第2章 理论分布与抽样分布.ppt

1、,第二章 理论分布与抽样分布,第一节 理论分布 一、正态分布的定义 正态分布或称高斯（Gauss)分布,是一种常见的连续型随机变量的概率分布。 食品科学中所涉及的许多变量都是服从或接近正态分布的。,正态分布 概率密度函数：,x : 所研究的变数; :x的函数值,称为概率密度函数; :总体平均数; :总体标准差,其中, 2是两个常数,正态分布记为N( , ) ,表示具有平均数为,方差为 的正态分布。,2、f（x）在 处达到最大值，且,3、 f（x）是非负函数，以横轴为渐进线，分布从- 到+ ，且曲线在 处各有一个拐点。,二、正态分布曲线的特征:,1、正态分布曲线是以平均数为中心左右对称分布的单峰

2、悬钟形曲线，在平均数的左右两侧，只要（x-）的绝对值相等，f（x）值就相等。,4、正态分布曲线是以参数 和2的不同而表现的一系列曲线，所以正态分布曲线是一个曲线族，不是一条曲线。,5、正态分布的次数多数集中于算术平均数的附近，离平均数愈远，相应的次数愈少,在-3 以外次数极少。,6、曲线 f（x）与横轴之间所围成的面积等于1 ，即,正态分布的分布函数F(x)为：,二、标准正态分布,由于正态分布是依赖于参数和2 的一簇分布，正态曲线的位置由于上述参数的变化而不同。因此，在研究具体的正态分布时，需要将一般的正态分布标准化，转换成为0，2 1的正态分布，我们称0，2 1的正态分布为标准正态分布（st

3、andard normal distribution），记作: N(0,1)。,标准正态分布的概率密度函数记为 (u)：,标准正态分布的概率分布函数记为 (u)：,对称随机变量u服从标准正态分布，记作uN（0，1），其密度曲线如图。,任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量x都可以通过标准化变换，将其转化为服从标准正态分布的随机变量u，u称为标准正态离差或标准正态变量（standard normal deviate）。,按标准正态分布的分布函数公式计算，对不同的u值编成函数表，称为标准正态分布表（附表1），从中可以查到任意一个区间内曲线下的面积概率值。,三、正态分布的概率计算,根据正态分布的性

4、质，变量在两个定值间取值的概率等于曲线与其x轴在该区间围成的面积。 因此概率的计算即正态分布概率密度函数的定积分计算。 是一个曲线系统。为了一般化的应用，需将正态分布标准化。,1.标准正态分布的概率计算,设u服从标准正态分布，则u1，u2）内取值的概率为：,(u1)和(u2)可由附表1查得。,由上述公式及正态分布的对称性可推出下列关系式，再借助附表1便能方便地计算有关概率：,例1，已知uN（0，1），试求：P(u-1.64)=?,P(u 2.58)=?,P(u2.56)=?,P(0.34 U1.53)=?,利用公式，查附表1得： P(u-1.64)0.5050 P(u2.58)= (-2.58

5、)=0.004940 P(u2.56)=2 (-2.56) =20.005234=0.010468 P(0.34 u1.53 ) = (1.53)- (0.34) =0.93699-0.6331=0.30389,关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：,P(-1 u1)=0.6826 P(-2 u2)=0.9545 P(-3 u3)=0.9973 P(-1.96 u1.96)=0.95 P(-2.58 u2.58)=0.99,U变量在上述区间以外取值的概率分别为：,P(u1)=1-P(-1u1)=1-0.6826=0.3174 P(u2)=1-P(-2u2)=1-0.9545=0.0455 P

6、(u3)=1- P(-3u3)=1-0.9973=0.0027 P(u1.96)=1- P(-1.96u1.96) =1-0.95=0.05 P(u2.58)= 1- P(-2.58u2.58) =1-0.99=0.01,2.一般正态分布的概率计算,正态分布曲线和横轴围成的区域面积为1，表明了随机变量x在（- ,+ ）之间取值，是一个必然事件，其概率为1。 若随机变量x服从正态分布N（,），则x的取值落在任意区间x1，x2）的概率，记作P（x1xx2）。,即：,对上式作变换u（x-)/ ，得dx=du，故有：,由上述证明，服从正态分布的变量x落在x1,x2）内的概率，等于服从正态分布随机变量u

