自动控制原理第二章.黄坚第二版.ppt

1、30/4/2009,06/ec/C180/,自动控制理论,精品课程,第二章自动控制系统的数学模型,内容提要：,本章重点:,a、微分方程,建立系统输入输出模式数学模型：,b、传递函数,c、方块图,d、信号流图,典型环节传递函数、传递函数的函数,方块图等效变换、信号流图的化简,第二章自动控制系统的数学模型,通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。,设控制系统,求出输出响应,控制系统,输入,输出,有输入信号时,第二章自动控制系统的数学模型,第一节 引言,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,第五节 反馈控制系统的传递函数,第二节

2、微分方程的建立,第二章自动控制系统的数学模型,第三节 传递函数,第一节 引言,问题：,第二章自动控制系统的数学模型,何为数学模型?,数学模型的种类?,常用数学模型的种类：,静态模型,动态模型,描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型,数学模型描述的是各变量间的动态关系， 则为动态数学模型,数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型,第一节 引言,输入输出描述 ：,状态变量描述 ：,描述系统的输入与输出之间的数学关系,用一组（几个）独立的状态变量，来描述一个n阶系统的数学关系,第二节 微分方程的建立,一、建立微分方程的一般步骤,二、常见

3、环节和系统的微分方程的建立,三、 线性微分方程式的求解,上一目录,第二章自动控制系统的数学模型,第二节 微分方程建立,（1）确定系统的输入变量和输出变量,一、建立系统微分方程的一般步骤,系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。,列写系统微分方程的一般步骤：,根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。,（2）建立初始微分方程组,将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。,（3）消除中间变量，将式子标准化,下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立,uc,ur,二、常见环节和系统微分方程的建立,1 R

4、C电路,+,-,uc,ur,+,-,C,i,R,输入量：,输出量：,(1) 确定输入量和输出量,(2) 建立初始微分方程组,(3) 消除中间变量，使式子标准化,ur= Ri + uc,根据基尔霍夫定律得：,微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。,RC电路是一阶常系数线性微分方程。,第二节 微分方程建立,2机械位移系统,系统组成：,质量,弹簧,阻尼器,输入量,弹簧系数k,m,阻尼系数f,F(t),输出量,y(t),(2) 初始微分方程组,F = ma,根据牛顿第二定律,系统工作过程：,(1) 确定输入和输出,F(t) FB(t) FK(t) = ma,中间变量关系式:,FK(t)

5、= k y(t),消除中间 变量得:,第二节 微分方程建立,3他激直流电动机,Ud,系统组成：,直流电机,负载,输入:电枢电压,励磁电流,If,电磁转矩,Te,负载转矩,TL,摩擦转矩,Tf,工作原理：,电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.,输出:电动机速度,n,第二节 微分方程建立,根据基尔霍夫定律有,电动机的电路等效图:,eb,La,id,Ra,eb =Cen,Ce 反电势系数,反电势,根据机械运动方程式,Te =Cm id,Cm 转矩系数,GD2 飞轮惯量,为了简化方程，设,TL = Tf = 0,定义,机电时间常数：,电磁时间常数：,电动机的微分方程式为：,第二节

6、 微分方程建立,4液位系统,第一章里已经介绍了工作原理：,其中:,qi0流入箱体 的流量,qo0流出箱体 的流量,qi0,qo0,h0液面高度,h0,qi流入箱体 流量增量,+qi,qo流出箱体 流量增量,+qo,h液面高度 增量,+h,A箱体面积,根据物料平衡关系,平衡时：,qi0=qo0,故,qo(t)的流量公式,得:,第二节 微分方程建立,根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。,系统微分方程的一般表达式为：,将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方程即可求得系统输的出响应。,微分方程,r(t),c(t),第二节 微分方程建立,三、线性微分方程式

