多目标优化（PPT39页).ppt

1、建立优化数学模型的有关问题 数学模型中的尺度变换 多目标函数优化设计 关于离散变量的优化设计问题 优化方法的选择及评价准则,第七章 关于机械优化设计当中的 几个问题,优化数学模型总体包含：设计变量，目标函数，约束条件,7.1.1关于设计变量的确定,工程设计中总是包含许多各种设计参数。在确定设计变 量时，要对各种参数加以分析，以进行取舍。,设计变量必须是独立变量。要从优互相依赖关系的变量 中剔除非独立变量。,7.1建立优化数学模型的有关问题,下图所示为汽车前轮转向梯形机构。 等腰梯形机构ABCD中，给定机架长度LAD=a（常数）。 当汽车转弯时，为了保证所有车轮都处于纯滚动，要求从 动件CD转角

2、 与主动件AB转角 保持某确定关系,该四杆机构的参数有各杆长度：l1,l2,l3,l4，和初始角 其中l4=a为已知，是设计常 量；又l1=l3，l3为非独立变 量；又 ，l2是l1与 的函数，故l2也 为非独立变量。所以只有两 个参数是独立变量,设计变量愈多,维数愈高，设计的自由度越大，容易得到 较理想的优化结果；但维数越高，会使目标函数，约束函 数所包含的变量增多，导致计算量增大，并使优化过程更 为复杂及降低解题的效率。所以，在建立目标函数时，确 定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下，将尽可能减 少设计变量的个数，即降低维数。,按设计问题维数的大小，通常把优化设计问题规模分为 三类：,

3、小型优化问题：维数2-10 中型优化问题：维数10-50 大型优化问题：维数50以上,7.1.2关于目标函数的建立,优化设计数学模型中的目标函数F（x），是以设计变量表 示设计问题所追求的某一种或几种性能指标的解析表达式， 用它来评价设计方案的优劣程度。通常，设计所追求的性能 指标较多，建立目标函数，要针对影响质量和性能最为重要 的，最显著的指标作为设计追求的根本目标写入目标函数。,所建立的目标函数一般分为：单目标函数，多目标函数,一般的，所包含的分目标函数越多，设计结果越完善，但 设计求解的难度增大。因此，在实际设计中，在满足设计性 能要求的前提下，应尽量减少分目标函数的个数。,7.1.3关

4、于约束条件问题,设计约束是在设计中对设计变量所提出的种种限制来确 定的。约束条件表达式同常有显性约束与隐性约束；不等 式约数与等式约束；边界约束与性能约束等。,在设计中应尽量减少约束条件的个数。在众多约束条件 中，可能存在消极约束，所谓消极约束是指在某些约束得 到满足时，而有另一个或几个约束必然得到满足，其作用 被覆盖，被覆盖了作用的约束称为消极约束。如果经分析 能确认是消极约束，在建立数学模型时，应将其除掉。在 一般情况下，消极约束是不容易识别出来的。所以，在很 多时候，仍是将全部约束都列出来，不加区别的代进算法 程序中求解计算。,7.2.1数学模型中的尺度变换,数学模型中的尺度变换问题，是

5、指用过改变在设计空间中 个坐标分量的比例，以改善数学性态的一种办法。,7.2.1设计变量的尺度变换 7.2.2约束条件的尺度变换 7.2.3目标函数的尺度变换,7.3多目标函数优化问题,在设计中，优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标， 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数，这样的目标函数 称为单目标函数，属于单目标优化设计问题。 在许多实际设计中，一个设计方案又企望有几项设计指 标同时都达到最优值，这种在优化设计中同时要求两项极其 以上设计指标达到最优值得问题，成为多目标优化设计，目 标函数称为多目标函数。,7.3.1多目标优化设计数学模型,优化设计中，若有m个设计指标表达的目标函数要求同时

6、 达到最优，则表示为,上式称为向量目标函数，是多目标函数； 式中的f1(x),f2(x),，fm(x)称为目标函数中的各分目标函数。,数学模型的一般表达式,gu(x) 0 (u=1,2,，p) hv(x)=0 (v=1,2，qn),为了与单目标优化问题相区别，在目标函数前加V， 即表示为,7.3.2多目标优化设计的概念,在单目标优化设计中，对于各种性态函数，总可以通过对 迭代点函数值的比较，找出全局最优解，对任意两个解都能 判断其优劣。而多目标函数问题与单目标则有根本区别，任 意两个解之间，就不一定能判断出优劣。,1绝对最优解,定义一：一般表达式多目标设计优化问题，若包括所有的 J=1，2，m

