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1、.函数周期性结论总结 f(x+a)=-f(x)T=2a f(x+a)= 1T=2af ( x) f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令 x=x-b得 f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式 f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得 T=-b+a即 a-bf(x) 为偶函数，且关于直线x=a 对称， T=2a证明： f(x+2a) =f(-x)= f(x)证明：因为偶函数 , 所以 f(-x)=f(x)因为关于 x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设x=x+a所以 f(x+2a)=f(x)所以周期 T=2a)f(x) 为奇函数，且关于

2、直线x=a 对称， T=4a证明： f(x+2a) =f(-x)= -f(x)根据可知T=2 2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x)令 x=x+a得： f(x+2a)=f(-x)又 f(x)= - f(-x)故 f(x)= - f(x+2a)代换 x=x+2a得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得 f(x)=f(x+4a)于是函数 f(x)的周期为 4af(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么 x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据

3、可知T=6a f(x) 关于直线 x=a,直线 x=b 对称， T=2|a-b| 证明： f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设 ab (当然假设 ab 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x) 即可关于直线x=a 对称关于直线 x=b 对称f(x) 的图像关于 (a,0) (b,0)对称， T=2a-2b(ab)f(x+2a-2b)=fa+(x+a-2b)=fa-(x+a-2b)=f(2b-x)=f(x)证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)f(2b-x)=-f(x )f(x

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