7、的求解,工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。,拉氏变换法求解微分方程的基本思路：,线性微分方程,时域t,拉氏变换,代数方程,复数域s,代数方程的解,求解,拉氏反变换,微分方程的解,第二节 微分方程建立,1拉氏变换的定义,如果有一函数满足下列条件：,(1) t 0 时 f(t)=0,(2) t0 时 f(t)是分段连续的,f(t)的拉氏变换为：,记作 F(s)=Lf(t),拉氏反变换为：,f(t)=L-1 F(s),第二节 微分方程建立,2常用函数的拉氏变换,(1) 单位阶跃函数I(t),1,(2) 单位脉冲函数(t),=1,(3) 单位斜坡函数t,(4) 正弦函数Sint,(5) 余

8、弦函数Cost,(6) 指数函数,1,(7) 抛物函数,第二节 微分方程建立,3拉氏变换的定理,(1) 线性定理,Laf1(t)+bf2(t),= aF1(s)+bF2(s),例 求正弦函数f(t)=Sint的拉氏变换,解：,(2) 微分定理,= sF(s)-f(0),例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换,解：,已知,= s2F(s)-sf(0)-f(0),第二节 微分方程建立,(3) 积分定理,Lf(t)dt,(4) 延迟定理,Lf(t-),例 求f(t)=t-的拉氏变换,解：,t,t-,(5) 位移定理,=F(s+a),解：,(6) 初值定理,(7) 终值定理,第二节 微分方程建立,

9、4拉氏反变换,象函数的一般表达式：,分解为,零点,极点,转换为,则,部分分式法求拉氏反变换 , 实际上是求待定系数A1 ,A2 ,An .极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明.,待定系数,第二节 微分方程建立,(1) 不相等实数极点,解：,例 求拉氏变换,第二节 微分方程建立,(2) 复数极点,p1 ,p2 共轭 复数极点,分解为,根据,求待定系数A1 ,A2 .,例 求拉氏变换,解：,A2=1,第二节 微分方程建立,(3) 重极点,有r个重 极点,分解为,下面举例说明,第二节 微分方程建立,例 求拉氏变换,解：,分解为,按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得：,将各待定系数

10、代入上式得：,第二节 微分方程建立,5用拉氏变换解微分方程,下面举例说明求解线性微分方程的方法。,例 求拉氏反变换,r(t) =20I(t),c(0)=5,c(0)=15,解：,(1) 将微分方程拉氏变换,(2) 解代数方程,(3) 求拉氏反变换,第二节 微分方程建立,例 已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。,r(t) =(t),c(0) = c(0) = 0,解：,将方程两边求拉氏变换得：,s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s),R(s) = 1,求拉氏反变换得：,c(t) = e t sin t,输出响应曲线,c(t),r(t),第二节 微分方程建立,课堂练习题

11、：,(1) 求下列函数的拉氏变换,(2) 求下列函数的拉氏反变换,(3) 解下列微分方程,f(t)=t2+3t+2,作业习题：,2-3(3),2-4(1),c(0) = c(0) = 0,2-1(a),2-3(1),第二节 微分方程建立,第三节传递函数,一、传递函数的定义及求取,二、典型环节的传递函数 及其动态响应,拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型传递函数。,第二章自动控制系统的数学模型,第三节传递函数,使用传函应注意的问题 :,1传递函数只适用于线性定常系统,2分子阶次分母的阶次，即mn,3传函取决于系统的结构、元件参数，与输 入信号的形式

12、无关,4传函是在初始条件为零时（卷积公式微分方程）进行拉氏变换得到的,5一个传函只能表示一个输入对一个输出的关系；它不能完全反映信号传输中的中间变量，也无法全面反映多输入多输出系统的特性。,输出拉氏 变换,一、 传递函数的定义及求取,设一控制系统,输入,输入拉氏 变换,输出,传递函数的定义：,零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。,R(S),C(S),r(t),c(t),表示为：,将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。,G(S),第三节传递函数,例 求图示RLC电路的传递函数。,C,L,R,i,解：,输出量,输入量,根据基尔霍 夫定律：,拉氏变换：,RCsUc(s)+LCs2

