集思广益“特色研究”.ppt

1、集思广益“特色研究” 关于“江西中考特色题及压轴题”的复习研讨,青山湖教研中心 范云波,问题的提出： 每年江西省的中考数学试题，对不同水平层次的同学进行区分和选拔，纵观近几年的江西省的中考数学试题，应该说有非常强的地域特色。比如：填空题最后一题是多解题，解答题中的创新画图，解直角三角形中结合现实情境的应用题，以及最后涉及几何变换和二次函数的压轴题。此类题因其强烈的地域特色成为江西省中考数学试题中的一道亮丽风景。 。,主要内容：,一、多解题 二、创新作图 三、解直角三角形的应用 四、压轴题（课题学习、二次函数）,一、多解题 例1(2016T12)如图，是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD

2、=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是_,二、创新作图 例2(2016T17).如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：1仅用无刻度直尺，2保留必要的画图痕迹. (1)在图(1)中画一个45角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边； (2)在图(2)中画出线段AB的垂直平分线.,三、解直角三角形的应用 例3(2016T21).如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A

3、为支撑点， 铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm. (1)当AOB=18时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm） (2)保持AOB=18不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等， 求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm) (参考数据：sin90.1564,com90.9877, sin180.3090, com180.9511,可使用科学计算器),四、压轴题 例4（2016.江西T23）设抛物线的解析式为y = a x2 , 过点B1 (1, 0 )作x轴的垂线，交抛物线于点A1 (1, 2 )；过点B2 (1,

4、 0 )作x轴的垂线，交抛物线于点A2 ， ；过点Bn (, 0 ) (n为正整数 )作x轴的垂线，交抛物线于点A n , 连接A n B n+1 , 得直角三角形A n B n B n+1 . (1)求a的值； (2)直接写出线段A n B n ，B n B n+1 的长（用含n的式子表示）； (3)在系列RtA n B n B n+1 中，探究下列问题： 1当n为何值时，RtA n B n B n+1 是等腰直角三角形？ 2设1kmn (k , m均为正整数) ，问是否存在RtA k B k B k+1 与RtA m B m B m+1 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由.,一

5、、多解题,多解型试题是江西省2013年中考试题开始创设的一类独创性题型,一直放在填空题的最后一题,考查宗旨主要是进一步强调分类讨论这一思想方法运用,同时也是为推动数学日常教学重视对学生思维品质的优化，克服思维的片面性，提高学生分析问题解决问题能力而出台一项具体措施. 根据这类题型特点,在复习中要加强对学生的多向思维的培养,再则这类题的思维空间较大，解题时常出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，因此我们应该熟练掌握这一题型的特征与解法.,一、多解题,题型分类 1.在等腰三角形问题中，腰和底没有明确时，分情况讨论而产生多解 2.在直角三角形问题中.直角边和斜边没有明确时，分情况讨论而产生多解 3.

6、在平面图形不确定的情况下,线段长度或角的度数为指定值(或范围)的分情况讨论产生的多解 4.在平行四边形问题中.边和对角线没有明确时，分情况讨论而产生多解 5.在平面内有时要分几个平面区域来分类讨论,二、创新画图,从2012年开始连续五年，江西省中考数学试题中出现了一种新的考查几何作图的试题，它有别于传统意义上的尺规作图题，设置这类试题是为了考查学生对基本图形性质及图形变换的特征的掌握情况，考查学生的几何直观（包括对图形的观察、操作、想象等）、合情推理能力及相关的实验操作能力，重点考查的是寻找作图依据的过程中学生自主运用所学知识进行推理论证的能力. 创新画图是在一定情境下，以无刻度直尺作为唯一的

