衍射的角谱理论.ppt

1、由标量衍射理论知，相干光场在给定二平面间的传播过程就是通过一个二维线性系统 （除夫琅和费衍射外）；一定条件下为线性空不变系统。 函数 是二维线性空不变系统的本征函数 函数 表示振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅分布 与平面波的传播方向相联系 ,表示了单色平面波的传播方向,2.3 衍射的角谱理论,被称为 光场分布的角谱。 任一平面光波场可以看成无数组传播方向不同、幅值不同的平面波叠加而成，在叠加时各平面波有自己的振幅和相位，它们的值分别为角谱的模和幅角,傅里叶反变换的物理意义,复振幅分布的角谱,如果把相干光场在自由空间两平面间的传播看作是通过一个二维线性空不变系统，则单色平面波在该输入平面

2、上形成的分布即为该系统的本征函数。 单色平面波与本征函数之间的这种联系不是偶然的。单色平面波在自由空间中传播一段距离后，只是相位改变一定数值，而无其它变化，即相当于乘上一个复常数，这恰好就是本征函数的表达式。,复振幅分布的角谱,由函数 的傅里叶变换关系式有 为光波场的角谱 用方向余弦表示,平面波角谱的传播,孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面被分量的线性组合。每一平面被分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。,孔径平面(x0, y0)的场分布为 ，观察平面上的场分布为 ，则它们相应的角谱相应为 和,复振幅分布的角谱,假如我们能够找到 和 之间的关系，就知道了每

3、一平面波分量在传播过程中振幅和相位发生的变化，自然也就可以确定整个光场由孔径平面传播到观察平面所发生的变化。,角谱之间的关系,角谱传播规律的基础仍然是标量波动方程 所满足的波动方程为,解微分方程，得到方程的一个基本解是 由边界条件确定。在z=0处即为孔径平面 ，角谱是 ，因此,角谱之间的关系,角谱之间的关系,上式物理意义：通过z0平面上光场的角谱就可以求出观察面上的角谱。然后通过博里叶逆变换求出观察面上的复振幅分布。 上式具有和基尔霍夫衍射公式同等的价值。,当传播方向余弦 满足 时，角谱关系式才真正对应于空间某一确定方向传播的平面波。 这些平面波分量在空间传播一定距离z仅仅是引人了一定的相位移

4、动，而振幅不发生变化这与平面的性质相一致，平面在空间传播既不会改变方向，也不会改变振幅,几种情况讨论（1）,几种情况讨论（2）,公式中的平方根是虚数 式中 为实数。角谱将随z的增大而按指数衰减，在几个波长的距离内几乎衰减为0，对应于这些传播方向波动分量称为倏逝波，在通常情况下均略而不计,，在此情况下，该波动分量的传播方向垂直于z轴，它在z轴方向的净能流量为零。,几种情况讨论（3）,传递函数,将 写成 把 和 分别看做系统的输入和输出频谱，由上式给出的输入和输出频谱关系再次说明系统是线性不变系统。系统在频域的效应由传递函数表征：,传递函数,由于在所讨论的问题中，传播距离z总是极大于几个波长，所以

5、可忽略倏逝波，于是传递函数可以写做 这表明该系统的传递函数相当于一个低通滤波器，截止频率为 在频率平面上，这个滤波器的半径为的圆孔. 对于孔径比波长还小的精细结构，或者说空间频率高于 的信息，在单色平面波照明下不能沿z方向向前传播,基尔霍夫理论与角谱理论比较,基尔霍夫理论是描述球面子波相干叠加的衍射理论，角谱理论是衍射的平面波理论。 基尔霍夫理论与角谱理论是统的，它们都证明了光的传播现象可以看做线性不变系统。 基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播，是把孔径平面上的光场看做点源的集合，观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加，球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的

6、脉冲响应。 角谱理论是在频域讨论光的传播，将孔径平面光场分布看做许多不同方向传播的平面波的线性组合。观察平面上的场分布等于这些平面波分量的相干叠加，但每个平面波分量引入了相移。相移的大小决定于系统的传递函数，它是系统的脉冲响应的傅里叶变换。,孔径对角谱的影响,假定入射到孔径平面上的场分布为 ，衍射屏的复振幅透过率为 ，衍射屏后表面即出射光场为 。它们的关系为,孔径对角谱的影响,假设入射光场的角谱和透射光场的角谱 分别为 和 。 由傅里叶变换的卷积定理可得 是衍射屏或孔径透过率函数的傅里叶变换，即,特殊情况讨论,对于用单位振幅的平面波垂直照射衍射屏特殊情况下： 有,结果说明,通过衍射屏后，由函数

