海淀区2018届高三期末数学(文)试题及答案(word版)

1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）.2018.1本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1） 已知i, i( a i)1 i，则实数 a 的值为（是虚数单位 若(A)（B ）（C）（ D）（2） 已知 a, bR ，若 a b ，则b211（ D） a3b3(A) a2b（B ） ab（C） a 2b 2（3） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为开始（ A ） 4（ B

2、） 5(C)6（ D） 7a = 1 , k = 1是a 10否a = 2ak = k +1输出 k结束（4） 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5 个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位 :分，每道题5 分，共8 道题 ) :甲班乙班520 y 0x5350040已知两组数据的平均数相等，则x, y 的值分别为（ A ）0， 0（B ） 0， 5（ C） 5， 0（ D ）5， 5;.（5）已知直线 xy m 0 与圆 O : x2y21 相交于 A, B 两点，且OAB 为正三角形，则实数 m 的值为（ A ）363或 -3662（ B ） 2（ C） 22（D ）或22（6） 设

3、aR ,则“ a 1”是 “直线 axy 1 0 与直线 x ay 10 平行”的（ A）充分不必要条件（ B）必要不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件ABC 中， ABAC1uuuruuur（7） 在， D 是 AC 边的中点，则 BDCD 的取值范围是(A)31(B)(,1（C） (313(, ),+ )（ D） (， )444444（8）已知正方体 ABCDA1 B1C1D1 的棱长为 2， M , N 分别是棱 BC、 C1D1 的中点，点 P在平面 A1B1C1D1 内，点 Q 在线段 A1 N 上 .若 PM5 ，则 PQ 长度的最小值为(A)21（ B）2（

4、 C） 3 51（D ） 3 555第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 。（9）已知双曲线ax2 y 2 1的一条渐近线方程为 y x ，则实数 a 的值为.y0,（ 10）若变量 x, y 满足约束条件xy10,则 zxy 的最大值是.x2y20,（ 11）在ABC 中， a1， b7 ， 且 ABC 的面积为3 ，则 c.2;.（12） 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的值是.1222222主视图左视图俯视图（13）函数 f ( x)2x ,x0, 的最大值为；若函数 f (x) 的图象与直线x(2x), x0yk (x1)

5、 有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是.（ 14） 某次高三英语听力考试中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A ，B，C 三个选项中只有一个是正确的 .下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5 道题的得分：12345得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2则甲同学答错的题目的题号是；此正确的选项是.三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15） （本小题13 分）已知等差数列an 的前 n项和为 Sn ，且 a25 ， S3a7 （）求数列 an 的通项公式；（）若 bn2a n ，求数列anbn的前 n 项和（16） （本小题13

6、 分）已知函数f ( x)cos2x tan(x) .4（）求函数f ( x) 的定义域；（）求函数f ( x) 的值域 .;.（17） （本小题13 分）据中国日报网报道，2017 年 11 月 13 日， TOP500 发布了最新一期全球超级计算机500强榜单， 中国超算在前五名中占据两席. 其中，超算全球第一“神威 太湖之光 ”完全使用了国产处理器 . 为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下： （数值越小 ，速度 越快 ，单位是 MIPS ） 测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试123456789101112品牌品牌

7、AB36910411217466142854258155121021设 ai 、 bi 分别表示第 i 次测试中品牌A 和品牌 B 的测试结果，记X iaibi（ i 1,2,.,12 ）（）求数据 X 1 , X 2 , X 3,. X12 的众数；（） 从满足 X i4 的测试中随机抽取两次，求品牌 A 的测试结果恰有一次大于品牌B 的测试结果的概率；（） 经过了解， 前 6 次测试是打开含有文字与表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字与图片的文件 . 请你根据表中数，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价 .（ 18） （本小题 14 分）如图，三棱柱 ABC

8、 A1B1C1 中，侧面 ABB1 A1底面 ABC ， ACAB ，AC ABAA12 ， AA1B160 0 ，E, F 分别为棱 A1B1 , BC 的中点 .（）求证：ACAE ；（）求三棱柱ABCA1 B1C1 的体积；（）在直线AA1 上是否存在一点P ，使得 CP / 平面 AEF . 若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由.;.19. （本小题 14分）已知椭圆 C : x2y21 ，直线 l : x y 20 与椭圆 C 相交于 P ， Q两点，与3mmx 轴交于点 B ，点 P, Q 与点 B 不重合 .（）求椭圆 C 的离心率；（）当 S OPQ2 时，求椭圆 C 的

