初中数学二次函数经典综合大题练习卷

1、.1、如图 9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过 a（-1，0）、b（0，3）两点，与 x 轴交于另一点 c，顶点为 d（ 1）求该抛物线的解析式及点 c、d的坐标；（ 2）经过点 b、d两点的直线与 x 轴交于点 e，若点 f 是抛物线上一点，以 a、b、e、f 为顶点的四边形是平行四边形，求点 f 的坐标；（ 3）如图 9（ 2）p（2，3）是抛物线上的点， q是直线 ap上方的抛物线上一动点，求 apq的最大面积和此时 q点的坐标2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1 与投资成本

2、 x 成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润 y2 与投资成本 x 成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资成本的单位：万元）图图（1）分别求出利润 y1 与 y2 关于投资量 x 的函数关系式；（2）如果这位专业户计划以 8 万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润 z 与投入种植花卉的投资量 x 之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？.3、如图，为正方形的对称中心，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1 个单位每秒速度运动， 同时，点从出发沿方向以个单位每秒速度运动，运动时间为求：（ 1）的坐标为；（ 2）当为何值时，与相似？（ 3）求的面

3、积与 的函数关系式； 并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值4、如图，正方形abcd的顶点 a,b 的坐标分别为，顶点 c,d 在第一象限点p 从点a 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点 q从点 e(4,0) 出发，沿 x 轴正方向以相同速度运动当点 p 到达点 c时， p,q 两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒（ 1）求正方形 abcd的边长（ 2）当点 p 在 ab边上运动时， opq的面积 s（平方单位）与时间 t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求 p,q 两点的运动速度（ 3）求（2）中面积 s（平方单位） 与时间 t （秒）的函数关系式及面积取

4、最大值时点的坐标（ 4）若点 p,q 保持（ 2）中的速度不变，则点 p 沿着 ab边运动时， opq的大小随着时间 的增大而增大；沿着 bc边运动时， opq的大小随着时间 的增大而减小当点 沿着这两边运动时，使 opq=90的点有个.5、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以 2 厘米 / 秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以 3 厘米 / 秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒（ 1）求边的长；（ 2）当为何值时，与相互平分；（ 3）连结设的面积为探求与 的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？6、

5、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为. 直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；(2)如图，将沿 轴翻折，若点的对应点 恰好落在抛物线上，与 轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3) 在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.7、已知抛物线 yax2bx c 的图象交 x 轴于点 a(x 0，0) 和点 b(2， 0) ，与 y 轴的正半轴交于点c，其对称轴是直线 x 1，tan bac 2，点 a 关于 y 轴的对称点为点 d(1)确定 a.c.d 三点的坐标；(2)求

6、过 b.c.d 三点的抛物线的解析式；(3)若过点 (0 ，3) 且平行于 x 轴的直线与 (2) 小题中所求抛物线交于 m.n两点，以 mn为一边，抛物线上任意一点 p(x ，y) 为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为s，写出 s 关于 p 点纵坐标 y的函数解析式(4) 当 x4 时， (3) 小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由8、如图，直线 ab过点 a(m,0) ，b(0,n)(m0,n0) 反比例函数的图象与ab交于 c，d 两点， p 为双曲线一点，过 p 作轴于 q，轴于 r，请分别按 (1)(2)(3)各自的要求解答闷题。.(1) 若 m+n

7、=10，当 n 为何值时的面积最大 ?最大是多少 ?(2) 若，求 n 的值：(3) 在 (2) 的条件下，过 o、d、c 三点作抛物线，当抛物线的对称轴为 x=1 时，矩形 proq的面积是多少 ?9、已知 a1、a2、a3 是抛物线上的三点 ,a 1b1、a2b2 、a3 b3 分别垂直于 x 轴，垂足为 b1、b2、b3，直线 a2b2 交线段 a1 a3 于点 c。（ 1） 如图 1，若 a1、a2、a3 三点的横坐标依次为1、 2、 3，求线段 ca2 的长。（ 2）如图 2，若将抛物线改为抛物线，a1、a2、a3 三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段ca2 的长。.（ 3）