7、对于任意的设计点xD都有 fj(x) fj(x*) 成立，则点x*是多目标优化问题的绝对最优解。,无约束一维多目标 优化设计问题 (维数n=1， 分目标m=2) x*为绝对最优解得 迭代点，绝对最优 解（x*，F*）,约束一维多目标优 化设计解的情况。 在可行域0，1中， 绝对最优解发生在 x*=1处。 存在绝对最优解 （x*，F*）,n=2 m=2约束多目标 优化设计解的情 况，点x*为最优 点。,2有效解（非裂解）与劣解,定义二：对于一般表达式，若有设计点xD，不存在任意 的xD，使F(x) F(x*)成立，或fj(x) fj(x*)，对于所有的 j=1，2，m成立。则称x*为有效解或非劣

8、解。,例7.1 一个二维分目标（n=1，m=2）的多目标优化问题为,D：,见右下图。 取x=b，该点是有效解。因为在可行域D内，任取另一点 X，不存在F(x) F(b)， 即f1(x) f1(b)， 又同时有f2(x) f2(b)。 x=b点满足有效解定义。,同理，区间1，2中的 任意一点都满足有效解 定义。所以，区间1，2 组成了有效解（非劣解） 集。,定义三：在可行域D内，除绝对最优解与有效解集以外， 部分的设计点均称劣解点，劣解点的全部称为劣解集。,例7.2一个二维分目标的多目标优化设计问题。,D：,见右图，在可行域0，4内，区间 1，3为有效解集；0，1，3，4 为劣解集。,例7.3二

9、维（n=2）两个分目标（m=2）优化问题。分目标 函数为f1(x),f2(x)，可行域D目标函数等值线见右下图。,该优化问题不存在绝对最优解，可行域D边界上一段曲线A1至A2为有效解集，在可行域的其余部分全部构成劣解集。,将其映射到目标函数构成空间图(b)，曲线A1A2与Q1Q2对应，一些目标函数值比较小的解集在曲线Q1Q2上，为有效集。,3最终解（选好解）,从有效解中选出最终解或称选好解。如无某种要求， 一般从有效解集（A1A2曲线或Q1Q2曲线）中任选一点， 都可作为最终解；有时，设计者要根据设计问题的不同 要求与意愿，从中选出一个符合某种要求“满意”的解 作为最终解。,7.3.3多目标优

10、化问题的求解方法,多目标优化求解方法大体分为两大类。 其一是将多目标优化问题化为一系列单目标优化问题求 解；另一是将多目标优化问题重新构造成一个新的函数， 即评价函数，从而将多目标优化求解转变为求评价目标函 数的最优解。,一，宽容分层序列法,该方法的基本思想是将,中的m个目标函数按工程中某种意义分清主次，按重要程度逐一排队，重要的目标函数排在前面，然后依次对分目标函数求各自的最优解，只是最后一个目标函数求优应在 前一个目标最优解的集合域内求优。但由于分目标函数的 最优解常常是唯一的，其最优解域的集合只有一个设计点 那么求下一个目标函数的最优解就无意义了。,为了使分层序列法不是去在有效解中秋最终

11、解（选好 解）的功能，则将各目标函数的最优值给与放宽，使在后 一个分目标函数求优时，能在前一个最优值附近的某一范 围内求优。具体做法如下：,对一般表达式的多目标优化设计问题，给各分目标函数 最优值的宽容量分别是 则宽容 分层序列法的步骤如下,m,求解得到最优解,上式也可写为,求解得到最优解,i=1，2，m-1,取最后一个目标函数的最优点 作为多目标优化问题 的最优点x*。,即,二，线形加权法,线形加权法又称线形组合法，它是处理多目标优化问题 常用的较简单的一种方法。,按各分函数的重要程度，对应的选择一组加权系数1， 2，m。其界线为,（j=1，2，m）,用fj(x)与j(x)（j=1，2，m）

12、的线形组合构成一个评 价函数,求新的评价函数最优解，即,gu(x) 0 hv(x)=0,D：,x*,即将一般式的单多目标优化问题转化成求上式的单目标 优化问题,关于确定一组合理的加权系数j（j=1，2，m）， 希望能准确的反映各目标函数在整个多目标优化问题中的 重要程度，它是一个困难且较复杂的问题，如果取得合理， 则可以达到预期优化的目的，否则有可能造成计算谬误而 失败。目前，确定加权系数有的是设计者评设计经验直接 给定，也有用试算统计计算。,（j=1，2，m）,其中， （j=1，2，m）即分目标在可 行域内的最优目标函数值。式中的 反映了各分目标函数 离开各自最优值得程度。,三，理想点法,多

13、目标优化问题的一般式中，先求出各分目标函数在可 行域D内的最优解 （j=1，2，m）最有函数值 向量,上式称为理想解。,如果在本问题不存在绝对最优解的情况下，对于向量目 标函数 来说理想解似得 不到的；但要力求使各分目标仅可能接近各自的理想值， 则可以认为达到有效解中的选好解。,在实际的设计中，也常常按照设计者的经验与期望制定 出一个合理的各分目标函数值构成理想解,将 与 在写法上统一为 ，在构造设计方案与理想 解之间的离差函数U(x),U(x)函数可取以下形式,相对离差,加权相对离差,平方和加权离差,绝对值离差,将式 中的多目标 函数构造出以上几式的单目标函数作为评价函数，用评价 目标函数的

