第一节 行列式的定义.ppt

1、线性代数,刘敏嘉 Email: MinjiaL,线性代数是研究什么的?,当然, 线性方程组在中学就学过, 比如下面就是一个线性方程组的例子:,简单地说，是研究怎样解线性方程组的.,一、线性代数绪论,一个庙里有一百个和尚,这中间有大和尚有小和尚, 这一百个和尚每顿饭总共要吃一百个馒头, 其中大和尚一个人吃三个, 小和尚三个人吃一个, 问有多少大和尚, 多少小和尚?,假设大和尚的数目是 x1, 小和尚的数目是 x2, 那么由第一 个条件, 总共有100个和尚, 可以知道,x1+x2=100,将上面两个方程联立, 就得线性方程组:,x1=100-x2 将其代入到(2)式, 得,因此算出共有75个小和

2、尚, 25个大和尚.,那么, 为什么还要开线性代数这门课程专门研究解线性方程组的问题呢? 线性代数要研究的是解有许多变元的线性方程组, 即变量的个数要比上例多得多, 可能是几十个变元, 上百个变元, 甚至成千上万个变元.因此, 线性代数给出的一般的线性方程组的形式是:,为什么解线性方程组的问题在实际的科学技术的研究领域中得到广泛地运用呢? 首先介绍什么叫线性什么叫非线性. 当一个变量 x 和另一个变量 y 成正比关系的时候, 比如说 那么, 称 x 与 y 呈线性关系, 因为它们的这个函数关系绘制的图形是一条直线. 当然, 这条直线还穿过原点, 因此称它们是齐次线性关系. 不穿过原点的直线也是

3、一种线性关系, 当然就是非齐次的, 比如 x=ay+b,等等都是非线性关系. 当然也有非线性方程组, 比如下面这个方程组: 就是非线性的, 它的一个解是,那么什么叫做非线性关系呢? 比如下面一些例子:,那么, 为什么线性代数得到广泛运用?,这是因为, 大自然的许多现象恰好是线性变化的.,按照辩证唯物主义的观点, 世间的一切事物都是在不断地运动着的. 所谓运动, 从数学上描述, 就是随时间而变化, 因此, 研究各个量随时间的变化率, 即导数, 与各个量的大小之间的关系, 就是非常重要的.,在物理学方面, 整个物理世界可以分为机械运动, 电运动, 还有量子力学的运动.,机械运动的基本方程是牛顿第二

4、定律, 即物体的加速度同它所受到的力成正比, 这是一个基本的线性微分方程. 由此根据不同的力学系统, 又可以构成更为复杂的微分方程. 电运动的基本方程是麦克思韦方程组, 这个方程组表明电场 强度与磁场的变化率成正比, 而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比, 因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组.,在经济学和会计学方面, 线性方程组也是得到广泛的运用 的. 比如上面这个例子实际上是一个经济学的例子, 是给一个 庙的和尚作伙食供给时的问题. 而实际过程如果不是一个庙, 而是一家公司, 这家公司的职员也不是分为两等, 而是许多 等, 他们的薪水不同, 消耗的生产或者办公器材的多少也不同, 投资多少

5、也不同, 这样也可以构成大量的线性方程组.,对于二元一次（二元线性）方程组,利用 消元法，得,1. 二阶行列式和二元线性方程组,二、二阶、三阶行列式,对于二元一次（二元线性）方程组,1. 二阶行列式和二元线性方程组,二、二阶、三阶行列式,定义1,称之为二阶行列式（determinantal)。,（其计算结果为一个值，称之为行列式的值。计算方法 是主对角线上的元素乘积减去副对角线上的元素乘积。）,例 1 解线性方程组,解 由于,例 1 解线性方程组,解 由于,2 三阶行列式和三元线性方程组,对于三元线性方程组,用消元法，同样可得其解为,定义 2,称为三阶行列式。,它表示一个数值，即,副对角线,主

6、对角线,=,同理,方程组的系数行列式,系数行列式D的第一列用常数列取代,例 2 用三阶行列式解三元线性方程组,解 系数行列式,三、n 阶行列式,假如用对角线法则，则有,例如,n阶行列式是否也可以用对角线法则来定义？,1 余子式与代数余子式,例如对于三阶行列式,我们有,继续讨论 二、三阶行列式,可见： 二阶行列式的值可以表示为第一行的元素 与其对应的代数余子式的乘积之和。,可见： 三阶行列式的值也可以表示为其第一行的 元素与其对应的代数余子式的乘积之和。,定义 3 n 阶行列式,或者,即：n阶行列式的值等于其第 i行（或第j列）的元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。这也叫行列式按第 i行（或第j列）展开。,2 n 阶行列式的定义,例 3 计算行列式,解 按第一列展开 ，有,此行列式称为上三角行列式，其值等于主对角线 上的元素的乘积。,0,（n-1阶）,上三角形行列式,逐次按第一列展