8、若将抛物线改为抛物线，a1、a2、 a3 三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段ca2 的长（用 a、b、c 表示，并直接写出答案）。10、如图，现有两块全等的直角三角形纸板，它们两直角边的长分别为1 和 2将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板沿直尺边缘平行移动当纸板移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点（ 1）求直线所对应的函数关系式；（ 2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；.两块纸板重叠部分 （图中的阴影部分） 的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值及取最大值时点

9、的坐标；若不存在，请说明理由11、om是一堵高为 2.5 米的围墙的截面，小鹏从围墙外的a 点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿cd的 b点处，经过的路线是二次函数图像的一部分，如果沙包不被竹竿挡住，将通过围墙内的e 点，现以 o为原点，单位长度为1，建立如图所示的平面直角坐标系， e 点的坐标 (3 ， ) ，点 b 和点 e 关于此二次函数的对称轴对称， 若 tan ocm=1(围墙厚度忽略不计 ) 。(1) 求 cd所在直线的函数表达式；(2) 求 b 点的坐标；(3) 如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多远的地方?12、已知：在平面直角坐标系xoy中，

10、一次函数的图象与 x 轴交于点 a，抛物线经过 o、a 两点。（1）试用含 a 的代数式表示 b；（ 2）设抛物线的顶点为d，以 d 为圆心， da为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿 x 轴翻折，翻折后的劣弧落在 d 内，它所在的圆恰与 od相切，求 d半径的长及抛物线的解析式；（ 3）设点 b 是满足（ 2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点 p，使得？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由。.13、如图，抛物线交轴于 a b 两点，交轴于 m点. 抛物线向右平移 2 个单位后得到抛物线，交轴于 c d两点 .（ 1）求抛物线对应的

11、函数表达式；（ 2）抛物线 或 在 轴上方的部分是否存在点 n，使以 a，c， m， n 为顶点的四边形是平行四边形 . 若存在，求出点 n的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）若点 p 是抛物线 上的一个动点（ p 不与点 a b 重合），那么点 p 关于原点的对称点 q是否在抛物线 上，请说明理由 .14、已知四边形是矩形，直线分别与交与两点，为对角线上一动点（不与重合）（ 1）当点分别为的中点时，（如图 1）问点在上运动时，点、能否构成直角三角形？若能，共有几个，并在图1 中画出所有满足条件的三角形（ 2）若，为的中点，当直线移动时，始终保持，（如图 2）求的面积与的长之间的函数关系式.

12、15、如图 1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（ 3）连接，如图 2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由16、如图，已知抛物线经过原点o和 x 轴上另一点 a, 它的对称轴 x=2与 x 轴交于点 c，直线 y=-2 x-1 经过抛物线上一点 b(-2, m) ，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 d、e.（1）求 m的值及该抛物线对应的函数关系式；（ 2）求证：cb=ce ； d 是 be的中点；（ 3

13、）若p x， y是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点p使得 pb pe若存在，试求出所()p 的坐标；若不存在，请说明理由 .,= ,有符合条件的点.17、如图，抛物线与轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b 左侧），与 y 轴交于点 c，且当 =0 和 =4 时， y 的值相等。直线 y=4x-16 与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是 3，另一点是这条抛物线的顶点 m。（ 1）求这条抛物线的解析式；（ 2） p 为线段 om上一点，过点 p 作 pq 轴于点 q。若点 p 在线段 om上运动（点 p 不与点 o重合，但可以与点 m重合），设 oq的长为 t ，四边形 pqco的面

14、积为 s，求 s与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（ 3）随着点 p 的运动，四边形 pqco的面积 s 有最大值吗？如果 s 有最大值，请求出 s 的最大值并指出点 q的具体位置和四边形 pqco的特殊形状；如果 s 没有最大值，请简要说明理由；（ 4）随着点 p 的运动，是否存在 t 的某个值，能满足 po=oc？如果存在，请求出 t 的值。试卷答题纸.参考答案1、解：（ 1）抛物线经过 a （-1 ，0）、b （ 0，3）两点，解得：抛物线的解析式为：.由，解得：由 d（ 1,4 ）（2）四边形aebf是平行四边形， bf=ae设直线 bd的解析式为：，则 b（ 0，3）

