函数周期性的五类经典题型

1、.周期性类型一：判断周期函数1. 求下列函数是否为周期函数（ 1），满足（ 2），满足（ 3），满足（ 4），满足答案：（ 1）令 T=2 周期函数（ 2） T=4 周期函数（ 3） T=4（ 4） T=8类型二：求值1. 已知函数 f(x)是定义在 (， )上的奇函数，若对于任意的实数x 0，都有 f (x 2) f(x)，且当 x 0,2) 时 f(x) log 2(x 1)，则 f( 2 013) f(2 014)的值为 ()A 1B 2C 2D 1解析： 选 A因为 f( x)是奇函数，且周期为 2，所以 f( 2 013) f(2 014) f(2 013) f(2 014) f(1

2、) f(0) 又当 x 0,2) 时， f(x) log 2(x 1)，所以 f(2 013) f(2014) 10 1.2.若偶函数 yf(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x) ( x 1)( xa)( 3 x 3)，则 f( 6)等于 _（对定义域的运用）解析： y f(x)为偶函数，且f(x) (x 1)(x a)(3 x 3)，.f(x) x2 (1 a)x a,1 a 0.a 1.f(x) (x 1)(x 1)( 3 x 3)f(6) f( 66) f(0) 1.答案： 13x 1x0，则 f(2 016) _.3.定义在 R 上的函数 f( x)满足 f(x)f

3、 x 1 f x 2 ，x0，解析： x0 时， f(x)f(x 1) f(x 2)， f( x 1) f(x) f(x 1)，相加得 f(x 1) f(x2)，即 f(x 3) f(x)，所以 f(x 6) f(x 3) f(x) ，进而 f(2 016) f(336 6) f(0) 3113.答案： 134.已知函数f(x)的定义域为R ，当 x2时， f x 2 f x2，则 f(6) _. （转化）答案2111解析当 x2时， f x 2f x2，即 f(x) f(x 1)， T 1， f(6) f(1).当 x0 时， f(x) x31，且 1 x 1， f( x) f(x)， f(

4、6) f(1) f( 1) 2.5.定义在 R 上的函数f( x)满足 f( x) f(x)，f(x 2) f(x 2)，且 x ( 1,0)时，f(x) 2x 15，则 f(log 220) _. （利用周期和奇函数改变范围）押题依据利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性 .答案 1解析由 f(x 2) f(x 2)?f( x) f(x 4)，因为 4log 205，所以 0log 2041 ， 14 log200 在 1，3上的解集为 ()（数形结合，类似于正余弦函数图像）A (1， 3)B ( 1， 1)C( 1， 0) (1， 3)D ( 1， 0

5、) (0， 1)解析： 选 C. f(x)的图象如图.当 x 1， 0)时，由 xf(x)0 ，得 x ( 1， 0)；当 x 0，1) 时，由 xf(x)0 ，得 x ?；当 x 1，3 时，由 xf(x)0 ，得 x (1，3) 故 x ( 1， 0) (1， 3)2. 已知定义在 R 上的奇函数 f( x)满足 f(x 4) f(x)，且在区间 0， 2上是增函数若方程f(x) m(m0) 在区间 8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则 x1 x2 x3 x4 _解析： 因为 f(x)为奇函数并且f(x 4) f( x)（对称轴）所以 f(x 4) f(4 x) f(x)，即

6、f(4 x) f(x)，且 f(x 8) f(x 4) f(x) ，即 y f(x)的图象关于x 2 对称，并且是周期为8 的周期函数因为 f(x)在 0， 2上是增函数，所以 f(x)在 2， 2上是增函数，在2， 6上为减函数，据此可画出y f(x)的图象其图象也关于x 6 对称，所以 x1 x2 12， x3 x4 4，所以 x1 x2 x3 x4 8.类型五：综合1. 偶函数 f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，且在 x 0,1 时，f(x)2x x2，若直线 kx y k 0(k0)与函数 f(x) 的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是_.153答案(，)解析因为 f(1

7、 x) f(1 x)，所以函数f(x) 的图象关于直线x 1 对称，又f(x)是偶函数，所以f( x1) f(1 x)，即有 f(2 x)f(x)，所以 f(x)是周期为 2 的函数 .由 y 2x x2，得 x2 2x y2 0，.即 ( x1) 2y2 1，画出函数f(x)和直线 yk(x1) 的图象 .因为直线kx y k 0(k0) 与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以根据函数图象易知，15 315 k 3 .2. 已知 f(x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数， 且当 0 x2 时，f(x) x3 x，则函数 y f(x)的图象在区间 0,6 上与 x 轴的交点个数为_答案7解析因为当 0 x2 时， f(x) x3 x，又 f(x) 是 R 上最小正周期为2 的周期函数，且f(0) 0，所以 f(6) f(4) f(2) f(0) 0.又 f(1) 0，所以 f(3) f