清华大学几代期末考试试卷及答案

1、.清华大学大学几何与代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2 分，共 10 分）1311. 若 05x0 ，则_。122x1x2x302若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，则应满足。x1x2x303已知矩阵 A，B， C(cij ) s n ，满足 ACCB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。a11a124矩阵 Aa21a22的行向量组线性。a31a325 n 阶方阵 A 满足 A23A E0 ，则 A 1。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题 2 分，共 10 分）1.若行列式 D 中每个元素都大于零，则D 0 。（）2.零向量一定可以表示

2、成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组 a1， a2， ， am 中，如果 a1 与 am 对应的分量成比例，则向量组a1， a2， ， as 线性相关。（）01004.1000，则 A 1A 。（A001）000105.若 为可逆矩阵 A 的特征值，则 A1 的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共 10 分 )1.设 A 为 n 阶矩阵，且A2 ，则 A AT（）。 2n2 n 1 2n 1 42.n 维向量组1，2， ，s （3sn ）线性无关的充要条件是（）。 1， 2， ， s 中任意两个向量都线性无关 1， 2， ，

3、 s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 1， 2， ， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示. 1， 2， ， s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是 ( )。 任意 n 个 n 1 维向量线性相关 任意 n 个 n 1 维向量线性无关 任意 n 1个 n 维向量线性相关 任意 n 1个 n 维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n阶方阵，下面结论正确的是 ( )。若 A ， B 均可逆，则 AB 可逆 若 A， B 均可逆，则A B 可逆若 A B 可逆，则AB 可逆 若 AB 可逆，则A ， B 均可逆5. 若1，2，3，4 是线性方程组 A0 的基础解系，则 1 234 是

4、 A0 的（）解向量 基础解系 通解 A 的行向量四、计算题(每小题 9 分，共 63 分 )xabcd1. 计算行列式axbcd。abx cdabcx d3012. 设 ABA 2B ，且 A 110, 求 B 。014110021343. 设 B0110,C0213且矩阵满足关系式 X (C B)E, 求 。0011002100010002a11224. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111,2a , 3。2121a22x1x2x335.为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多x1x2x32解时求其通解。.12136. 设 14, 29, 30

5、1011,4. 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向370317量用该极大无关组线性表示。1007.设 A010 ，求 A 的特征值及对应的特征向量。021五、证明题(7分 )若A是n阶方阵，且AAI，证明A I 0。其中I为单位矩阵。A1，.试题答案一、填空题1. 52.13.ss， nn4.相关5. A 3E二、判断正误1.2.3.4.5.三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdxabcdbx cdabcx d xabcdbcx d1bcd1bcd1x bcd0x003( x a b c

6、 d )bx cd( x a b c d )0x(x a b c d ) x1001bcx d000x2.211522( A 2E)B A( A 2E) 1221， B ( A 2E) 1 A4321112233.123410000123，B )2100C B012(C3210000014321C B 1000100012 100 ， X E C B 12 1001210121001210121.4.a1122a1， a2，a31a11 ( 2a 1)2 (2a2) 当 a1或 a1 时，向量组 a1， a2， a3 线性相212821a22关。5. 当1且2 时，方程组有唯一解；当2时方程组无解211当1时，有无穷多组解，通解为0c11c200016.121312131213( a1， a2， a3， a4 )4901001420142113703410001616031703170013131002010200110000则 ra1， a2， a3， a43 ，其中 a1， a2， a3 构成极大无关组， a4