15、， d（1,4 ）解得：直线 bd的解析式为：当 y=0 时， x=-3e（-3 ，0）， oe=3， a（ -1 ，0） oa=1，ae=2 bf=2， f 的横坐标为2， y=3， f（2，3）；（ 3）如图，设q，作 psx 轴， qrx 轴于点 s、r，且 p（ 2， 3），. ar=+1，qr=，ps=3， rs=2-a， as=3 s pqa=s 四边形 psrq+s qra-s psa= s pqa=当时， s pqa的最大面积为，此时 q2、（ 1）设y1=kx，由图所示，函数y1 =的图象过（ 1，2），kx所以 2=k ?1，k=2，故利润 y1 关于投资量x 的函数关系式

16、是y1 =2x，该抛物线的顶点是原点，设 y2 =ax2，由图所示，函数y2 =ax2 的图象过（ 2， 2）， 2=a ?22 ， ，.故利润 y2 关于投资量 x 的函数关系式是： y2= x2 ；（ 2）设这位专业户投入种植花卉x万元（ 0 8），则投入种植树木（8）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2xx（ 8x）+ x2 = x2 2x+16= （ x2）2 +14，当 x=2 时， z 的最小值是 14， 0 x8， 当 x=8 时， z 的最大值是 323、（ 1）（，）分（ 2）当 mdr 45时， 2, 点（ 2，0）分当 drm45时， 3, 点（ 3，0）分（）

17、1 分）（ 1 分） （）；（ （）当时，（ 1 分）（ 1 分）当时，（ 1 分）当时，（1 分）4、解：（ 1）作 bfy 轴于 f。因为 a（ 0，10），b（ 8，4）所以 fb=8，fa=6所以（ 2）由图 2 可知，点 p 从点 a 运动到点b 用了 10 秒。.又因为 ab=10，1010=1所以 p、 q两点运动的速度均为每秒1 个单位。（ 3）方法一：作pg y 轴于 g则 pg/bf所以，即所以所以因为 oq=4+t所以即因为且当时， s 有最大值。方法二：当t=5 时， og=7，oq=9.设所求函数关系式为因为抛物线过点（10，28），（ 5，）所以所以所以因为且当时，

18、 s 有最大值。此时所以点 p 的坐标为（）。.（ 4）当点 p 沿 ab边运动时， opq由锐角直角钝角；当点p 沿 bc边运动时， opq由钝角直角锐角（证明略），故符合条件的点p 有 2 个。5、解：（ 1）作于点，如图所示，则四边形为矩形又在中，由勾股定理得：（ 2）假设与相互平分由则是平行四边形（此时在上）即解得即秒时，与相互平分（ 3）当在上，即时，作于，则.即=当秒时，有最大值为当在上，即时，=易知随的增大而减小故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为6、.（ 1）.（ 2）由题意得点与点关于轴对称，将的坐标代入得，（不合题意，舍去），.，点到轴的距离为3.，直线的解析式为，它

19、与轴的交点为点到轴的距离为.（ 3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，.把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去），.当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，与关于原点对称，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形7、解： (1) 点 a 与点 b 关于直线 x 1 对称，点 b 的坐标是 (2 ， 0)点 a 的坐标是 ( 4，0)由 tan bac2 可得 oc8 c(0，8)点 a 关于 y 轴的对称点为d.点 d 的坐标是 (4 ， 0)(2) 设过三点的抛物线解析式为ya(

20、x 2)(x 4)代入点 c(0， 8) ，解得 a12抛物线的解析式是y x 6x 8(3) 抛物线 y x2 6x 8 与过点 (0 ，3) 平行于 x 轴的直线相交于m点和 n 点 m(1，3) ，n(5，3) ，4而抛物线的顶点为(3 ， 1)当 y3 时s4(y 3) 4y12当 1y 3 时s4(3 y) 4y 12(4) 以 mn为一边， p(x ，y) 为顶点，且当x 4 的平行四边形面积最大，只要点p 到 mn的距离 h 最大当 x 3，y 1 时， h4s?h 4416满足条件的平行四边形面积有最大值168、解： (1)所以 n=5 时，面积最大值是(2) 当时，有 ac=

21、cd=db.过 c分别作 x 轴， y 轴的垂线可得c 坐标为 ()代入得(3) 当时，得设解析式为得，所以对称轴因为 p(x ，y) 在上所以四边形 proq的面积9、解：（ 1） a1 、a2 、a3 三点的横坐标依次为1、 2、3， a1 b1=，a2b2 ， a3b3 设直线 a1a3 的解析式为y kx b。解得直线 a1a2 的解析式为。. cb2 22 ca2=cb2 a2 b2= 2 。(2) 设 a1 、a2 、a3 三点的横坐标依次 n 1、n、n 1。则 a1 b1=，a2 b2 =n2 n1，a 3b3 =(n 1) 2（ n1） 1。设直线 a1a3 的解析式为y k