7、作图工具，不能度量，结合运用图形的几何性质、基本定理、图形变换等进行分析、推理、归纳，寻找作图依据，主要的作图形式是找点、连线.,二、创新画图,题型分类 1.在网格中构建新图形 2.在基本图形中构建新图形 3. 以半圆或圆为辅助模型画图,三、解直角三角形的应用,在历年江西中考数学试卷中都有以结合现实情境为背景的解直角三角形的应用题， 此类题通常结合现实情境，命题老师在获取素材后，通过认真审视，思考素材隐含的考查价值，及其有可能涉及的知识点，并经过恰当的变化改造，编制成出有新意的试题。比如今年的以创意卡通圆规为背景的解直角三角形问题。,四、压轴题,1、压轴题的含义 2、江西省近几年压轴题考查情况

8、分析 3、压轴题三大内容及解题策略 4、压轴题的复习策略 5、压轴题复习的几个误区,1.压轴题的含义,广义地说中考压轴题是指一份试卷中比较难的题，往往是各大题中的最后一题。如选择题的最后一题，填空题最后一题，解答题的最后一题（或最后两题）。,狭义地说中考压轴题是指在试卷最后面出现的大题目。这类题目一般分数多，难度大，考验综合能力强 ，在考试中能够拉开学生成绩，是很多学生和老师的重点钻研项目 。,例1 （2016江西T6）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等网格中三个多边形（分别标记为，）的顶点均在格点上被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n

9、，则这三个多边形中满足m=n的是（）,例2（2016江西T12）如图，是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是_.,例3 （2016江西T22）【图形定义】 如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60后，发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60后，交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称OAB为“叠弦角”，AOP为“叠弦三角形”. 【探究证明】 (1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三

10、角形”(即AOP)是等 边三角形； (2)如图2，求证：OAB=OAE. 【归纳猜想】 (3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 ， ； (4)图n中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）； (5)图n中，“叠弦角”的度数为 （用含n的式子表示）.,例4（2016江西T23）设抛物线的解析式为y = a x2 , 过点B1 (1, 0 )作x轴的垂线，交抛物线于点A1 (1, 2 )；过点B2 (1, 0 )作x轴的垂线，交抛物线于点A2 ， ；过点Bn (, 0 ) (n为正整数 )作x轴的垂线，交抛物线于点A n , 连接A n B n+1 , 得直角三角形A n B n B

11、n+1 . (1)求a的值； (2)直接写出线段A n B n ，B n B n+1 的长（用含n的式子表示）； (3)在系列RtA n B n B n+1 中，探究下列问题： 1当n为何值时，RtA n B n B n+1 是等腰直角三角形？ 2设1kmn (k , m均为正整数) ，问是否存在RtA k B k B k+1 与RtA m B m B m+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由.,压轴题形式： 往往由三到四小问组成: 第一小问为基础题，容易得分,得分率普遍在0.8以上. 第二小问稍难,但通常还是属于常规题型,得分率在0.6与0.7之间. 第三、第四小问为试卷中难度大

12、的问题，能力要求较高,且得分率也大多在0.2与0.4之间。,压轴题本质特征： 在初中主干知识的交汇处命题，涉及的知识点多，覆盖面广；条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，方法灵活，渗透了重要的思想方法，体现了较高的思维水平。,2.江西省近几年中考压轴题分析,近几年江西省压轴题分析,1.压轴题往往赋予运动的背景 （1）点的运动：涉及到一个点的运动和两个点的联动（2009江西T25） （2）图像的平移：有直线的平移和整支抛物线的平移（南昌2010T29、）。 （3）旋转：三角形的旋转较多(2016T22、2014T23、2013T23) （4）翻折：图形的折叠（南昌2012T28 ）,对策：通过对图形的平

13、移、旋转、轴对称，以及研究几何图形在运动变化中的不变量与变量的问题学习，运用运动的观点来分析图形，解决问题，特别要重视一些运动过程中的相互联系分析。,近几年江西省压轴题分析,2.压轴题几乎都涉及到函数 （1）函数依然是中考的热门知识点 （2016T23、2015T23、2015T6、2014T24、2014T6、2013T24、2013T6 ）。 （2）相似三角形在解题中也很关键（2016T23、2016T6）。,对策：（1）函数知识是初中数学的核心知识，函数部分的内容主要可归为以下三类：函数关系式的表示、函数的性质、函数的应用及函数思想的形成。 （2）相似三角形由于对应边构成比例等式，使其成