13、Uc (s)+Uc (s)=Ur (s),传递函 数为:,第三节传递函数,例 求液位控制系统的传递函数.,将上式两边求拉氏变换：,设,解：,得,传递函数为,第三节传递函数,零初始条件下拉氏变换得：,(a0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s + an )C(s),= (b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bm )R(s),系统微分方程的一般表达式为：,系统传递函数的一般表达式为,将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即,n=m,放大系数,传递函数的极点,传递函数的零点,第三节传递函数,传递函数性质：,（1） 传递函数只适用于线性定常系统。,

14、（2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。,（3） 传递函数为复变量S 的有理分式。,（4） 传递函数是在零初始条件下定义的， 不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。,第三节传递函数,不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。,二、 典型环节的传递函数及其 动态响应,第三节传递函数,c(t)=Kr(t),C(s)=KR(s),放大倍数,取拉氏变换:,得传递函数:,1比例环节,微分方程:,比例环节方框图,单位阶跃响应：,拉氏反变换得:,c(

15、t)=K,单位阶跃响应曲线,1,r(t),K,c(t),第三节传递函数,比例环节实例,(a),ur,uc,运算放大器,(b),线性电位器,传动齿轮,(c),r(t),c(t),K=i,第三节传递函数,单位阶跃信号作用下的响应:,2惯性环节,微分方程:,时间常数,比例系数,拉氏变换：,TsC(s)+C(s)=KR(s),惯性环节的传递函数:,惯性环节方框图,拉氏反变换得:,单位阶跃响应曲线,设 K=1,1,r(t),c(t),T,0.632,第三节传递函数,ur,uc,惯性环节实例,(a),运算放大器,(b),RL电路,uL(t),第三节传递函数,TsC(s) = R(s),微分方程：,时间常数

16、,3积分环节,传递函数：,拉氏变换：,积分环节方框图,单位阶跃响应：,单位阶跃响应曲线,1,c(t),r(t),T,拉氏反变换得:,第三节传递函数,积分环节实例,(a),运算放大器,uc,ur,(b),直流伺服电机,第三节传递函数,4微分环节,理想微分环节微分方程：,微分时间常数,微分环节方框图,单位阶跃响应：,拉氏反变换得:,c(t) =T(t),单位阶跃响应曲线,c(t),r(t),运算放大器构成的微分环节,G(s) =RC s,第三节传递函数,RC电路构成的实用微分环节,理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。,传递函数:,单位阶跃响应:,单位阶跃响应曲线,r(

17、t),c(t),1,由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。,第三节传递函数,采用运算放大器构成的比例微分环节：,传递函数：,单位阶跃响应：,c(t)=KT(t)+K,单位阶跃响应曲线,1,c(t),r(t),第三节传递函数,5. 振荡环节,微分方程：, 时间常数, 阻尼比,T,传递函数：,无阻尼自然振荡频率,振荡环节方框图,单位阶跃响应：,单位阶跃响应曲线,1,c(t),r(t),第三节传递函数,常见振荡环节的实例：,(1) 机械位移系统,(2) 他激直流电动机,(3) RLC电路,第三节传递函数,c(t) = r (t )1(t ),6时

18、滞环节,延时时间,数学模型：,时滞环节方框图,传递函数：,时滞环节作近似处理得,阶跃响应曲线,1,c(t),r(t),第三节传递函数,作业习题：,2-9,2-8,第三节传递函数,一、建立动态结构图的一般方法,二、动态结构图的等效变换与化简,动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。,第二章自动控制系统的数学模型,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,一、 建立动态结构图的一般方法,设一RC电路如图:,初始微分 方程组,ur=Ri+uc,取拉氏变换：,Ur(s)=RI(s)+Uc(s),I(s)=CSUc(s),Ur(s),-,I(s),Uc(s)

