2016-2017学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科)

1、.2016-2017 学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1（3 分）命题 “若 x2，则 x 1”的逆否命题是（）a若 x2，则 x1b若 x 2，则 x1c若 x1，则 x2d若 x 1，则 x22（3 分）抛物线 y2=8x 的准线方程是（）ax=2 by=2 cx=2dy=23（ 3 分）已知空间向量=（0，1，1）， =（ 1，0，1），则 与的夹角为（）abcd4（3 分）焦点在 x 轴上，且渐近线方程为y= 2x 的双曲线的方程是（）ax2=1b=1c=1

2、dy2=15（3 分）已知两条直线a， b 和平面 ，若 b? ，则 ab 是 a的（）a充分但不必要条件b必要但不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件6（3 分）已知椭圆 c 经过点（ 1，0），（0，2），则椭圆 c 的标准方程为（）ax2+=1b+y2=1cx2+=1d+y2=17（3 分）已知椭圆=1（0b2）的左、右焦点分别为f1， f2，直线 l过 f2 且与椭圆相交于不同的两点， ，那么1的周长（）a babfa是定值 4b是定值 8c不是定值，与直线l 的倾斜角大小有关d不是定值，与b 取值大小有关8（3 分）如图，在四面体abcd中，= ，点 m 在 ab 上，且.am=

3、ab，点 n 是 cd的中点，则=（）abcd9（3 分）对于双曲线c1：=1 和 c2：=1，给出下列四个结论：（ 1）离心率相等；（2）渐近线相同；（ 3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是（）a（1）（ 2）（4）b（1）（3）（ 4）c（2）（ 3）（4）d（2）（4）10（ 3 分）已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点 q 在直线 op 上运动，则当取得最小值时，点q 的坐标为（）abcd11（ 3 分）与圆 x2+y2=1 及圆 x2+y28x+12=0 都外切的圆的圆心在（）a一个椭圆上b双曲线的一支上c一条抛物线上d一个圆上（分）已知p： “?

4、 x 1， 2 ，x2 a 0”，q：“? xr”，使得 x2+2ax+212 3a=0，那么命题 “pq”为真命题的充要条件是（）aa 2 或 a=1b a 2 或 1 a 2 c a1d 2a 1二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分.13（ 4分）双曲线 x2 y2=1 的离心率为14（ 4分）命题 “若 | x| 3，则 x3”的真假为（填 “真 ”或“假”）15（ 4 分）椭圆的焦点为 f ，f ，点 p 在椭圆上，若 | pf | =4， f pf12112的大小为16（ 4 分）如图，三棱柱abca1b1c1 中，点 a1 在平面 abc 内的射影 o 为 ac

5、.的中点， a1，点p在线段1上，且pao=，则直o=2abbc ab=bc=a bcos线 ap 与平面 a1ac 所成角的正弦值为三、解答题：本大题共7 小题，共 48 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .17（ 8 分）已知命题 p：? xr，| x|+ x0；q：关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有实数根（ 1）写出命题 p 的否定，并判断命题 p 的否定的真假；（ 2）若命题 “pq”为假命题，求实数 m 的取值范围18（ 10 分）已知空间四点a（2，0，0），b（0，2，1），c（ 1，1，1），d（ 1，m， n）（ 1）若 abcd，求实数 m，n 的值；（

6、2）若 m+n=1，且直线 ab和 cd所成角的余弦值为，求实数 m 的值19（10 分）已知抛物线 y2=2px（p0）上一点 m（1，y）到焦点 f 的距离为（ 1）求 p 的值；（ 2）若圆（ xa）2+y2=1 与抛物线 c 有四个不同的公共点，求实数a 的取值范围20（ 10 分）如图，在三棱锥pabc中， pc平面 abc， acb=45， bc=2，ab=2（ 1）求 ac 的长；（ 2）若 pc=，点 m 在侧棱 pb 上，且，当 为何值时，二面角b acm 的大小为 30.21如图，在三棱锥 p abc中，pc平面 abc，pac=30，acb=45，bc=2，paab（ 1