14、为初中数学中有关线段长度计算的重要途径和工具，主要知识内容包括：三角形相似的条件、利用相似比建立方程来解决问题中的中间量。,3.压轴题主要涉及的数学思想方法： （1）方程的思想仍倍受青睐。 （2）分类讨论是近几年中考 压轴题的“压点”所在。,对策：（1）压轴题中好多中间量的计算还是通过建立方程来解决。在学习中应建立起这样一个观念：将题目中的所有条件集中在一个图形中，通过勾股定理、相似三角形、等积变形来建立方程。 （2）分类讨论已成为中考压轴题的压点所在。在学习中应注重：必须确定分类标准，要正确进行分类，要不重复、不遗漏、分类之后还要注意能否继续分类，要注意讨论的层次要分明。,近几年江西省压轴题

15、分析,3.压轴题主要考查的内容及策略,（1）几何综合题。此类题设计新颖，大多数是牵涉到图形变换，其中以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角，而且几乎每份试卷都有（2016T22）。 （2）规律探索或阅读理解题。这类题目本身蕴含着数学探索思想，给出一段文字或式子来理解推理，体现了从特殊到一般的发现规律，是中考的一个重难点（2016T23）。 （3）函数与几何综合问题。（坐标系下）考查动点问题，求最值问题或存在性问题，此类题目考查的知识点多且繁，对综合能力有较高的要求（2011T25）。,三大典型压轴题的解题策略,中考数学压轴题近些年来与数形结合、动态几何、动手操作

16、、实验探究、规律探索等方面密切联系。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括：空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上有：运动观点、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想等。这就要求学生具备扎实的基础知识和熟练的基本技能。,几何综合题,近几年的中考中，几何综合题通常以图形变换的形式出现，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。运动是为结果的静止服务的，解题时要做到“以静制动”。,知识梳理: 平移，我们简单地概括为：“一变，两不变，三对应，两相等，两平

17、行”。即平移前后，一变：图形的位置发生了改变；两不变：形状和大小没有发生改变；三对应：对应点、对应角、对应线段；两相等：对应角相等、对应线段相等；两平行：对应线段平行、对应点所连的线段平行。 旋转：我们将一个旋转中心、三个对应关系和五个相等关系概括为“一中心，三对应，五相等”。（ 每对对应点与旋转中心连线所成的角相等、对应点到旋转中心的距离相等、对应线段相等、对应角相等、图形的大小相等）,图形的变换,解题策略 要学会挖掘变换前后变与不变隐含的条件，善于处理五种关系：静与动的关系，位置关系，对应关系，相等关系，形状关系（2016T22）。 构造定理所需的图形或基本图形。 在解决问题的过程中，有时

18、添加辅助线是必不可少的。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形（如：中线、中位线、倍长中线，2015T24）。 用相似。压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往可根据题意去寻找相似三角形（2015T242016T23） 学习从复杂图形中分离出基本图形方法。由于图形变化的综合题往往作为压轴题，问题较多，图形复杂，要训练学生快速提炼出有用的图形来研究，排除其他图形的干扰（2015T24）。 要教会学生大胆地让图形按照题意运动起来，细心观察到特殊位置，做出大胆猜想，运用已知条件进行验证，最后

19、证明之（2015T24）,图形的变换,例题（2016T22)【图形定义】 如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60后，发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60后，交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称OAB为“叠弦角”，AOP为“叠弦三角形”. 【探究证明】 (1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即AOP)是等 边三角形； (2)如图2，求证：OAB=OAE. 【归纳猜想】 (3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 ， ； (4)图n中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）； (5)图n中，“叠弦角