19、,I(s),Uc(s),表示为：,组合为：,以电流作为 输出：,Ur(s),-,I(s),Uc(s),系统动态结构图由四种基本符号构成：,信号线,综合点,方框,引出点,系统动态结构图将各变量之间的数学关系用结构图表示出来，将结构图简化，可方便地求出任意两变量之间的传递函数。,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,绘制动态结构图的一般步骤:,（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。,（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。,（3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,例 建立他激直流电动机的动态结构图。,解：,电枢回路部分

20、：,微分方程为,取拉氏变换:,Ud(s)=RaId(s)+La sId(s)+Eb(s),整理得：,Ud (s)Eb(s)=Id(s)(Ra+Las),令：,则有,Ud(s),_,Eb(s),Id(s),第四节 控制系统的结构图及其等效变换,电机转轴部分：,微分方程:,Te=Cmid,TL=CmiL,拉氏变换得：,Te(s)=CmId(s),TL(s)=CmIL(s),整理得：,即,令,得,用框图表示为,Id(s),IL(s),N(s),_,反电势部分：,拉氏变换,微分方程,用框图表示为,eb=Cen,Eb(s)=CeN(s),第四节 控制系统的结构图及其等效变换,将三部分框图连接起来即得电动

21、机的动态结构图。,Ce,电动机的动态结构图,Id(s),Id(s),第四节 控制系统的结构图及其等效变换,例 液位控制系统如图所示，试建立系 统的动态结构图。,解：,系统输入,系统输出,液位控制系统 结构图：,hr(s),h(t),(1) 水箱,Qi(s),(2) 浮球和杆杠,流量的变化量与液位的偏差量成正比：,Qi (s)=pH(s),H(s)=Hr(s)-H(s),浮球质量忽略不计：,(s),系统的动态 结构图:,H(s),P,H(s),_,Hr(s),Qi(s),第四节 控制系统的结构图及其等效变换,例 试建立位置随动系统的动态结构图。,解：,第一章已介绍工作原理,系统的构成,电位器,放

22、大器,电动机,减速器,负载,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,(1) 电位器,系统结构框图,=r-c,Ue=Ks,=Ks(r-c ),(2) 放大器,Ud=KaUe,(3) 电动机,已求得n为输出的动态结构图,以m 为输出时:,N(s)=sm (s),La忽略不计时电机的动态结构图:,(4) 齿轮减速器,m=ic,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,对于RLC电路，可以运用电流和电压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系统的动态结构图。,例 求图所示电路的动态结构图。,i,i2,i1,解：,I2(s),I1(s),+,Uc(s),Ur(s),_,CS,+,R2,Uc(s),RC电路动态 结构

23、图：,I(s),第四节 控制系统的结构图及其等效变换,i1,i2,例 画出图所示电路的动态结构图。,解：,I1(s),_,Ur(s),UC(s),I2(s),_,_,U1(s),U1(s),I2(s),UC(s),U1(s),i1-i2,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,二、 动态结构图的等效变换与化简,系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。,1动态结构图的等效变换,等效变换：,被变换部分的输入量和输出量,之间的数学关系，在变换前后 保持不变。,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,C1(s),（1）串联,两个环节串联的等效变换

24、：,等效,n个环节串联,C1(s)=R(s)G1(s),C(s)=C1(s)G2(s),=R(s)G(s)1G2(s),不是串联！,也不是串联！,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,(2) 并联,两个环节的并联等效变换：,等效,C1(s)=R(s)G1(s),C1(s),C2(s)=R(s)G2(s),C2(s),C(s)=C1(s)+C2(s),=R(s)G1(s)+R(s)G2(s),n个环节的并联,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,（3）反馈连接,环节的反馈连接等效变换：,根据框图得：,等效,C (s)=E(s)G(s),第四节 控制系统的结构图及其等效变换,（4）综合点和引出点的