7、）求 pc的长；（ 2）若点 m 在侧棱 pb 上，且，当 为何值时，二面角bacm 的大小为 3022（ 10 分）已知椭圆e：=1（ab0）的离心率为，右焦点为 f，椭圆与 y 轴的正半轴交于点b，且 | bf| =（ 1）求椭圆 e 的方程；（ 2）若斜率为 1 的直线 l 经过点（ 1，0），与椭圆 e 相交于不同的两点 m，n，在椭圆 e上是否存在点p，使得 pmn 的面积为，请说明理由23已知椭圆e：=1（ a b 0）的离心率为e=，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆e 截得的线段长为（ 1）求椭圆 e 的方程；（ 2）斜率为 k 的直线 l 经过原点 o，与椭圆 e相交于不同的两点

8、 m，n，判断并.说明在椭圆 e 上是否存在点 p，使得 pmn 的面积为.2016-2017 学年山西省太原市高二 （上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1（3 分）命题 “若 x2，则 x 1”的逆否命题是（）a若 x2，则 x1b若 x 2，则 x1c若 x1，则 x2d若 x 1，则 x2【考点】 21：四种命题【分析】 根据逆否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案【解答】 解：命题 “若 x2，则 x1”的逆否命题是 “若 x1，则 x2”，故选： c【点评】

9、 本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题2（3 分）抛物线 y2=8x 的准线方程是（）ax=2 by=2 cx=2dy=2【考点】 k8：抛物线的简单性质【分析】 利用抛物线的准线方程求解即可【解答】 解：抛物线 y2=8x 的准线方程是 x=2，故选： c【点评】 本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查3（ 3 分）已知空间向量=（0，1，1）， =（ 1，0，1），则 与的夹角为（）abcd【考点】 9r：平面向量数量积的运算【分析】由已知中向量， ，求出两个向量的模和数量积，代入夹角余弦公式，.可得答案【解答】 解：空间向量=（ 0，1，1），=（ 1，0，1）， 与

10、的夹角 满足，cos =，= ，故选： a【点评】本题考查的知识点是向量的数量积运算，向量的夹角，向量的模，难度中档4（3 分）焦点在 x 轴上，且渐近线方程为y= 2x 的双曲线的方程是（）ax2=1b=1c=1dy2=1【考点】 ka：双曲线的定义【分析】 利用焦点在 x 轴上，且渐近线方程为 y= 2x 的双曲线的方程，结合选项，即可得出结论【解答】 解：由题意，焦点在x 轴上，且渐近线方程为y=2x 的双曲线的方程是 x2=1，故选 a【点评】 本题考查双曲线的方程与性质，比较基础5（3 分）已知两条直线a， b 和平面 ，若 b? ，则 ab 是 a的（）a充分但不必要条件b必要但不

11、充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【考点】 ls：直线与平面平行的判定；29：充要条件【分析】我们先判断 ab? a与 a? a b 的真假，然后利用充要条件的定义，我们易得到a b 是 a的关系.【解答】 解：当 b? 是若 ab 时， a 与 的关系可能是 a，也可能是 a? ，即 a不一定成立，故 ab? a为假命题；若 a时，a 与 b 的关系可能是 ab，也可能是 a 与 b 异面，即 ab 不一定成立，故 a? a b 也为假命题；故 ab 是 a的既不充分又不必要条件故选 d【点评】本题考查的知识点是充要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断a b? a与 a? ab 的真

12、假，然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握6（3 分）已知椭圆 c 经过点（ 1，0），（0，2），则椭圆 c 的标准方程为（）ax2+=1b+y2=1cx2+=1d+y2=1【考点】 k4：椭圆的简单性质【分析】 椭圆 c 经过点（ 1， 0），（0，2），则椭圆 c 的焦点在 y 轴上，设标准方程为+=1（ a b 0）即可得出【解答】 解：椭圆 c 经过点（ 1， 0），（0，2），则椭圆 c 的焦点在 y 轴上，设标准方程为+=1（ a b 0）则 a=2，b=1椭圆 c 的标准方程为=1故选： c【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质， 考查了推理

