2013版高中全程复习方略配套课件：4.1平面向量的概念及其线性运算(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

1、第一节 平面向量的概念及其线性运算,完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！,三年3考高考指数: 1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.,1.平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考

2、查的重点，也是热点，难度中等偏下. 2.题型以客观题为主，与解析几何交汇命题则以解答题为主.,1.向量的有关概念 （1）定义：既有 又有 的量叫做向量. （2）表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示 向量的 ，用箭头所指的方向表示向量的 .用a,b,或用 ， 来表示. （3）模：向量的 叫做向量的模，记作|a|,|b|或 ，,大小,有向线段,大小,方向,长度,方向,【即时应用】 （1）判断下列命题的真假：（请在括号中填写“真”或“假”） 向量的大小是实数 ( ) 向量可以用有向线段表示 ( ) 向量就是有向线段 ( ) 向量 的长度和向量 的长度相等 ( ) （2）请写出物理中的三个向量

3、 .,【解析】（1）向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实 数，故为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度 为向量的大小，有向线段的方向为向量的方向，所以为真； 为假； 与 是大小相等、方向相反的向量，故为真. （2）由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度等都为向 量. 答案：（1）真 真 假 真 (2)速度、力、加速度（答案不唯一）,2.特殊向量 （1）零向量：长度为_的向量叫做零向量，记作0；零向量的 方向 . （2）单位向量：长度为 的向量叫做单位向量. （3）共线向量：方向相同或 的向量叫做共线向量，共线 向量也叫做 向量；规定：零向量与任何向量共线. （4）相等向量：长

4、度 且方向 的向量叫做相等向量. （5）相反向量：长度 且方向 的向量叫做相反向量.,不确定,1个单位,相反,平行,相等,相同,相等,相反,0,【即时应用】 (1)判断下列命题的真假：（请在括号中填写“真”或“假”） 若a与b平行，则b与a方向相同或相反 ( ) 若a与b平行同向，且|a|b|,则ab ( ) |a|=|b|与a、b的方向没有关系 ( ) (2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是 .,【解析】（1）假，当a为零向量时，方向是不确定的. 假，向量不能比较大小. 真，向量a与b的模相等，即长度相等，与方向无关. （2）这些向量的终点所构成的图形是

5、以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆. 答案：（1）假 假 真 （2）圆,3.向量的加法与减法,求两个向量和的运算,三角形法则,三角形法则,平行四边形法则,【即时应用】 （1）下列命题是否正确.（请在括号中填“”或“”） ( ) ( ) ( ) (2)若菱形ABCD的边长为2，则| |= .,【解析】(1)不正确.因为 正确.因为 正确.因为 (2) . 答案：(1) (2)2,4.向量的数乘与共线向量定理 （1）向量的数乘 长度：| a|= 方向 当0时，a的方向与a的方向 ； 当0时，a的方向与a的方向 ， 当=0时，a= ,其方向是任意的.,|a|,相同,相反,0,（2）向量的数乘的运

6、算律 设,为实数，则 (a)= ; (+)a= ；(a+b)= . （3）共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 .,()a,a+a,a+b,b=a,【即时应用】 （1）思考：在共线向量定理中，当a=0时，还唯一吗？,提示：当a=0且b=0时，可以为任意实数，不唯一，当a=0且b0时，不存在.,（2）填空 8(a+c)+7(a-c)-c= . (2a)+8b-(4b+2b)= . 设两非零向量e1,e2不共线，且k(e1+e2)(e1+ke2)，则实数k 的值为 . 点C在线段AB上，且 = 则 =_,【解析】原式=8a+8c+7a-7c-c=15a. 原式= (a

7、+8b-4b-2b)= (a+2b) k(e1+e2)(e1+ke2)， k(e1+e2)=(e1+ke2) 即(k-)e1=(k-k)e2 e1,e2不共线，, 解得k=0或1. 又 ， 答案：15a (a+2b) 0或1 ,例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！,平面向量的有关概念 【方法点睛】 1.平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向

8、量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.,2.几个重要结论 （1）相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； （2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； （3）平行向量与起点无关.,【例1】已知下列命题： 单位向量都相等 若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量 两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同 由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行 如果a=b,b=c,则a=c 如果|a|=|b|，则a与b的方向相同 . 其中不正确的命题是_（请把不正确的命题的序号都填上）. 【

9、解题指南】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确.,【规范解答】各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不正确；当b=0时，a与c可以为任意向量，故不正确；两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故不正确；规定0与任意向量平行，故不正确；如果a、b、c都为零向量，则a=c,如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，所以a=c,故正确；不正确. 答案：,【反思感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中的模型进行类比和联想来记忆.,【变式训练】给出下列命题: (1)