7、所表征的入射光场的角谱变成了孔径函数的傅里变换 ，显然角谱分量大大展宽了。 从空域看，孔径的作用限制了入射波面的大小；从频城看则是展宽了入射光场的角谱。,菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射,基尔霍夫衍射公式是一个比较通用情况下的表达式，直接用它来计算比较困难。 具有实用意义的是对这个普遍理论作某些近似，用所得到的近似公式计算一定范围内的衍射场分布。 按照近似程度不同，分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射,菲涅耳衍射,菲涅耳衍射条件下的衍射场分布 从 r 的近似条件 应当是在的展开式中被略去的高次项不致引起明显的相位差。右端第三项引起的相位变化为,菲涅耳近似条件,当z满足 也就是要求 菲涅耳衍射公式：,菲涅耳衍射

8、角谱公式,观察面上光场角谱与孔径平面上光场的角谱之间的关系为 其中 当 ，对相位因子中的根式作二项式展开,菲涅耳衍射角谱公式,上面展开式中第三项所贡献的相位远小于2，则上式中从第三项起都可以忽略不计，即z应满足 有 则,菲涅耳衍射角谱公式,由于 ， ，菲涅耳衍射条件下的传递函数为 对 作傅里叶反变换 有,菲涅耳衍射的角谱理论,这一表达式恰好与空间域中的脉冲响应相同。 这说明根据角谱理论得到的一个近似传递函数，其傅里叶逆变换正好是基尔霍夫理论中给出的一个经过近似的脉冲响应函数,菲涅耳衍射公式另一种形式,上式可以看作是傅里叶变换形式的菲涅耳 射公式。即菲涅耳衍射也可看作是对 的博里叶变换,夫琅禾费

9、衍射,当观察平面离开孔径平面的距离z进一步增大，使其不仅满足菲涅耳衍射条件，而且衍射公式中 的可以略去， 即要满足 或 上式表明，观察平面上的场分布正比于孔径平面上出射光场分布的傅里叶变换。,菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射比较,夫琅禾费衍射观察平面上的场分布正比于孔径平面上出射光场分布的傅里叶变换 。 菲涅耳衍射观察平面上的场分布正比于 的傅里叶变换。 因此，随着距离z的增大，观察平面上衍射光场分布会发生变化，即衍射图样会发生变化 。,菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射比较,在夫琅禾费近似满足的范围内，菲涅耳近似必然满足，所以凡能用来计算菲涅耳衍射的公式都能用来计算夫琅禾费衍射，反过来就不行了。 数学上采用夫

10、琅禾费近似之后，脉冲响应的空间不变性已不复存在，似乎夫琅禾费衍射现象已不再是线性空不变系统，也没有了传递函数. 但是，菲涅耳衍射区包含夫琅禾费衍射区，菲涅耳传递函数表达式 仍然有效。,衍射理论内容小结,衍射过程的研究方法: 空间域方法基尔霍夫标量衍射理论 空间频域方法角谱理论 根据衍射光波波长、衍射孔径大小以及观察面距离衍射面之间距离，衍射可分为基尔霍夫衍射、菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射。,基尔霍夫衍射,基尔霍夫衍射条件： （1）衍射孔径比光波长大得多。 （2）观察点距离衍射孔足够的远。 基尔霍夫衍射公式,基尔霍夫衍射脉冲响应：,在傍轴近似下,基尔霍夫衍射传递函数,菲涅耳衍射,衍射条件： 衍射公式： 脉冲响应： 传递函数：,夫琅禾费衍射,衍射条件： 衍射公式： 脉冲响应：,夫琅禾费衍射与傅里叶变换,由 其中 夫琅禾费衍射是最简单、常见的一种衍射,夫琅禾费衍射举例,余弦型振幅光栅空间频率为 ，透过率调制度为m，其透过率函数为 式中两个矩形函数因子