工程力学精品课程-梁的变形.ppt

1、第 9 章,梁的变形与刚度设计,DESIGN OF BEAMS FOR BENDING DEFLECTIONS,一。 弯曲变形概念,受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线 在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平 面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。,梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；相对于原截面转过的角位移，称为转角,挠曲线是一条连续光滑平面曲线，其方程是,挠度v截面形心在坐标y方向上的位移，其正负号与y坐标轴正负相符；,转角横截面绕中性轴转过的角度，其正负号，逆时针为正，顺时针为负，在小变形 情况下，有,二。 挠曲线的近似微分方程,对梁，有：,对平面曲线，有关系式

2、：,由上两式可得：,考虑到弯矩M的符号与挠曲线凸向之间的关系,可见，M与v的符号相同，挠曲线的近似微分方程为：,三。计算弯曲变形的积分法,用直接积分法求梁的弯曲变形：弯矩方程是一个分段函数，设某段函数为Mi，则该段的 微分方程是,积分一次得,再积分一次得,如果M(x)是n段分段函数(i=1,2,.,n)，则要决定2n个积分常数，它们可以通过下列条件决定： 1. 边界条件：指梁的约束条件，一根静定梁有2个约束条件； (1) 固定端截面：挠度和转角均为0； (2) 铰链约束：挠度为0；,2. 光滑连续性条件：挠曲线的任意点上的挠度和转角是唯一的，n段分段函数有(n-1) 个分段点，在分段点上有：j

3、=j+1，vj=vj+1(j=1,2,n-1) ，共有2(n-1)个条件；而不会 出现挠度和转角不等情况。,在工程计算中，习惯上用f来表示梁在指定截面处的挠度。,例9-1 求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形A、B和最大挠度。,解 使用积分法求转角和挠度。 求约束反力。取梁AB作为研究对象，加上约束力 RA和RB，然后使用平衡方程,(b) 求弯矩方程。因AC、CB两段弯矩方程不同，分别写出弯矩方程,CB段,AC段,(c) 列挠曲线微分方程并二次积分。,CB段,AC段,(d) 决定积分常数。利用支座A、B处边界条件和左、右两段梁连接处C的光滑连续性 条件代入上述转角和挠度方程，确定积分常数

4、(1) 光滑连续性条件,(2) 边界条件:,(e) 结果（转角和挠度方程）。 AC段,CB段,(f) 求指定截面的弯曲变形。,要决定最大挠度，令：,在ab时，最大挠度发生在AC段，可求得,则最大挠度为,四。计算弯曲变形的叠加法,在几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的此物理量 的总和（代数和或矢量和）。这就是叠加原理。,例9-2 用叠加法求图示外伸梁的C和vC，梁的抗弯刚度是EI。,解 使用叠加积分法求转角和挠度。,(a) 将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。,(b) 而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。,(c) 应用挠度表确定三种下，梁c点

5、处的转角和挠度。查表：,而对第三种情形下二种载荷单独作用下，应用叠加法进行叠加。,(d) 应用叠加法，将三种情形下转角和挠度叠加。,五。梁的刚度条件与合理刚度设计,1.梁的刚度条件 指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即,弯曲构件的刚度条件。,2 刚度的合理设计,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同要求，将最大 挠度和转角限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件。,例9-3。简化电机轴的尺寸和载荷如图所示，已知E=200GPa，d=130 mm，定子与转子的许用间隙 =0.35mm；校核轴的刚度。,解 (a) 用叠加法求梁的最大挠度,(b ) 刚度校核,轴的刚度足够

6、。,3 提高梁的弯曲刚度的措施,由梁的挠曲线近似微分方程可见，梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而 影响梁弯矩的因素又包括载荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度， 可采用如下一些措施：,1）. 选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I； 2）. 调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支座；或使集中 力分散成分布力； 3）. 减小梁的跨度；增加支承约束； 其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和 转角的。,六。 简单静不定梁,求解简单静不定梁。首先，根据静不定次数选取静不定梁的基本结构。解除多余约束 (个数与静不定次数相同)，用多余约束力来代替，得到静不定梁的基本结构,其次，找出变形几何关系，即多余约束处梁的变形应满足的条件 ，求出多余约束处的变形，由此得到补充方程，联立求解补充方程和平衡方程，得出所有约束力 ，,例9-4。图示杆系中，AB和CD梁的抗弯为EI，