20、”的度数为 （用含n的式子表示）.,图形的变换,相关知识 数列或式，常见数列的一般公式： 等差数列和等比数列的通项公式，以及前n项和公式（南昌2013T14）。从一次函数的角度来理解等差数列通项公式。等比数列的通项公式。 几何图形（三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆）、全等的性质、相似形（南昌2011T26 ）。,规律探索问题,解题策略 要抓题目里的变量。 数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。 要善于比较。 “有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变

21、化规律。 找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 要善于寻找事物的循环节（周期性）。 规律不可避免地包含着循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解（2013湛江T16 ）。 要抓住题目中隐藏的不变量。 有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。 要进行计算尝试。 找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是数字的规律，有时能用函数的解析式来反映。

22、函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。 学会检验（2013T14 ）。,规律探索问题,例题下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 （1）表中第8行的最后一个数是_，它是自然数_的平方，第8行共有_个数； （2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_，最后一

23、个数是_，第n行共有_个数； （3）求第n行各数之和,例题（南昌2013T14）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为（n+1）2（用含n的代数式表示）,代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如：探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题，以及图形运动过程中求函数解析式问题等。,代数与几何综合题,相关知识 以动态几何为主线。此类题目以形为载体，依托点动、线

24、动、面动，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值（2011T24）。 函数图像中动点产生几何图形（三角形，特殊四边形）。 点：求图形的最后一个顶点时，先要分析已知图形的边和角的特点，进而得出已知图形是否为特殊图形；根据未知图形中已知边做分类讨论（2016T12 ）。 角：或利用已知图形中对应角，在未知图形中利用勾股定理、三角函数、对称、全等、相似、旋转等知识来推导边的大小（2016T22）。 边：若边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用等量关系来列方程求解（2015T23）。,代数与几何综合题,解题策略 “以形助数”或“以数解形”

25、 。要努力培养学生数形结合，动静结合的逻辑思维能力、空间想象能力。需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，“翻译”并转化为显性条件。 特殊探路，一般推证。将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；准确的判断运动会引起哪些图形改变、哪些量的变化，分清“父对象”与“子对象”。 动手实践，操作确认。特别要重视运动中的一些关键点，不仅有利于掌握运动的情况，而且这些点往往是发生质变的分界点。 建立联系，计算说明。要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，比如说用含有变量的式子表示线段长，在直角坐标系中，水平或垂直的线段长用坐标之差表示；带有时间、速度的题目，用路程表示线段长；把动态问题转化为静态几

26、何来计算说明。,代数与几何综合题,例题（2015T23）如图，已知二次函数L1：y=ax22ax+a+3（a0）和二次函数L2：y=a（x+1）2+1（a0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F （1）函数y=ax22ax+a+3（a0）的最小值为3，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是1x1 （2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明） （3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当AMN为等腰三角形时，求方程a（x+1）2+1=0的解,例题（南昌2011T25）如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a0，

27、b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1. (1)当a=1,b=1时，求抛物线n的解析式； (2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由； (3)若四边形AC1A1C为矩形，请求出a,b应满足的关系式.,4.压轴题的复习策略,学生的策略 在每一次的考试中，我们都会发现有部分基础较好的学生对于压轴题的解答得分率也不高，认真分析、究其原因主要是会而不对，对而不全，全而不美的问题。因此应该让学生向错误学习，可以让学生自己去搞点讲评，建立错题档案，对于错的题目进行反复训练。对于综

28、合性的压轴题，让学生总结题目考查了哪些知识点，每个知识点是从哪个角度考查的，题目考查了哪些数学思想方法，本题有哪几种解题方法，最佳解法是什么？当自己出错时，是知识上的错误还是方法上的错误，是解题过程的失误还是心理上的缺陷导致的失误。切实解决会而不对，对而不全，全而不美的问题.,学习压轴课的注意事项： 第一、在听课前，先做讲义上的题，相当于做好听课前的预习工作，在做的时候注意记录自己的难点及做不下去的原因。第二、听讲时，先完整的听老师讲，针对自己不会的地方记录老师讲解的思路、方法。第三、听完课后要做好复习工作，按照老师讲解的思路和方法反复做讲义上的题目。,学生书写的规范性每次考试之后总会发现：有