7、落在 （x1 ）/ , （x2- ）/ ）即u1，u2）的概率。 故，计算一般的正态分布的概率时，只要将区间的上、下限标准化，就可用查标准正态分布表的方法求概率值。,例：已知xN(100,22)，求P(100 x102)=?,由上述证明方法可得： P(100 x102) =P(100-100)/2(x-100)/2(102-100)/2 =P(0 u1) = (1)- (0) =0.8413-0.5000=0.3413,关于一般正态分布，以下几个概念计算是经常用到的：,P(- x +)=0.6826 P(-2 x+2)=0.9545 P(-3 x+3)=0.9973 P(-1.96 x+1.9

8、6)=0.95 P(-2.58 x+2.58)=0.99,x小于26：,=(26-30)/5= -0.8,查附表1,【例如】有一随机变数X服从正态分布，平均数 =30，标准差 =5，试计算X小于26，大于40，介于26-40区间的概率。,大于40：,=(40-30)/5=2,查表1, 由正态分布左右对称性， 则,x介于26与40之间：,【例如】已知某正态分布 =30， =5 ，试计算x偏离平均数达9.8和14.9 以上的概率？,计算,标准化,查附表1，得知它们对应的概率分别为0.05和0.01，即 P(x-9.80)=P(x-1.96) =P(x-)1.96+P(x-)-1.96 =0.05

9、P(x-14.90)=P(x-2.58) =P(x-)2.58+P(x-)-2.58 =0.01 以上两式等号右侧的前一项为右尾概率，后一项为左尾概率，其和概率为两尾概率。,统计学：1、总体 样本 抽样分布 2、样本 总体 统计推断,一、样本平均数的抽样分布 复置抽样(返置抽样) 不复置抽样（不返置抽样） 抽样误差,第二节 抽样分布,总 体(,2),.,样本1,样本2,样本n,抽样误差：由同一总体进行抽样获得的多个样本平均数，与原总体平均数相比具有不同程度的差异，这种差异是由于随机抽样造成的，称为抽样误差（sampling error）。,样本平均数也是随机变量，其概率分布叫作样本平均数的抽样

10、分布。有样本平均数构成的总体称为样本平均数的抽样总体，其平均数和标准差分别计为： 是样本平均数的抽样总体的标准差，简称标准误差（standard error）,统计学上已证明：样本平均数（ ）总体的参数 ，与x变量总体的两个参数 有如下关系：,例如，设有一个N=4的有限总体，其变量值为2、3、3、4。,总体的平均数、方差和标准差,为证明这一结论，进行模拟抽样试验,当以样本容量n=2进行独立抽样，抽取的所有可能样本数 ,其平均数、方差和标准差如下表。,样本观察值x,2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4,2,3,4,3,2,3,3,4,2,3,3,4,x,4 5 5 6

11、5 6 6 7 5 6 6 7 6 7 7 8,2,3,3,4,2.0 2.5 2.5 3.0 2.5 3.0 3.0 3.5 2.5 3.0 3.0 3.5 3.0 3.5 3.5 4.0,0.0 0.5 0.5 2.0 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 2.0 0.5 0.5 0.0,0.00 0.25 0.25 1.00 0.25 0.00 0.00 0.25 0.25 0.00 0.00 0.25 1.00 0.25 0.25 0.00,s,0.000 0.707 0.707 1.414 0.707 0.000 0.000 0.707 0.707 0.00

12、0 0.000 0.707 1.414 0.707 0.707 0.000,96 48 8.0 4.0 8.484,以自由度（n-1)作分母计算的样本方差 之均数：,以样本容量n作分母计算的样本方差 之均数：,样本标准差S之均数：,各样本均数总和之均数：,如果所有可能样本的某一统计数的平均数等于该总体的相应参数，则称该统计数为总体参数的无偏估计值(unbiased estimate)。,是 的无偏估计值；,是 的无偏估计值；,以n为分母得到的样本方差 不是 的 无偏估计值；,S不是 的无偏估计值；,因此，为了得到 的无偏估计值，估算样本方差时，必须以自由度df=n-1而不用n做分母。,抽样结论

13、,按上述抽样方法，再以n=4，从上述有限总体2,3,3,4中抽出全部所有样本，同样可以计算出所有样本的平均数、方差和标准差。,各种不同样本容量的样本平均数 的抽样分布,n=1,2 3 4,f,1 2 1,n=2,f,2.0 2.5 3.0 3.5 4.0,1 4 6 4 1,n=4,f,2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00,1 8 28 56 70 56 28 8 1,各种不同样本容量 的分布图,f,2 3 4,2 1 0,f,f,2 3 4,6 5 4 3 2 1 0,2 3 4,70 60 50 40 30 20 10 0,n=1;2=1