13、能力与计算能力， 属于基础题7（3 分）已知椭圆=1（0b2）的左、右焦点分别为f1， f2，直线 l.过 f2 且与椭圆相交于不同的两点， ，那么1 的周长（）a babfa是定值 4b是定值 8c不是定值，与直线l 的倾斜角大小有关d不是定值，与b 取值大小有关【考点】 k4：椭圆的简单性质【分析】 由题意画出图形，可得abf1 的周长为 4a，则答案可求【解答】 解：如图，椭圆=1（0b2），椭圆的长轴长为2a=4， abf1 的周长 =4a=8故选： b【点评】 本题考查椭圆的定义，考查数形结合的解题思想方法，是基础题8（3 分）如图，在四面体abcd中，= ，点 m 在 ab 上，且

14、am=ab，点 n 是 cd的中点，则=（）abcd【考点】 9v：向量在几何中的应用.【分析】 由已知可得=+ =+，进而得到答案【解答】 解：点 m 在 ab 上，且 am=ab，点 n 是 cd的中点，=，=+，=+ =+，又= ，=，故选： b【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量的线性运算，难度中档9（3 分）对于双曲线c1：=1 和 c2：=1，给出下列四个结论：（ 1）离心率相等；（2）渐近线相同；（ 3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是（）a（1）（ 2）（4）b（1）（3）（ 4）c（2）（ 3）（4）d（2）（4）【考点】 kb：双曲线的标准方程【分

15、析】 利用方程，分别计算离心率、渐近线、焦距，即可得出结论【解答】 解：由题意，双曲线 c1：=1， 2：，c=1（ 1）离心率分别为，；（ 2）渐近线相同，为 y=x；（3）没有公共点；（4）焦距相等，为 10，故选 c【点评】 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础10（ 3 分）已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点 q 在直线 op 上运动，则当取得最小值时，点q 的坐标为（）abcd.【考点】 m6：空间向量的数量积运算【分析】可先设 q（x，y，z），由点 q 在直线 op 上可得 q（ ， ， 2），则由向量的数量积的坐标表示可得2=2（38+5

16、），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的 ，进而可求 q【解答】 解：设 q（x，y， z）由点 q 在直线 op 上可得存在实数 使得，则有 q（，2），当 =（1）（ 2 ）+（2）（ 1 ）+（32）（22）=2（328+5）根据二次函数的性质可得当时，取得最小值此时 q故选： c【点评】 本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点q 在直线 op 上可得存在实数使得，进而有 q（，2），然后转化为关于 的二次函数，根据二次函数知识求解最值， 体现了转化思想在解题中的应用（分）与圆x2+y2=1及圆x2+y28x+12=0 都外切的圆的圆心在（）11 3a一个椭圆上 b双

17、曲线的一支上c一条抛物线上d一个圆上【考点】 ja：圆与圆的位置关系及其判定【分析】 设动圆 p 的半径为 r，然后根据动圆与圆x2+y2=1 及圆 x2+y2 8x+12=0都外切得 | pf| =2+r 、| po| =1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决【解答】 解：设动圆的圆心为 p，半径为 r，而圆 x2+y2 =1 的圆心为 o（0，0），半径为 1；圆 x2+y28x+12=0 的圆心为 f（ 4， 0），半径为 2依题意得 | pf| =2+r ，| po| =1+r，则 | pf| | po| =（ 2+r）（ 1+r） =1| fo| ，所以点 p 的

18、轨迹是双曲线的一支故选 b【点评】 本题主要考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于基础题.12（ 3 分）已知 p： “? x 1， 2 ，x2 a 0”，q：“? xr”，使得 x2+2ax+2a=0，那么命题 “pq”为真命题的充要条件是（）aa 2 或 a=1b a 2 或 1 a 2c a1d 2a 1【考点】 2e：复合命题的真假【分析】 p： “? x 1，2 ， x2a 0”，可得 a（ x2）min q： “? xr”，使得x2+2ax+2a=0，则 0，解得 a，即可得出命题 “pq”为真命题的充要条件【解答】 解： p：“? x 1， 2 ，x2 a0”， a（ x2

19、） min， a 1q：“? xr”，使得 x2+2ax+2 a=0，则 =4a24（2a） 0，解得 a1，或 a 2那么命题 “pq”为真命题的充要条件是，解得 a=1 或 a 2故选： a【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定、函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分.（分）双曲线x2 y2=1的离心率为13 4【考点】 kc：双曲线的简单性质【分析】 根据题意，由双曲线的方程分析可得 a=1， b=1，结合双曲线的几何性质可得 c 的值，进而由离心率计算公式计算可得答案【解答】

