文科立体几何大题复习

1、文科立体几何大题复习一解答题（共12小题）1如图1，在正方形abcd中，点，e，f分别是ab，bc的中点，bd与ef交于点h，点g，r分别在线段dh，hb上，且将aed，cfd，bef分别沿de，df，ef折起，使点a，b，c重合于点p，如图2所示（1）求证：gr平面pef；（2）若正方形abcd的边长为4，求三棱锥pdef的内切球的半径2如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，底面abcd是菱形，bad=60，ab=2，pd=，o为ac与bd的交点，e为棱pb上一点（）证明：平面eac平面pbd；（）若pd平面eac，求三棱锥pead的体积3如图，在四棱锥中pabcd，ab=bc=cd

2、=da，bad=60，aq=qd，pad是正三角形（1）求证：adpb；（2）已知点m是线段pc上，mc=pm，且pa平面mqb，求实数的值4如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点（）求证：acsd；（）若sd平面pac，则侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac若存在，求se：ec的值；若不存在，试说明理由5如图所示，abc所在的平面与菱形bcde所在的平面垂直，且abbc，ab=bc=2，bcd=60，点m为be的中点，点n在线段ac上（）若=，且dnac，求的值；（）在（）的条件下，求三棱锥bdmn的体积6如图，在三棱柱abca1b1c

3、1中，ab=ac，且侧面bb1c1c是菱形，b1bc=60（）求证：ab1bc；（）若abac，ab1=bb1，且该三棱柱的体积为2，求ab的长7如图1，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，e是cd的中点，将ade沿ae折起，得到如图2所示的四棱锥d1abce，其中平面d1ae平面abce（1）证明：be平面d1ae；（2）设f为cd1的中点，在线段ab上是否存在一点m，使得mf平面d1ae，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由8如图，已知多面体abcdef中，abd、ade均为正三角形，平面ade平面abcd，abcdef，ad：ef：cd=2：3：4（）求证：bd平面bfc；（）若ad

4、=2，求该多面体的体积9如图，在四棱锥中pabcd，底面abcd为边长为的正方形，pabd（）求证：pb=pd；（）若e，f分别为pc，ab的中点，ef平面pcd，求三棱锥的dace体积10如图，四边形abcd为菱形，g为ac与bd的交点，be平面abcd（）证明：平面aec平面bed；（）若abc=120，aeec，三棱锥eacd的体积为，求该三棱锥的侧面积11如图，四边形abcd是正方形，de平面abcd，afde，af=ed=1（）求二面角eacd的正切值；（）设点m是线段bd上一个动点，试确定点m的位置，使得am平面bef，并证明你的结论12如图，在四棱锥pabcd中，ab平面bcp，

5、cdab，ab=bc=cp=bp=2，cd=1（1）求点b到平面dcp的距离；（2）点m为线段ab上一点（含端点），设直线mp与平面dcp所成角为，求sin的取值范围文科立体几何大题复习参考答案与试题解析一解答题（共12小题）1如图1，在正方形abcd中，点，e，f分别是ab，bc的中点，bd与ef交于点h，点g，r分别在线段dh，hb上，且将aed，cfd，bef分别沿de，df，ef折起，使点a，b，c重合于点p，如图2所示（1）求证：gr平面pef；（2）若正方形abcd的边长为4，求三棱锥pdef的内切球的半径【解答】证明：（）在正方形abcd中，a、b、c均为直角，在三棱锥pdef中

6、，pe，pf，pd三条线段两两垂直，pd平面pef，=，即，在pdh中，rgpd，gr平面pef解：（）正方形abcd边长为4，由题意pe=pf=2，pd=4，ef=2，df=2，spef=2，spfd=sdpe=4，=6，设三棱锥pdef的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，三棱锥pdef的内切球的半径为2如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，底面abcd是菱形，bad=60，ab=2，pd=，o为ac与bd的交点，e为棱pb上一点（）证明：平面eac平面pbd；（）若pd平面eac，求三棱锥pead的体积【解答】（）证明：pd平面abcd，ac平面abcd，acpd四边形