10、两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. (2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. (3)a=0(为实数),则必为零. (4),为实数,若a=b，则a与b共线. 其中错误命题的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4,【解析】选C.(1)错误.两向量共线要看其方向而不是起点与 终点. (2)正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小. (3)错误.当a=0时,不论为何值,a=0. (4)错误.当=0时, a=b,此时a与b可以是任意向量.,平面向量的线性运算 【方法点睛】 1.平面向量的线性运算法则的应用 三角形法则和平行四边

11、形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则.,2.两个重要结论 （1）向量的中线公式：若P为线段AB中点，则 = （ ） （2）向量加法的多边形法则 【提醒】当两个向量共线（平行）时，三角形法则同样适用.向 量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但 当两个向量共线（平行）时，平行四边形法则就不适用了.,【例2】（1）在ABC中，若D是AB边上一点，且 ， ，则=( ) （A） （B） （C） （D） (2)在ABC中，若O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且 =0，那么( ) （A） （B） （C） （D）,（3）(2012杭州模拟）平面

12、上点P与不共线的三点A、B、C满 足关系： ，则下列结论正确的是( ) （A）P在CA上，且 （B）P在AB上，且 （C）P在BC上，且 （D）P点为ABC的重心,【解题指南】（1）D是AB边上的三等分点，把 用 、 表 示；（2）由D为BC边中点可得 即可求解；（3）把 AB化成以P为起点的向量，即,【规范解答】(1)选A. = + + = ，所以= ，故选A. (2)选A.因为D为BC边中点， ,又 =0，即 ，故选A. (3)选A. ， ,P在CA上.,【互动探究】若（1）中的条件作如下改变： 在ABC中，若点D是AB边延长线上的一点且| |， ，若 = + ,则-的值为 . 【解析】由

13、题意知，B为AD的中点，又 = 又 = ， =2,=-1， -=3. 答案：3,【反思感悟】用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题的基础，除了利用向量的线性运算法则外，还应充分利用平面几何的一些定理，如三角形的中位线定理、相似三角形的对应边成比例等.,【变式备选】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC 的中点，G为BF、DE的交点，若 =a, =b, 试用a,b来表示 、 、 【解析】 =a+ b-b=a- b， = ， 连接BD，因为G是CBD的重心， 所以 = （ ）=- =- （a+b）.,共线向量定理的应用 【方法点睛】 1.共线向量定理及其应用 （1）可以利用共线向量

14、定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值. （2）若a,b不共线，则a+b=0的充要条件是=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛. 2.证明三点共线的方法 若 = ，则A、B、C三点共线.,【例3】已知a,b不共线， =a, =e,设 tR，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在 一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由. 【解题指南】先假设存在，再用a,b表示目标向量，最后判断是 否有 成立即可.,【规范解答】由题设知， =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb,C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得 ，即

15、（t-3）a+tb=-3ka+2kb, 整理得（t-3+3k）a=(2k-t)b. 因为a,b不共线，所以有 ，解之得t= . 故存在实数t= 使C，D，E三点在一条直线上.,【反思感悟】（1）注意待定系数法在解决此类问题中的应用.其中的k只是桥梁，可设而不求. （2）本例中应用待定系数法求t的值时，不可忽视a,b不共线的条件.,【证明】 =3 +(-2 )=e1+2e2， =- ,又 =-2e1-4e2, =2 ， 与 共线， A、C、D三点共线.,【变式训练】设e1与e2是两个不共线的非零向量，若向量 =3 , =-2 , =-2 ,试证明：A、C、D三点共线.,【解析】设a-tb= (R

16、)， 化简整理得( )a+(t- )b=0， a与b不共线， 故t= 时，a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上,【变式备选】设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，tR，t为何值时，a，tb， (ab)三向量的终点在一条直线上？,把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。,【创新探究】以向量为背景的新定

17、义问题 【典例】(2011山东高考）设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标 系中两两不同的四点，若 = (R)， = (R)，且 + =2,则称A3,A4调和分割点A1,A2，已知 平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是( ),（A）C可能是线段AB的中点 （B）D可能是线段AB的中点 （C）C，D可能同时在线段AB上 （D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上 【解题指南】本题为信息题，由 = (R)， = (R)知：A1,A2,A3,A4四点共线，且不重合.因为 C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，设 , ，则 + =2,然后逐项代入验证.,【规范解答】选D.由 = (R)， = (R)知：四点A1,A2,A3,A4在同一条直线上，且不重合. 因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线 上，设 ，则 =2,选项A中c= ,此时d不存 在，故选项A不正确；同理选项B也不正确；选项C中，02，也不正确，故选D.,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：,1.(2012丽水模拟）如图所示，向量 =a, =b