历年高考抛物线真题详解理科

1、历年高考抛物线真题详解理科1.【2017课标1，理10】已知f为抛物线c：y2=4x的焦点，过f作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与c交于a、b两点，直线l2与c交于d、e两点，则|ab|+|de|的最小值为a16b14c12d102.【2016年高考四川理数】设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线上任意一点，m是线段pf上的点，且=2,则直线om的斜率的最大值为( )（a）（b）（c）（d）13.【2016年高考四川理数】设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线上任意一点，m是线段pf上的点，且=2,则直线om的斜率的最大值为( )（a）（b）（c）（d）14.【2016高考新课标1卷】

2、以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a、b两点,交c的准线于d、e两点.已知|ab|=,|de|=,则c的焦点到准线的距离为(a)2 (b)4 (c)6 (d)85.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于a，b两点，与圆相切于点m，且m为线段ab的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）（a）（b）（c）（d）6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）a. b. c. d. 7. 【2017课标ii，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则8.【2

3、016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为f，准线为l.过抛物线上一点a作l的垂线，垂足为b.设c（p,0），af与bc相交于点e.若|cf|=2|af|，且ace的面积为，则p的值为_.10.【2017北京，理18】已知抛物线c：y2=2px过点p（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线c交于不同的两点m，n，过点m作x轴的垂线分别与直线op，on交于点a，b，其中o为原点.（）求抛物线c的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：a为线段bm的中点.11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线c的焦点，

4、求抛物线c的方程；（2）已知抛物线c上存在关于直线l对称的相异两点p和q.求证：线段pq的中点坐标为；求p的取值范围.12.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点a，抛物线上的点过点b作直线ap的垂线，垂足为q（）求直线ap斜率的取值范围；（）求的最大值13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（i）若在线段上，是的中点，证明；（ii）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.1.【2017课标1，理10】已知f为抛物线c：y2=4x的焦点，过f作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与c交于a、b两点，直线l2

5、与c交于d、e两点，则|ab|+|de|的最小值为a16b14c12d10【答案】a【解析】试题分析：设，直线方程为联立方程得同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当（或）时，取得等号.【考点】抛物线的简单性质2.【2016年高考四川理数】设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线上任意一点，m是线段pf上的点，且=2,则直线om的斜率的最大值为( )（a）（b）（c）（d）1【答案】c【解析】试题分析：设（不妨设），则由已知得，故选c.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用3.【2016年高考四川理数】设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线上任意一点，m是线段pf上的点，且=2

6、,则直线om的斜率的最大值为( )（a）（b）（c）（d）1【答案】c【解析】试题分析：设（不妨设），则由已知得，故选c.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值4.【2016高考新课标1卷】以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a、b两点,交c的准线于d、e两点.已知|ab|=,|de|=,则c的焦点到准线的距离为(a)2 (b)4

7、 (c)6 (d)8【答案】b【解析】考点：抛物线的性质。【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.5.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于a，b两点，与圆相切于点m，且m为线段ab的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）（a）（b）（c）（d）【答案】d【解析】显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点m必在直线上.将代入得.因为点m在圆上，

8、所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选d.利用这个范围即可得到r的取值范围。6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）a. b. c. d. 【答案】a.【解析】，故选a.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相

9、应平面几何知识的复习.7.【2017课标ii，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。【答案】6【解析】试题分析：点a，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。8.【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为f，准

10、线为l.过抛物线上一点a作l的垂线，垂足为b.设c（p,0），af与bc相交于点e.若|cf|=2|af|，且ace的面积为，则p的值为_.【答案】【解析】试题分析：抛物线的普通方程为，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，所以，考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若p(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|pf|x0；若过焦点的弦ab的端点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则弦长为|ab|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合

11、的方法类似地得到9.【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点m到焦点的距离为10，则m到y轴的距离是_【答案】【解析】试题分析：考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离10.【2017北京，理18】已知抛物线c：y2=2px过点p（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线c交于不同的两点m，n，过点m作x轴的垂线分别与直线op，on交于点a，b，其中o为原点.（）求抛物线c的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：a为线段bm的中点.【答案】（）方程为，抛

12、物线c的焦点坐标为（，0），准线方程为.（）详见解析.【解析】试题分析：（）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线on的方程为，联立求得点的坐标，证明.试题解析：解：（）由抛物线c：过点p（1，1），得.所以抛物线c的方程为.抛物线c的焦点坐标为（，0），准线方程为.，所以.故a为线段bm的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，

13、找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线c的焦点，求抛物线c的方程；（2）已知抛物线c上存在关于直线l对称的相异两点p和q.求证：线段pq的中点坐标为；求p的取值范围.【答案】（1）（2）详见解析，【解析】值范围。（2）设，线段pq的中点因为点p和q关于直线对称，所以直线垂直平分线段pq,于是直线pq的斜率为，则可设其方程为由消去得因为p 和q是抛物线c上的相异两点，所以从而，

14、化简得.方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段pq的中点坐标为因为在直线上所以，即由知，于是，所以因此的取值范围为考点：直线与抛物线位置关系12.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点a，抛物线上的点过点b作直线ap的垂线，垂足为q（）求直线ap斜率的取值范围；（）求的最大值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得ap的斜率为，由，得ap斜率的取值范围；（）联立直线ap与bq的方程，得q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值试题解析：（）设直线ap的斜率为k，则，直线ap斜率的取值范围是（）联立直线ap与bq的方程解得点q的横坐

15、标是，因为|pa|=|pq|= ，所以|pa|pq|=令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值的最大值。13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（i）若在线段上，是的中点，证明；（ii）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；（）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解试题解析：由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的

16、方程为. .3分（）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则，所以. .5分（）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. .12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法与从动点。14.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线c：y=与直线(0)交与m,n两点，（）当k=0时，分别求c在点m和n处的切线方程；（）y轴上是否存在点p，使得当k变动时，总有opm=opn？说明理由.【答案】（）或（）存在【解析】试题分析：（）先求出m,n的坐标，再利用导数求出m,n.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线c的方程整理成关于的一元二次方程，设出m,n的坐标和p点坐