20、 解：根据题意，双曲线的方程为x2 y2=1，变形可得=1，则 a=1，b=1，则有 c=，则其离心率 e=，故答案为：【点评】 本题考查双曲线的几何性质，要从双曲线的标准方程分析得到a、b 的值.14（ 4 分）命题 “若 | x| 3，则 x3”的真假为真（填 “真”或 “假 ”）【考点】 2k：命题的真假判断与应用【分析】 若| x| 3，则 x 3 且 x 3， x 3【解答】 解：若 | x| 3，则 x3 且 x 3， x3，故答案为：真【点评】 本题考查了命题真假的判定，属于基础题15（ 4 分）椭圆的焦点为 f1，f2，点 p 在椭圆上，若 | pf1| =4， f1pf2的大

21、小为120 【考点】 k4：椭圆的简单性质【分析】由 | pf1|+| pf2 | =6，且| pf1| =4，易得 | pf2| ，再利用余弦定理，即可求得结论【解答】 解： | pf1|+| pf2| =2a=6， | pf1| =4， | pf2| =6| pf1| =2在 f中， ，1pf2cos f1pf2= f1pf2=120故答案为： 120【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题， 考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题16（ 4 分）如图，三棱柱abca1b1c1中，点 a1 在平面 abc 内的射影o 为 ac的中点， a1，ab=bc=点p在线段1上

22、，且，则直o=2abbca bcos pao=线 ap 与平面 a1所成角的正弦值为ac.【考点】 mi：直线与平面所成的角【分析】 取 aa1 的中点 h，连结 po， ph， an则 ph面 aa1c， apo 为直角三角形，且 cospao= ，得 ap pah为直线 ap 与平面 a1ac所成角， sinpah=【解答】 解： abbc，ab=bc=， ac=2，ao=1点 a 在平面内的射影o为ac的中点，1abca1o=2abbc ao， bo，a1o 互相垂直，即面 abc，面 aa1c，面 a1ob 互相垂直，取 aa1 的中点 h，连结 po，ph，an则 ph面 aa1c

23、apo为直角三角形，且 cospao= ， ap= ， pah为直线 ap 与平面 a1ac所成角， sinpah=故答案为：【点评】 本题考查了空间角的求解，属于中档题三、解答题：本大题共 7 小题，共 48 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .17（ 8 分）已知命题 p：? xr，| x|+ x0；q：关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有实数根（ 1）写出命题 p 的否定，并判断命题 p 的否定的真假；（ 2）若命题 “pq”为假命题，求实数 m 的取值范围【考点】 2e：复合命题的真假； 2j：命题的否定.【分析】（1）命题 p 的否定：存在 x0 r， | x0|+

24、x00容易判断真假（ 2）命题 p： ? xr，| x|+ x0 是真命题；命题 “pq”为假命题，可得 q 为假命题因此关于 x 的方程 x2+mx+1=0 没有实数根因此 0，解得 m 范围【解答】 解：（1）命题 p 的否定：存在 x0r，| x0|+ x0 0是一个假命题（ 2）命题 p：? xr，| x|+ x0 是真命题；命题 “pq”为假命题， q 为假命题因此关于 x 的方程 x2+mx+1=0 没有实数根 =m240，解得 2m2实数 m 的取值范围是（ 2，2）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、 充要条件的判定、 一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算

25、能力，属于中档题18（ 10 分）已知空间四点a（2，0，0），b（0，2，1），c（ 1，1，1），d（ 1，m， n）（ 1）若 abcd，求实数 m，n 的值；（ 2）若 m+n=1，且直线 ab和 cd所成角的余弦值为，求实数 m 的值【考点】 lm：异面直线及其所成的角；m5：共线向量与共面向量【分析】（1）=（ 2，2，1），=（ 2，m 1， n 1），利用ab cd，即可求实数 m，n 的值；（ 2 ） 若m+n=1 ， 且 直 线ab和cd 所 成 角 的 余 弦 值 为， 即= ，即可求实数 m 的值【解答】 解：（1）=（ 2， 2，1），=（ 2，m1，n1）， abc