7、abcd是菱形，acbd，又pdbd=d，ac平面pbd而ac平面eac，平面eac平面pbd（）解：pd平面eac，平面eac平面pbd=oe，pdoe，o是bd中点，e是pb中点取ad中点h，连结bh，四边形abcd是菱形，bad=60，bhad，又bhpd，adpd=d，bh平面pad，=3如图，在四棱锥中pabcd，ab=bc=cd=da，bad=60，aq=qd，pad是正三角形（1）求证：adpb；（2）已知点m是线段pc上，mc=pm，且pa平面mqb，求实数的值【解答】证明：（1）如图，连结bd，由题意知四边形abcd为菱形，bad=60，abd为正三角形，又aq=qd，q为a

8、d的中点，adbq，pad是正三角形，q为ad中点，adpq，又bqpq=q，ad平面pqb，又pb平面pqb，adpb解：（2）连结ac，交bq于n，连结mn，aqbc，pn平面mqb，pa平面pac，平面mqb平面pac=mn，根据线面平行的性质定理得mnpa，综上，得，mc=2pm，mc=pm，实数的值为24如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点（）求证：acsd；（）若sd平面pac，则侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac若存在，求se：ec的值；若不存在，试说明理由【解答】解：（）连bd，设ac交bd于o，由题意soac，在正方

9、形abcd中，acbd，所以ac面sbd，所以acsd（）若sd平面pac，则sdop，设正方形abcd的边长为a，则sd=，od=，则od2=pdsd，可得pd=，故可在sp上取一点n，使pn=pd，过n作pc的平行线与sc的交点即为e，连bn在bdn中知bnpo，又由于nepc，故平面ben面pac，得be面pac，由于sn：np=2：1，故se：ec=2：15如图所示，abc所在的平面与菱形bcde所在的平面垂直，且abbc，ab=bc=2，bcd=60，点m为be的中点，点n在线段ac上（）若=，且dnac，求的值；（）在（）的条件下，求三棱锥bdmn的体积【解答】解：（）取bc的中点

10、o，连接on，od，四边形bcde为菱形，bcd=60，dobc，abc所在的平面与菱形bcde所在平面垂直，do平面abc，ac平面abc，doac，又dnac，且dndo=d，ac平面don，on平面don，onac，由o为bc的中点，ab=bc，可得，即=3；（）由平面abc平面bcde，abbc，可得ab平面bcde，由，可得点n到平面bcde的距离为，由菱形bcde中，bcd=60，点m为be的中点，可得dmbe，且，bdm的面积，三棱锥nbdm的体积又vnbdm=vbdmn，三棱锥bdmn的体积为6如图，在三棱柱abca1b1c1中，ab=ac，且侧面bb1c1c是菱形，b1bc=

11、60（）求证：ab1bc；（）若abac，ab1=bb1，且该三棱柱的体积为2，求ab的长【解答】解：（i）取bc中点m，连结am，b1m，ab=ac，m是bc的中点，ambc，侧面bb1c1c是菱形，b1bc=60，b1mbc，又am平面ab1m，b1m平面ab1m，amb1m=m，bc平面ab1m，ab1平面ab1m，bcab1（ii）设ab=x，则ac=x，bc=x，m是bc的中点，am=，bb1=，b1m=，又ab1=bb1，ab1=，ab12=b1m2+am2，b1mam由（i）知b1mbc，am平面abc，bc平面abc，ambc=m，b1m平面abc，v=，x=2，即ab=27如

12、图1，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，e是cd的中点，将ade沿ae折起，得到如图2所示的四棱锥d1abce，其中平面d1ae平面abce（1）证明：be平面d1ae；（2）设f为cd1的中点，在线段ab上是否存在一点m，使得mf平面d1ae，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：连接be，abcd为矩形且ad=de=ec=2，ae=be=2，ab=4，ae2+be2=ab2，beae，又d1ae平面abce，平面d1ae平面abce=ae，be平面d1ae（2）=取d1e中点n，连接an，fn，fnec，ecab，fnab，且fn=ab，m，f，n，a共面，若mf平