9、方程；（）过原点 O 作直线 l 的垂线，垂足为N . 若 PNBQ ，求的值 .20. （本小题 13 分）已知函数f ( x)( x1)exax2 .（）求曲线yf (x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（）求证： “a0 ”是 “函数 f ( x) 有且只有一个零点”的充分不必要条件.;.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.题号12345678选项ADBBDCAC二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30 分.(有两空的小题第一空3 分)9. 110. 211.2 或 23 （答对一个给 3

10、分）313. 10,)14.5A12.2三、解答题 : 本大题共 6 小题，共 80 分.15（本题共 13 分）解：（）设等差数列an的首项为 a1 ，公差为 d .1d5a，解得a1 3，d 23a13da16d-3 分由ana1(n 1)d，则an2n 1-5 分因此，通项公式为 an2n1 .a2n1，则 bn22n1- 6（）由（）可知： n分bn 122 (n1) 14因为b 238 ，b22n11n所 以bn是 首 项 为 8， 公 比 为 q4的 等 比 数 列 .-7分记 anbn的前 n 项和为 Tn ，则Tn ( a1b1 ) (a2b2 )( anbn )(a1a2an

11、 ) (b1b2bn );.n(a1an ) b1 (1q n )21q- 11 分n 28(4n12n3)-13 分16（本题共 13 分）解：（）xk，k Z42-2 分解得： x3， k Zk4所 以 ， 函 数 的 定 义 域 为x | x k3, k Z4-4 分注：不写 kZ 扣 1 分，只扣一次；（）（）结果有一个写了集合符号，不扣分，都没写集合符号，统一扣1 分 .（） f ( x)cos2x tan(x)422tan x1(cos xsinx)- 8 分(cos xsin x)(cos x sin x)sin xcos xcos xsin x-9 分(cos xsin x)

12、22sin xcosx1-10 分sin 2x1-11 分因为 x k3, kZ ，所以 2xk3, k Z ，42所以 sin 2x1 ，所以 ，函 数 f (x) 的 值域 为 (2,0.-13分注：结果写成 2,0 扣两分 .17. （本题共 13 分）解：（）;.X1X 2X 3X 4X 5X 6X7X 8X 9X10X11X12124624421647所以 Xi 等于 1 有 2 次， X i =2 有 3 次， Xi=4 有 4 次， X i =6 有 2 次， X i =7 有 1次，则数据 X1 , X 2 , X3 . X12 的众数为 4- 5 分（ ） 设事 件 D= “

13、 品 牌 A 的 测试 结 果 恰有 一次 大于 品 牌 B 的测 试结果” .-6 分满足 X i 4 的测试共有 4 次，其中品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果有 2 次即测试 3 和测试 7，不妨用 M，N 表示 .品牌 A 的测试结果小于品牌 B 的测试结果有 2 次即测试 6 和测试 11，不妨用 P，Q 表示 . 从中随机抽取两次，共有 MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ 六种情况，其中事件 D 发生，指的是 MP,MQ,NP,NQ四种情况 .故42P( D ).63-10 分（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给

14、分.给出明确结论， 1 分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由， 2 分.标准 1:分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准 2：会用测试结果的平均数进行阐述- 13 分标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值； 这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）;.标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B

15、的测试结果的方差与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准 3：会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值与品牌 B 前 6 次测试结果的平均值、 后 6 次测试结果的平均值进行阐述 （品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值， 品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值， 品牌

16、 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B）标准 4：会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差，品牌 A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B）标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌B 这 12 次测试结果的平

17、均值进行阐述 （品牌 A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌B 这 12 次测试结果的平均值，品牌A 打开文件的平均速度快于B）标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开文件速度的波动小于 B）标准 7：会用前 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数、后 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（前 6 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 2 次，占 1/3. 后 6 次测

18、试中，品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次，占 2/3. 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于 B，品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于 B）标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（这 12 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次，占 1/2. 故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当）参考数据期望前 6 次后 6 次12 次品牌 A5.509.837.67品牌 B4.3311.838.08;.品牌 A 与品牌 B4.9210.83方差前 6 次后 6 次12 次品牌 A12.3027.3723.15品牌

