什么是高等数学.ppt

1、引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束,引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就

2、立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地

3、运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,第一节 目录 上页 下页 返回 结束,华罗庚,给出了几何问题的统一,笛卡儿 (15961650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外,一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.,把几何问题化成代数问题 ,作图法,华罗庚(19101985),我国在国际上享有盛誉的数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文

4、近 300 篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是,“ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业,知识漫到其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.,第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,映射与函数,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,一、 集合,1. 定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集

5、合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无限区间,点的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,半开区间,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,机动 目录 上页 下页 返

6、回 结束,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算,定义2 .,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,二、 映射,1. 映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位 的集合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例1.,引例2.,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,机动 目录 上

7、页 下页 返回 结束,定义4.,设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应 ,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 ;,Y 的子集,称为 f 的 值域 .,注意:,1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 .,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单

8、射,则称 f 为双射 或一一映射.,引例2, 3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例2,引例2,例1.,海伦公式,例2.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),例3.,如图所示,则有,(满射),(满射),机动 目录 上页 下页 返回 结束,X (数集 或点集 ),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X ( ),Y (数集),机动 目录 上页 下页 返回 结束,f 称为X 上的泛函,X ( ),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的为函数,映射又称为算子.,名称. 例如,2. 逆映射与复合映射,(1) 逆映射的定义,定义:,若映射,为单

9、射,则存在一新映射,使,习惯上 ,的逆映射记成,例如, 映射,其逆映射为,其中,称此映射,为 f 的逆映射 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 复合映射,机动 目录 上页 下页 返回 结束,手电筒,D,引例.,复合映射,定义.,则当,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复,设有映射链,记作,合映射 ,时,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 构成复合映射的条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射的情形.,定义域,三、函数,1. 函数的概念,定义4. 设数集,则称映射,为定义在,D 上的函数 ,记为,f ( D ) 称为值域,函数图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束

10、,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如, 反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.,定义域,值域,又如, 绝对值函数,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,(见上册 P11 ),(2) 单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称

11、 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定

12、存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指数函数,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,机动 目录 上页 下页

13、返回 结束, 复合映射的特例,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,4. 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,( 自学, P17 P2

14、1 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 集合及映射的概念,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,作业 P21 6 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ; 18; 19; 20,2. 函数的定义及函数的二要素,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,且,备

15、用题,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 . 设函数,的图形与,均对称, 求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数 ,周期为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,二 、收敛数列的性质,三 、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数列的极限,数学语言描述:,一 、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术) ,当 n N 时

16、,用其内接正 n 边形的面积,总有,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,趋势不定,收 敛,发 散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,

17、故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、收敛数列的性质,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,1. 收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明数列

18、,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,有,数列,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 收敛数列的保号性.,若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动 目录 上页 下页 返回

19、结束,*,4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、极限存在准则,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !,夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .,则原数列一定发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,1. 夹逼准则 (准则1) (P49),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 证明,证:

20、 利用夹逼准则 .,且,由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ),( 证明略 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设,证明数列,极限存在 . (P52P54),证: 利用二项式公式 , 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大,大,正,又,比较可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,原题 目录 上页 下页 返回 结束,又,*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55),数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数 N ,使当,时,证: “必要性”.,设,则,时, 有,使当,因此,“充分性” 证明从略 .,有,柯西 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,3. 极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的