13、面ad1e，则mfanamfn为平行四边形，am=fn=8如图，已知多面体abcdef中，abd、ade均为正三角形，平面ade平面abcd，abcdef，ad：ef：cd=2：3：4（）求证：bd平面bfc；（）若ad=2，求该多面体的体积【解答】解：（）因为abcd，所以adc=120，abd为正三角形，所以bdc=60设ad=a，因为ad：cd=2：4=1：2，所以cd=2a，在bdc中，由余弦定理，得，所以bd2+bc2=cd2，所以bdbc取ad的中点o，连接eo，因为ade为正三角形，所以eoad，因为平面ade平面abcd，所以eo平面abcd取bc的中点g，连接fg，og，则，

14、且efog，所以四边形oefg为平行四边形，所以fgeo，所以fg平面abcd，所以fgbd因为fgbc=g，所以bd平面bfc（）过g作直线mnad，延长ab与mn交于点m，mn与cd交于点n，连接fm，fn因为g为bc的中点，所以mg=oa且mgoa，所以四边形aogm为平行四边形，所以am=og同理dn=og，所以am=og=dn=ef=3又abcd，所以amdn，所以amdnef，所以多面体mnfade为三棱柱过m作mhad于h点，因为平面ade平面abcd，所以mh平面ade，所以线段mh的长即三棱柱mnfade的高，在amh中，所以三棱柱mnfade的体积为因为三棱锥fbmg与fc

15、ng的体积相等，所以所求多面体的体积为9如图，在四棱锥中pabcd，底面abcd为边长为的正方形，pabd（）求证：pb=pd；（）若e，f分别为pc，ab的中点，ef平面pcd，求三棱锥的dace体积【解答】解：（）连接ac交bd于点o，底面abcd是正方形，acbd且o为bd的中点又pabd，paac=a，bd平面pac，又po平面pac，bdpo又bo=do，rtpbortpdo，pb=pd（）取pd的中点q，连接aq，eq，则eqcd，又af，afeq为平行四边形，efaq，ef平面pcd，aq平面pcd，pd平面pcd，aqpd，q是pd的中点，ap=ad=aq平面pcd，cd平面p

16、cd，aqcd，又adcd，又aqad=a，cd平面padcdpa，又bdpa，cdbd=d，pa平面abcd故三棱锥dace的体积为10如图，四边形abcd为菱形，g为ac与bd的交点，be平面abcd（）证明：平面aec平面bed；（）若abc=120，aeec，三棱锥eacd的体积为，求该三棱锥的侧面积【解答】证明：（）四边形abcd为菱形，acbd，be平面abcd，acbe，则ac平面bed，ac平面aec，平面aec平面bed；解：（）设ab=x，在菱形abcd中，由abc=120，得ag=gc=x，gb=gd=，be平面abcd，bebg，则ebg为直角三角形，eg=ac=ag=

17、x，则be=x，三棱锥eacd的体积v=，解得x=2，即ab=2，abc=120，ac2=ab2+bc22abbccosabc=4+42=12，即ac=，在三个直角三角形eba，ebg，ebc中，斜边ae=ec=ed，aeec，eac为等腰三角形，则ae2+ec2=ac2=12，即2ae2=12，ae2=6，则ae=，从而得ae=ec=ed=，eac的面积s=3，在等腰三角形ead中，过e作efad于f，则ae=，af=，则ef=，ead的面积和ecd的面积均为s=，故该三棱锥的侧面积为3+211如图，四边形abcd是正方形，de平面abcd，afde，af=ed=1（）求二面角eacd的正切值；（）设点m是线段bd上一个动点，试确定点m的位置，使得am平面bef，并证明你的结论【解答】（本小题满分12分）解：（）设acbd=o，连结oe，由acod，acde，odde=d，得acoe，二面角eacd的平面角为eod，af=ed=1，taneod=，二面角eacd的正切值为（）时，am平面bef，理由如下：作m