每一种结果。,4. 事件（events）：随机试

3、验的可能结果组成的集合。它是样本空间的一个子集。,例2.4 ：在例2.2中，若事件 A 表示一枚硬币正面朝上，一枚硬币正面朝下。则事件 A 由2个样本点构成：HT、TH。即A=(HT,TH)。 若考察事件B：两枚硬币中至少有一枚正面朝上，则B事件由3个样本点构成，即B=(HH，HT，TH)。,！如果两个事件不能同时发生，则两个事件称为互斥的（mutually exclusive）。,！如果一个事件的发生与另一个事件发生的可能性相同，则两个事件称为等可能性的（equally likely）。,！如果可以穷举试验的所有可能结果，事件称为可能性的穷举事件（collectively exhaustiv

4、e）。,2.3 随机变量,例2.5：再来看例2.2，若变量 X 表示抛两枚硬币正面朝上的个数。有如下情况： 第一枚硬币 第二枚硬币 正面朝上的次数 T T 0 T H 1 H T 1 H H 2,随机变量（stochastic or random variable）：取值由随机试验的结果所决定的变量称为随机变量。,X的取值可能是0，也可能是1或 2。其取值与随机试验的结果有关，X是一个随机变量(R.V或r.v)。,返回,随机变量可分为： 离散型（discrete）随机变量（随机变量的取值是离散的，只能取有限多个或可列多个）； 连续型（continuous）随机变量（随机变量的取值是在连续区间内

5、，可以取在某一区间的任一值），如某年龄的人的身高、体重等随机变量。,2.4 概率,此定义有两个特征： * 试验的结果有限，且必须互斥 * 试验的每一个结果等可能发生,1. 事件概率的古典定义：如果一个随机试验的n种可能结果是互斥的，且每个结果等可能发生，事件A含有m个基本结果，则事件A发生的概率(probability)，即P(A)就是：,例2.6 掷一颗均匀骰子，有6种可能结果：1，2，3，4，5，6。这些结果互斥并且等可能发生（为什么）？因而，根据古典概率定义，任何一个数字朝上的概率为1/6。这里，m=1, n=6,？在一副有52张的扑克中，抽一张为K的概率为多少 ?,返回,？在此定义中要

6、求试验的结果互斥且等可能发生吗？,2. 概率的频率定义（经验定义） ：如果在n次试验（或n 个观察值）中， m次有利于事件A，假定试验的次数n足够多，那么，事件A发生的频率就很好地测度了事件A发生的概率P(A)。即：,例2.7下表给出200个学生微观经济学的考试成绩分布(频率分布) 200个学生微观经济学的考试成绩分布 分数 区间均值点 频数 频率 0-9 5 0 0 10-19 15 0 0 20-29 2 0 0 30-39 35 10 0.050 40-49 45 20 0.100 50-59 5 35 0.175 60-69 65 50 0.250 70-79 7 45 0.225 8

7、0-89 85 30 0.150 90-99 95 10 0.050 总计 200 1,重要性质1.事件A的概率满足： 0P（A）12.若事件A，B，C，为互斥事件，则 P（A+B+C+ ）=P（A）+P（B）+P（C）+ 3.若事件A，B，C， 为互斥事件，且为一完备事件组，则 P（A+B+C+ ）=P（A）+P（B）+P（C） + =1,例2.8 在例2.6中，1，2，3，4，5，6组成一个完备事件组，则 P(1+2+3+4+5+6) =P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) =1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 =1,3. 概率的性质,常用性质 1.事件A

8、，B 称为相互独立事件，若 P（AB）=P（A）P（B） 2.若事件A，B 不是互斥事件，则有 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） 3.对应任一事件A，都有互补事件A，并且，,例2.9：在例2.5中，两枚正面都朝上的概率是多少？令A表示第一枚正面朝上，B表示第二枚正面朝上，因此现在要求概率P（AB）,P（AB）=P（A）P（B）=1/21/2 =1/4,？若事件A和B互斥，P（AB）=0？,例2.10从一副扑克中抽取一张，是红心或是皇后的概率是多少？显然，抽红心和抽皇后不是互斥事件(Why？). 因而有：,P(红心或是皇后)=P(红心)+P(皇后)-P(既是红心又是皇后) = 13/