29、部分学生在解最后一题的压轴题时，解题步骤不规范，导致失分，甚至由于第1小题书写不规范，导致自己在做后面的小题时，抄错而不得分。因此我们在平时的教学中要讲清楚每一题中每一步的评分标准，要舍得时间让学生在课堂上把一道题解答完整，并认真批改，及时纠错；而最重要的就是要严格要求每一次作业中的书写过程，认为不过关的坚决要求重写，慢慢养成习惯。杜绝平时因时间不够而重答案轻过程。,解答综合、压轴题，要把握好以下各个环节： 1.审题： 2.寻求合理的解题思路和方法： 3.南昌近几年压轴题的设置一般是有三问，刚好符合“起点低，坡度缓，尾巴翘”的特点，并不是高不可攀，我们要培养学生的信心，大胆去尝试。 两个建议:

30、 1.分题得分：在解答时要把第（1）小题的分数一定拿到，第（2）小题的分数要力争拿到，第（3）小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。 2.分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点也不懂，一点也不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，因为中考是“分段评分”。,调适好心态： 无论是对问题无从下手，还是遇到挫折、出现错误时，较多的学生选择重复阅读问题，这是一种典型、很有价值、而又简单易行的自我监控方式。,解压轴题的几个关键点: （1）养成良好的读题习惯（多读几遍，不要遗漏条件）。 （2）关注题目中的特殊图形（特殊角、特殊三角形），有时可利用身边的工具进行

31、操作。 （3）找准“题眼” “题眼”在于某一个特殊图形中。 如：中点、相似三角形、直角三角形）“题眼”在于某个思想方法中。 如：分类讨论（2016T23、2016T12）,教师的策略: 教师对不同的学生，不必强求一律，要分层教学、分层要求，对有的学生可以只要求他做其中的第（1）题或第（2）题。盲目追“新”求“难”，忽视基础，用大量的复习时间去应付只占整卷10的压轴题，其结果必然是得不偿失。事实证明：有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在“审题”上。应当把功夫花在夯实基础、总结归纳、打通思路、总结规律、提高分析能力上。,教师的选题策略:

32、 中考试题具有良好的教学导向功能，既引导学生学会学习，乐于科学探究，乐于在生活中用数学；又引导我们数学教师积极投身到数学课程改革中去，努力改进初中数学教学，研究如何按照中考试题的要求把握平时练习、复习。因此可以收集历年来有代表性的中考数学压轴题，并进行分类整理以专题的形式进行复习（河北 2009T24与南昌2013T24）。“试题源于课本”已成为历年中考的命题原则，具有良好的导向作用。因此在最后的复习阶段可以对课本的例、习题或者一些经典的历年试题在认真研究的基础上加以变式再创造，在复习教学中开展陈题新解，以一题多解、一题多变、多题一解等的形式将知识串联，方法归纳，以少胜多，提高学生的解题能力（

33、八上P83T12）。 要熟悉新课标的变化。如：删除了梯形、圆和圆的位置关系等内容，在选题时要顺应新课标的变化（如：南昌2012T28）,处理好压轴题与其他知识复习的关系: 数学知识是一个有机的整体，我们既要注意分别掌握各部分的基础知识，又要注意知识之间的联系和综合，并在解决综合性问题中，从整体上进一步地把握它们。由于压轴题的难度较高，因此在专题复习中针对的都是基础较好的学生，而对于基础较差的学生有可能对此失去兴趣，成绩下滑。所以在最后的一个月复习中，照顾到各层次的学生，让他们都有所收获。,教师的讲解策略,（1）拆分重组策略 可将一道复杂的综合题分解成几个简单问题或基本图形，达到化繁就简、化难就易，逐个击破的目的。同时找出不同类型问题间相通的规律和方法，从中发现解决综