25、移动,1) 综合点之间或引出点之间的位置交换,引出点之间的交换：,综合点之间交换：,acb,不改变数学关系,不改变数学关系,综合点与引出点之间不能交换！,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,2）综合点相对方框的移动,前移：,C(s),F(s),C(s),F(s),C(s),F(s),C(s)=R(s)G(s)F(s),数学关系不变！,后移：,C(s)=R(s)F(s)G(s),F(s),C(s),F(s),C(s),C(s),第四节 控制系统的结构图及其等效变换,3）引出点相对方框的移动,前移：,C(s),C(s),C(s),后移：,R(s),R(s),R(s),被移动的支路中串入适当的传递

26、函数。,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,a,移动a,_,例 化简系统的结构图，求传递函数。,先移动引出点和综合点，消除交叉连 接，再进行等效变换，最后求得系统 的传递函数。,解：,交换比 较点,G1G2+G3,等效变换后系统的结构图：,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,例 求RC串联网络的传递函数。,RC串联网络动态结构图,解：,错！,注意：综合点与引出点的位置不作交换！,_,_,系统传递函数：,H(s)=R1C2S,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,2梅逊公式,回路内前向通道和反馈 通道传递函数的乘积。,梅逊公式：,回路传递函数：, 特征式, 各回路传递函数之和。, 两两互不相

27、接触回路的传 递函数乘积之和。, 所有三个互不相接触回路 的传递函数乘积之和。,k, 将中与第 k 条前向通道相接触 的回路所在项去掉之后的剩余部 分，称为余子式。,Pk, 第k 条前向通道的传递函数。,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,例 系统的动态结构图如图所示，求 闭环传递函数。,解：,系统有5个回路，各回路的传递函数为,L1,L1 = G1G2H1,L2,L2 = G2G3H2,L3,L3 = G1G2G3,L4,L4 = G1G4,L5,L5 = G4H2,= 1+G1G2H1 +G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2,P1 = G1G2G3,1= 1,P2 = G1G4

28、,2= 1,将 、Pk 、k代入梅逊公式得传递函数：,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,L1,L2,L3,例 求系统的闭环传递函数 。,解:,L1=G3H1,L2=G1H1,L3=G1G2,P1=G1G2,1=1 G3H1, =1 +G1G2+G1H1G3H1,第四节 控制系统的结构图及其等效变换,第二章总 结,自动控制 系统,建立微分 方程,系统传递 函数,建立动态 结构图,拉氏变换,梅逊公式,等效变换,解析法,拉氏变换,分析系统 性能,时域法,根轨迹法,频率法,第三章,第四章,第五章,性能校正,第六章,第二章自动控制系统的数学模型,第五节 反馈控制系统的传递函数,一、系统的开环传递函数

29、,二、系统的闭环传递函数,三、系统的误差传递函数,第二章自动控制系统的数学模型,第五节 反馈控制系统的传递函数,一、系统的开环传递函数,闭环控制系统的典型 结构：,开环传递函数：,系统反馈量与误差信号的比值,E(s),B(s),=G1(s)G2(s)H (s),=G(s)H(s),二、系统的闭环传递函数,1给定信号R(s)作用,系统的典型 结构：,设 D (s)=0,典型结构图 可变换为：,系统的闭环传递函数:,第五节 反馈控制系统的传递函数,2扰动信号D(s)作用,设 R (s) = 0,系统的典型 结构：,动态结构图 转换成:,前向通道:,D(s),C(s),反馈通道:,闭环传递函数为：,第五节 反馈控制系统的传递函数,_,R(s),E(s),三、系统的误差传递函数,1给定信号R(s)作用,误差输出的动 态结构图:,前向通道:,反馈通道:,设 D(s)=0,E(s),C(s),误差传递函数为：,第五节 反馈控制系统的传递函数,+,D(s),E(s),2扰动信号D(s)作用,R(s)作用下误差输出的动态 结构图:,前向通道:,反馈通道:,R(s) = 0,E(s),C(s),误差传递函数为：,第五节 反馈控制系统的传递函数,例:,解:,D(s) = 0,结构图变换为：,求,第五节