9、52+ 4/52- 1/52 = 4/13,4. 事件A的条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率。用符号P(A | B)表示。有下列公式：,例2.11 会计入门班有500个学生，其中男生300人，女生200人。在这些学生中，100个男生和60个女生计划主修会计学。现在，随机抽取一人，发现该学生计划主修会计学。那么，该学生是男生的概率是多少？,令A表示学生是男生，B表示学生主修会计学，则要求的概率为：P(A|B)。 可知：P(AB)=100/500，P(B)=160/500 则： P(A|B)= P(AB)/ P(B)=5/8,？一般地，P（A|B）是否等于P（A）？何时相等？,2.5

10、随机变量及其概率分布,2.5.1 离散型随机变量的概率分布 令随机变量X取离散值 函数f定义为,称为概率质量函数（probability mass function, PMF）或简称为概率函数（probability function, PF）。PMF有如下性质：,例2.13 随机变量X表示抛两次硬币正面朝上的次数。X 取3个不同的值：0，1，2 X 0 1 2 PF 1,1/2 1/4,图2-2“抛两枚硬币正面朝上”的PMF,0 1 2,度量连续型随机变量概率分布的函数是概率密度函数。 概率密度函数（probabiltity density function,PDF）度量的是连续随机变量在某

11、一特定范围或区间内的概率。,如X代表一连续随机变量:身高，我们欲求“人的身高”在某一区间内(如6068英寸)的概率，图2-3中的阴影部分即为该区间的概率。,2.5.2 连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量的PDF也记为f (x)，有：,PDF具有如下一些性质：,连续随机变量取单点值的概率为0。,2.5.3 累积分布函数(cumulative distribution function , CDF) F(x) 定义如下： F(x)=P(Xx) 其中，P(Xx)表示随机变量X取小于或等于x的概率。,具有如下性质：,例2.15 抛一均匀硬币4次，求随机变量X(正面朝上的次数)的PMF和CDF。,

12、PMF CDF X X 值 f( ) X值 F( ) 0 0 1/16 0 x1 1/16 1 1 4/16 1x2 5/16 2 2 6/16 2x3 11/16 3 3 4/16 3x4 15/16 4 4 1/16 4x 1,右图为例2.15中随机变量X的累积分布函数,X值 F( ) 0 x1 1/16 1x2 5/16 2x3 11/16 3x4 15/16 4x 1,2.6 多元概率密度函数,用多个随机变量来描述一个试验的结果，求得的概率密度称为多元概率密度。,若X1,X2,X3,Xn都是随机变量，则( X1,X2,X3,Xn )构成一个n维的随机向量，也称n元随机变量。 常见的是二

13、维随机向量。,例2.17 一个计算机零售店出售个人电脑和打印机。每天售出的电脑和打印机数量不同，店主记录了过去200天每天的销售状况，见表2-2。,表2-3提供了一个双变量（或联合）概率密度函数，通常用f（X,Y）表示。表中每值均为联合概率。 一般地，令X、Y是两个离散型随机变量，那么函数： f(X,Y) = P(X= x,Y= y),独立性,2.6.1 边缘概率密度函数 边缘概率密度函数：当X取一给定值，而无论Y取值如何时的概率称为X的边缘概率，其概率密度称为X的边缘概率密度函数。 下表是例2.14中随机变量X，Y的边缘分布。,0 0.08 0 0.11 1 0.12 1 0.16 2 0.24 2 0.23 3 0.24 3 0.27 4 0.32 4 0.23 总计 1.00 总计 1.00,X f(X) Y f(Y),表2-4 个人电脑售出数量X和打印机售出数量Y的边缘分布,2.6.2 条件概率函数（离散型） 在给定 条件下Y取值的概率称为Y的条件概率密度函数,计算条件概率密度的方法,？在例2.17中，求P(Y=4|X=4)=？,类似地，给出X的条件概率密度函数：,2.6.3 统计独立性 统计独立性：两个变量X和Y称为统计独立的，当且仅当它们的联合分布密度函数可以表示成其边缘密度函数之积。即,例2.18 一个袋子里放着分别写有1，2，3的小球。现从袋中有放回地随机抽取两