条件概率和事件的相互独立.ppt

1、1,条件概率,2,情景引入,三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取一张，奖品是“演唱会门票一张”，那么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？,3,探究: 如果已经知道第一名同学没有中奖， 那么最后一名同学中奖的概率是多少？,不妨记为,4,思考： 计算 ,涉及事件A和AB，那么用事件A 和AB 的概率 P(A) 和P(AB)可以表P(B|A）吗？,5,1.定义,一般地，设A，B为两个事件，且 ，称,为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.,P(B|A）读作A发生的条件下B发生的概率，,条件概率（conditional probability ）,P(B|A）相当于把A当做新

2、的样本空间来计算AB发生的概率。,AB,P(A|B）怎么读？怎么理解？怎么求解？,6,2.条件概率的性质：,（1）有界性：,（2）可加性：如果B和C是两个互斥事件，则,7,例1,在5道题中有3道理科题和2道文科题。如果不放回地依次抽取2道题，求：,(1)第1次抽到理科题的概率；,解：设为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本 空间，“第1次抽到理科题”为事件A，,“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理 科题”就是事件AB.,(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；,(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。,8,你能归纳出求解条件概率的一般步骤吗？,想一想,

3、求解条件概率的一般步骤：,（1）用字母表示有关事件,（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A),( 3 )利用条件概率公式求,9,练一练,1. 掷两颗均匀骰子,问: “ 第一颗掷出6点”的概率是多少？ “掷出点数之和不小于10”的概率又是多少? “已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？,解：设为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出6点”为事件A，“掷出点数之和不小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点，掷出点数之和不小于10”为事件AB （2) （3）,10,2.2.2事件的相互独立性,11,思考与探究,思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次无放回地抽取，

4、问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？,设A为事件“第一位同学没有中奖”。,答:事件A的发生会影响事件B发生的概率,12,思考与探究,思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？,设A为事件“第一位同学没有中奖”。,答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。,13,相互独立的概念,1.定义法:P(AB)=P(A)P(B),2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率 B发生与否不影响A发生的概率,判断两个事件相互独立的方法,注意:,(1)互斥事件:两个事件不可能同时发生,(2)相互独立

5、事件:两个事件的发生彼此互不影响,14,(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.,相互独立事件的性质：,15,练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.,篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了.,袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.,袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.,16,练2、判断下列各对事件的关系 （1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；,（2）甲乙两运动员各射击

6、一次，甲射中9环与乙射中8环；,互斥,相互独立,相互独立,相互独立,（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合格”与“乙的成绩优秀”,17,即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。,2.推广：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率,P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An),1.若A、B是相互独立事件，则有P(AB)= P(A)P(B),应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.,相互独立事件同时发生的概率公式,等于每个事件发生的概率的积.即：,18,例题举例,例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张

7、奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）“都抽到某一指定号码”； （2）“恰有一次抽到某一指定号码”； （3）“至少有一次抽到某一指定号码”。,19,例题解析,解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。,（1）“都抽到某一指定号码”；,由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0

8、025,20,例题举例,（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；,解: “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用 表示。由于事件 与 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：,21,例题举例,（3）“至少有一次抽到某一指定号码”；,解: “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用 表示。由于事件 与 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：,另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为,22,练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( ),练习2.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是P1

9、,P2,P3。假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是 。,D,(1P1) (1P2) (1P3),练习3.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P1, ，乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？,P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2,=P1 + P2 P1P2,23,练习4: 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？,略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为,所以，合三个臭皮匠之力把握

10、就大过诸葛亮.,24,一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0r1)，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。,P1=r2,P2=1(1r)2,P3=1(1r2)2,P4=1(1r)22,25,2. 如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.,解：分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是,这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是,26,不可能同时发生的两个事件