26、d， m1=2，n1=1， m=3，n=2；（ 2）由题意，=，m+n=1， m=3【点评】本题考查空间角的计算， 考查向量知识的运用， 考查学生分析解决问题.的能力，属于中档题19（10 分）已知抛物线 y2=2px（p0）上一点 m（1，y）到焦点 f 的距离为（ 1）求 p 的值；（ 2）若圆（ xa）2+y2=1 与抛物线 c 有四个不同的公共点，求实数 a 的取值范围【考点】 k8：抛物线的简单性质【分析】（1）根据抛物线的性质即可求出；（ 2）联立方程组，根据题意可得，解得即可【解答】解：（1）抛物线 y2（ ）上一点（， ）到焦点f的距离为 =2px p0m 1y则 1+ = ，

27、解得 p= ，（ 2）由（ 1）以及已知得，即 4x2+（ 1 8a）x+4a24=0 有两个不相等的实数根，则，解得 1a，则实数 a 的取值范围为（ 1，）【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系， 考查学生分析转化问题的能力， 考查计算能力，正确合理转化是关键20（ 10 分）如图，在三棱锥pabc中， pc平面 abc， acb=45， bc=2，.ab=2（ 1）求 ac 的长；（ 2）若 pc= ，点 m 在侧棱 pb 上，且 ，当 为何值时，二面角 b acm 的大小为 30【考点】 mt：二面角的平面角及求法【分析】（1）由已知条件利用余弦定理，利能求出ac（ 2）以 a 为原点，

28、 ab 为 x 轴， ac为 y 轴，过 a 作平面 abc的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 acm 的一个法向量和平面 abc的一个法向量，利用向量法能求出当 =1时，二面角 bacm 的大小为 30【解答】 解：（ 1）在 abc中，由余弦定理得 ab2=bc2+ac2 2bcaccosacb，得 4=8+ac2+4ac，解得 ac=2（ 2） pc平面 abc，pa ab， ab ac，以 a 为原点， ab 为 x 轴，ac为 y 轴，过 a 作平面 abc的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，b（2，0，0），c（0，2，0）， p（0，2，），点 m 在侧棱 pb上，

29、且=， m（，），设平面 acm 的一个法向量为=（x，y，z），则，取 z=1，得 =（，0，1），.平面 abc的一个法向量=（0，0，1），二面角 bac m 的大小为 30， cos30=，解得 =1或 = 1（舍），当 =1时，二面角 bacm 的大小为 30【点评】本题考查线段长的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21如图，在三棱锥 p abc中，pc平面 abc，pac=30，acb=45，bc=2，paab（ 1）求 pc的长；（ 2）若点 m 在侧棱 pb 上，且，当 为何值时，二面角bacm 的大小为 30.【考点】 mt：二

30、面角的平面角及求法【分析】（1）以 a 为原点， ab 为 x 轴， ac为 y 轴，过 a 作平面 abc的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 pc（ 2）求出平面 acm 的一个法向量和平面 abc的一个法向量，利用向量法能求出当 =1时，二面角 bacm 的大小为 30【解答】 解：（1） pc平面 abc，paab， ab ac，以 a 为原点， ab 为 x 轴，ac为 y 轴，过 a 作平面 abc的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， paab，=0，（）?（）=0， pc平面 abc，? =0，=0， | ?| cosacb+| 2=0，即，解得 ac=2，在

31、 rt中， pc=acsin30=（ 2） b（ 2， 0， 0），c（0，2，0）， p（ 0， 2，），点 m 在侧棱 pb上，且， m（，），设平面 acm 的一个法向量为=（x，y，z），则，取 z=1，得 =（），平面 abc的一个法向量=（0，0，1），二面角 bac m 的大小为 30，. cos30=，解得 =1或 = 1（舍），当 =1时，二面角 bacm 的大小为 30【点评】本题考查线段长的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用22（ 10 分）已知椭圆e：=1（ab0）的离心率为，右焦点为 f，椭圆与 y 轴的正半轴交于点b，且 | bf| =（ 1）求椭圆 e 的方程；（ 2）若斜率为 1 的直线 l 经过点（ 1，0），与椭圆 e 相交于不同的两点 m，n，在椭圆 e上是否存在点p，使得 pmn 的面积为，请说明理由【考点】 k4：椭圆的简单性质【分析】（1）由题意求得 a，c 的