圆内接四边形性质定理

1、CDOBAEP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD，圆心为O，延长BC至E，AC、BD交于P，则：1、 圆内接四边形的对角互补：ABC+ADC=180，BCD+BAD=1802、 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：DCE=BAD3、 圆内接四边形对应三角形相似：BCPADP4、 相交弦定理：APCP=BPDP5、 托勒密定理：ABCD+ADCB=ACBD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。CABDO如图，连接OB、OD则A=，C=+=360A+C=360=180同理得B+D=180（也可利用四边形内角

2、和等于360）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形ABCD证明：A+C=180，B+D=180连接BO并延长，交O于E。连接AE、CE。则BE为O的直径BAE=BCE=90BAE+BCE=180BAE+BCE-DAE+DAE=180即BAE-DAE+BCE+DAE=180DAE=DCE（同弧所对的圆周角相等）BAE-DAE+BCE+DCE=180即BAD+BCD=180A+C=180B+D=360-（A+C）=180（四边形内角和等于360）【证明】方法三：AOBCD12435678利用四边形内角和为360及同弧所对的圆周角均相等连接AC、BD，将A、B、C、D分为八个

3、角1、2、3、4、5、6、7、81+2+3+4+5+6+7+8=360（四边形内角和为360） 4=1，7=2，8=5，3=6（同弧所对的圆周角相等）1+2+5+6=360=1801+2=A 5+6=CA+C=180B+D=360-（A+C）=180（四边形内角和等于360）2、 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明CDOBAEP如图，求证：DCE=BADBCD+DCE=180（平角为180）BCD+BAD=180（圆内接四边形的对角互补）DCE=BAD3、 圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：BCPADP，ABPDCP证明：CBP=DAP，BCP=ADP（一条弧所对圆周角等于它所

4、对圆心角的一半。）又APD=BPC（对顶角相等）BCPADPBAP=CDP，ABP=DCP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又APB=DPC（对顶角相等）ABPDCP4、 相交弦定理仍用上图，求证：APCP=BPDP证明：BCPADP（圆内接四边形对应三角形相似）（相似三角形的三边对应成比例）APCP=BPDPCDOBAEP5、 托勒密定理求证：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么ABCD+ADBC=ACBD【证明】方法一：作辅助线AE，使BAE=CAD，交BD于点EABE=ACD（同弧AD所对的圆周角相等）BACEOD又BAE=CADABEACD，即ABCD=ACBE (1)BAE

5、=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=EAD又ACB=ADE（同弧AB所对的圆周角相等）ABCAED，即BCAD=ACDE (2)(1)+(2),得ABCD+BCAD=ACBE+ACDE=AC（BE+DE）=ACBD【证明】方法二：利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。广义托勒密定理广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，而且当ABCD四点共圆时取等号。内容：凸四边形对边乘积和对角线的积托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。证明如下：在四边形ABCD中,连接AC、BD,作ABE=ACD,BAE=CAD，则ABEACD BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/ADBE*AC=AB*CD ,AB/AE=AC/ADBAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=DAE又AB/AE=AC/AD,ABCAEDBC/ED=AC/ADED*AC=AD*BC+,得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又BE+EDBDAC*BDAB*CD+AD*BC