19、 B5.0731.7732.08品牌 A 与品牌 B8.2727.9718. （本题共 14 分）（）证明：三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 ABB1 A1 底面 ABC ， ACAB ，又因为侧面 ABB1 A1I 底面 ABCAB ，AC底面 ABC ，所以AC平面ABB1 A1，- 3 分又因为 AE平面 ABB1 A1 ，所以AC AE；-4 分（）解：连接 AB1 ,因为三棱柱 ABCA1B1C1 中，所以 A1 B1AB .因为 ABAA12 ，所以 A1 B1AA12 .又因为 AA1 B1 60 0，所以 AA1 B1 是边长为 2 的正三角形 .因为 E 是棱 A1B1

20、 的中点，所以 AEA1B1 ，AE3 .又因为 AEAC ， A1C1 / AC ，所以 AEA1 C1 .因为 1 11 1底面 A1 B1C1 ，ACI A B A1 ， A1C1 , A1B1所以AE底面A1 B1C1.-6 分所以三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为;.V S A B C AE1 A1B1 ? AC11 ? AE12 23 2 3 ；811122分注： 明高得1 分， 算高的数 3 得 1 分，面 2 得 1 分，体 2 3 得 1 分（ ） 在 直 线 AA1上 存 在 点 P， 使 得 CP /平 面 AEF .- 9 分 明如下： 接BE 并延 ，与 AA1 的

21、延 相交， 交点 P . 接 CP .因 BB1 / / AA1 ，故 EA1A1PEPEB1BB1EB由于 E 棱 A1B1 的中点，所以EA1EB1 ， 故有 PEEB又 F 棱 BC 的中点， 接 EF，故EF为BCP的中位线，所以EF / / CP.- 11 分又 EF平面 AEF ， CP平面 AEF ，所以CP / /平面AEF.- 13 分故在直 AA1 上存在点 P ，使得 CP / 平面 AEF .此时A1P BB1 2，AP2AA14.-14 分CC1FB 1BEPA 1A注： 明 平行2 分， 明 面平行2 分，下 明点P 的存在 1 分， AP;.的长度 1 分19.

22、（本题共 14 分）解：（）a23m，2m，c22m，-2b分2c 226.ea23 ，故 e3-4分（）设 P x1 , y1， Q x2 , y2x23y23m ，得到 4x2 - 12x12 3m0 ，xy 20依题意，由(12)244 (12 3m)0得 m 1.x1x23且有x1 x2123m ，4-6分PQ1 k 2 | x x| 2 9 12 3m6 m 1 ，-712分原点到直线 l 的距离 d2-8分所以 S OPQ1 | PQ | d16m 122-922分解得m71，3故椭圆方程为 x23y 21 .77-10分（）直线 l 的垂线为 ON : yx ，-11分;.yx解

23、得交点 N (1,1) ，由y 2x0-12分因为 PNBQ ，又 x1x23所以PN=x112x21 ，故的值为 1.-14BQx22x22分20. （本题共 13 分）解：（ ）依题意， fxxex2ax, xR-1分所以切线的斜率 kf00又因为f 01，-2分所以切线方程为.-3分（ ）先证不必要性 .当 a0 时， f xx1 ex ，令f x0，解得x1.-4分此时， f x有且只有一个零点，故“fx 有且只有一个零点则 a0 ”不成立 .再证充分性-.5分方法一：当 a0 时， f x x ex2a .令 fx 0 ，解得 x10, x2ln2a.-6;.分（ i）当 ln2a0

24、 ，即 a1 时， f xx ex1 0 ，2所以 fx在 R上单调增 .又Q f 01 0, f 2 e22 0 ，所以f x有且只有一个零点.-7分（ ii）当 ln2a0 ，即1a0 时，2f x ， f x 随 x 的变化情况如下 :x,ln 2aln 2aln 2a ,000,fx00fxZ极大值极小值Z-8分当 x0 时， x1 ex0， ax20 ，所以 fx0-9分又 f2 e24ae220所以fx有且只有一个零点.-10分（说明：如果学生直接写出 x时 fx0 ，要扣 1 分）（ iii）当 ln2a0 ，即 a1x ， fx随 x 的变化情况如下 :时， f2x,000,ln2aln2aln 2a,fx00fxZ极大值极小值Z;.-11分因为f010，所以 x(,ln(2a)时 ，f x0-12分令 x01a ，则 x01.下面证明当 x1 时， exx2 .2x) .设 g (x)xx( x1) ，则 g ( x)x(2xee当 x(1,2) 时， g ( x)0, g( x) 在（1,2）上单调递增；当 x(2,+) 时， g ( x)0, g( x) 在（2,）上单调递减所以当 x=2 时， g( x) 取得极大值 g (2)41.e2所以当 x1 时， g(x)1, 即 x2ex .所以