14、/2,n=2; 2=1/4,n=4; 2=1/8,从上述的表和图来看，从总体抽出的全部所有样本的平均数，当n增大时，其方柱形图逐渐趋向于正态分布曲线形状，说明样本平均数是做正态分布的。,样本平均数分布的平均数 、标准差 与其原总体平均数 、标准差 的关系为：,根据次数表，n=2抽样的样本平均数为：,样本平均数的方差为：,当n=4时，同理可得：,由此可获得下列两个定理：,从正态总体抽出的样本，无论样本容量的大小，其样本平均数 的抽样分布必然呈正态分布，具有平均数 和方 差 ，而且方差随样本容量的增大而降低。平均数的分布一般记为： 。,如果总体不是正态分布，但如具有一定量的 方差2和平均数，那么，

15、当样本容量足够大时 ，从这一总体抽出的样本平均数 的抽样分布也必趋近于正态分布，具有平均数 和方差 ，这称为中心极限定理。,二、均数标准误,均数标准误（平均数抽样总体的标准差） 的大小反映样本数的抽样误差的大小，即精确性的高低。 标准误（ ）大，说明各样本数（ ）间差异程度大，样本平均数的精确性低；反之， 小，说明 间的差异程度小，样本平均数的精确性高。,在实际工作中，总体标准差往往是未知的，因而无法求得。此时，可用样本标准差S估计总体 。,若样本中各观察值为x1,x2,x3xn，则样本标准误或均数标准误为,注意：样本标准差与样本标准误两个统计量之间的区别：,1.样本标准差（ S ）是反映样本

16、中各变数x1,x2,x3xn之间变异程度大小的一个指标，它的大小说明了 对该样本代表性的强弱。 2.样本标准误是样本平均数 的标准差，它是 抽样误差的估计值，其大小说明了样本间变异程度的大小及 精确性的高低。,设有两个总体：,抽k个样本容量为n1,抽m个样本容量为n2,三、两样本均数差数的抽样分布,样本平均数差数分布,表3.6 抽样平均数次数分布表 f1 f2 2.0 1 1.0 1 2.5 4 1.5 2 3.0 6 2.0 3 3.5 4 2.5 2 4.0 1 3.0 1 16 9,表3.7 样本平均数差数(d)的分布及其平均数与方差计算 f f -1.0 1 -1.0 4.00 4.0

17、 -0.5 6 -3.0 2.25 13.5 0.0 17 0.0 1.00 17.0 0.5 30 15 0.25 7.5 1.0 36 36 0.00 0.0 1.5 30 45 0.25 7.5 2.0 17 34 1.00 17.0 2.5 6 15 2.25 13.5 3.0 1 3.0 4.00 4.0 144 144 15.00 84.0,样本平均数差数的平均数必等于两个总体平均数的差数：,若 x1 和x2所在总体呈正态分布，其平均数分别为 1 和2 ，方差分别为12 和2 2，不论样本容量大小,则两样本平均数的差数呈正态分布,具有平均数d 和方差d2 。,样本平均数差数的方差必

18、等于两个总体平均数方差的总和：,四、样本均数差数标准误,实际中，总体方差常是未知的，通常的作法是用样本的方差分别来估计总体的方差。 所以： 常用 估计，记为：,简称为均数差数标准误（也称均数差数标准差）,上式中，S12与S22分别是样本含量为n1及n2的两个样本方差。,如果它们估计的各自总体方差12与22相等，即12 22 2 ，那么S12与S22都是2的估计值，这时应将S12与S22的加权平均值S02作为2的估计值较为合理。,所以：,五、 t-分布,对于未知总体进行抽样，由于人力、物力、材料的限制，只能用样本统计数s2作总体2的估计值，则其标准化离差的分布不呈正态分布，而作具有df=n-1的t-分布（t-distribution）,t-分布的概率密度函数如下：,样本平均数标准误为： Sx是 的估计数，其中S为标准差，n为样本容量。,t-分布图,t-分布曲线的特点是：,1. t分布受自由度的制约，每一个自由度对应1条t分布曲线。 2. 分布密度曲线以t0为轴，两边对成，且在t0时，分布密度函数取得最大值。 3. 与正态分布曲线相比较，t分布曲线则峰顶略低，尾部稍高而平 。如上图，df越小这种趋势越明显，df越大，t分布越趋近于正态分布。当df30时，则接近于正态分布曲线，当趋近于无穷大时，与正态分布曲线重合。,例如：,当df15时，查附表3得两尾概率等于0.05