14、解作为原多目标优化问题的最终解。其表达式 为,gu(x) 0 hv(x)=0,D：,四，乘除法,该方法适于处理下面问题。按分目标函数的性质可分为 两类，两类的期望相反。其中的一类是表现目标函数值越 小越好，如追求体重轻，结构紧凑，原材料消耗少，加工 成本和加工费低，磨损量和应力小等；另外一类表现为目 标函数值越大越好，如产品产量，机械效率，零件强度及 刚度，利润，承载能力等。建议如下构造评价函数：,其中，s(sm)为第一类函数，(分目标函数期望取小),如果有两个分目标函数f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。 如下图所示,过域Df内的任一通过原点o的直线oA，它的斜率为

15、,当 时，即直线oA移到 与域Df边界的左方相切，切点 为Q，点Q对应的函数值 即为乘除法求得的选好 解,五，协调曲线法,这种方法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标设计优化 问题，为求最终解须对一般式个分目标函数加以协调，以求 在有效解集中求出选好解，作为多目标优化问题的最终解。,现以两个分目标函数组成的多目标优化问题为例。,两分目标的最优点分别在A1及A2，它们的分目标函数值为,A1点,A2点,在可行域D内任取一点B，其分目标函数值为,当固定 ，极小化f1(x)的可行域边界点C，C点的分 目标函数值为,当固定 ，极小化f2(x)的可行域边界点C，C点的分 目标函数值为,可见，C，D两点都优于

16、B点，在CD曲线上任选一点代表 的方案至少有一个目标函数值的到改善，所以CD曲线上任 一点都优于B点。曲线A1CDA2代表着有效解的解集，故称 此曲线为协调曲线。选好解（最终解）应从协调曲线上选 取。,为从协调曲线上确定选好解，再以f1(x),f2(x)为坐标建立 一个新的坐标系，见前面图2。将图1的协调曲线转换到新 的坐标系中，对应关系为A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，则 将A1CDA2曲线转换到2图中的Q1GHQ2曲线。,为在协调曲线上确定一个选好解，一般需另外一项指标， 为此在2图中画出满意曲线，随着满意程度的增加可使分目 标函数值均有所下降，直到o点，此点是从协调曲线上得出 的

17、最满意设计方案。分目标函数值为,如何确定满意函数或满意曲线，要按工程实际情况，很多 时候是依设计者的实践经验而设置；也可以根据实验数据而 定。必要时对分目标函数实行线形加权。,协调曲线法适合分目标追求出现矛盾情况。要在有效解集 中找出最满意的设计方案。在优化过程中，有时为了某个具 有较差值的分目标也能达到较为理想，则要增大其他分目标 函数值为代价，其主要思想是对各分目标函数进行协调，互 相之间做出让步，最终取得一个工程实际能认可的满意方案。,对于两个以上的分目标的多目标优化问题，所画的协调曲 线就变成多维抽象空间的超曲面，不可能用图形来表示，则 只能按数学模型由计算机自动处理。,7.4关于离散

18、变量的优化设计问题,7.4.1离散变量优化设计的基本概念,7.4.2离散变量优化方法简介 凑整法 网格法 离散复合型法 离散型惩罚函数法,7.5优化方法的选择及评价准则,7.5.1选择优化方法需考虑的问题,对优化设计问题，在建立了数学模型之后，就要选择一个 恰当的方法，来进行最优解得求解。目前，一般的做法是由 设计者根据实际优化设计问题的特点，在对各种优化方法按 评价准则所作的优缺点介绍，结合已有的一些经验来适当的 选取算法。,根据优化问题的特点，恰当的选择优化方法是一个很重要 的问题。下面就优化问题数学模型方面要考虑的一些因素分 述如下：,数学模型的类型 包括以下几个方面：是有约束还是无约束

19、，如有约束是 等式约束还是不等式约束或是两者兼有；设计变量是连续 的还是离散的或者是混合的；目标函数和约束函数是线形 的还是非线性的，即属于现行规划问题还是非线性规划问 题。,优化设计问题规模的大小 主要指设计变量的多少和约束条件的多少。,目标函数和约束函数是否连续和有凸性，是否存在一阶 和二阶导数等。,7.5.2优化方法的评价准则,为了比较不同算法的特性以及相应软件的技术水平，就 的要一个合理的评价准则来加以衡量。下面简述几个主要 的评价准则。,1，可靠性 算法的可靠性是指在合理的精度要求下，在一定的计 算时间或一定的迭代次数内求出最优解得成功率。它表征 了算法对各种优化数学模型的解题能力。能够解出的问题 越多，可靠