22、x b解得直线 a1a3 的解析式为 cb2 n（n1）n2n2 n ca2= cb2a2b2 =n2 nn2 n 1。(3) 当 a0 时， ca2a；当 a0 时， ca2 a.10、解：（ 1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1 和 2，知两点的坐标分别为设直线所对应的函数关系式为有解得所以，直线所对应的函数关系式为（ 2）点到 轴距离与线段的长总相等因为点的坐标为，所以，直线所对应的函数关系式为又因为点在直线上，所以可设点的坐标为过点作轴的垂线，设垂足为点，则有因为点在直线上，所以有因为纸板为平行移动，故有，即.又，所以法一：故，从而有得，所以又有所以，得，而，从而总有法二：故，可得故

23、所以故点坐标为设直线所对应的函数关系式为，.则有解得所以，直线所对的函数关系式为将点的坐标代入，可得解得而，从而总有由知，点的坐标为，点的坐标为当时，有最大值，最大值为取最大值时点的坐标为11、解： (1) om=2.5，tan ocm=1， ocm=，oc=om=2.。5 c(2.5 ，0) ，m(0，2.5) 。设 cd的解析式为 y=kx+2.5 (k o) ， 2.5k+2.5=0 ，k= 一 1。 y= x+2.5 。.(2) b、e 关于对称轴对称，b(x ，) 。又 b 在 y=一 x+2.5 上， x= 一 l 。 b( 1， ) 。(3) 抛物线 y=经过 b(一 1，) ，

24、 e(3，) ， y=，令 y=o ，则=0，解得或。所以沙包距围墙的距离为6 米。12、（ 1）解法一：一次函数的图象与 x 轴交于点 a点 a 的坐标为（ 4， 0）抛物线经过 o、a 两点.解法二：一次函数的图象与 x 轴交于点a点 a 的坐标为（ 4， 0）抛物线经过 o、a 两点抛物线的对称轴为直线（ 2）解：由抛物线的对称性可知， do da点 o在 d上，且 doa dao又由（ 1）知抛物线的解析式为点 d 的坐标为（）当时，如图 1，设 d 被 x 轴分得的劣弧为，它沿 x 轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与 d 关于 x 轴对称，设它的圆心为d点 d 与点 d 也关于 x

25、轴对称点 o在 d 上，且 d 与 d 相切点 o为切点dood. doa doa45 ado为等腰直角三角形点 d 的纵坐标为 -2抛物线的解析式为当时，同理可得：抛物线的解析式为综上， d 半径的长为，抛物线的解析式为或（ 3）解答：抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 p，使得设点 p 的坐标为（ x， y），且 y 0当点 p 在抛物线上时（如图2）.点 b 是 d的优弧上的一点过点 p 作 pe x 轴于点 e由解得：（舍去）点 p 的坐标为当点 p 在抛物线上时（如图3）.同理可得，由解得：（舍去）点 p 的坐标为综上，存在满足条件的点p，点 p 的坐标为：或二、计算题13、解：（

26、1）令抛物线向右平移 2 个单位得抛物线,.抛物线为即。.（ 2）存在。令抛物线是向右平移2 个单位得到的，在上，且又.四边形同理，四边形上的点为平行四边形。满足为平行四边形, 即为所求。（ 3）设点 p 关于原点得对称点且将点 q得横坐标代入，得点 q不在抛物线上。.14、解：（ 1）能，共有4 个点位置如图所示：（ 2）在矩形中， s abc =bc? ab，在中， bef bac.，s aep = s cpf =? ? sin acbcp fc，15、解：（ 1）由题意可设抛物线的解析式为抛物线过原点，抛物线的解析式为，.即（ 2）如图 1，当四边形是平行四边形时，由，得，点的横坐标为将代入，得，；根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为，.当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为?（ 3）如图 2，由抛物线的对称性可知：，若与相似，必须有设 显然交抛物线的对称轴于，点，直线的解析式为由，得，过作轴，在