高考极坐标与参数方程题型总结

1、.（一）极坐标中的运算1在直角坐标系 xoy 中，直线 c1 :22x = 2，圆 c2 ： x 1y 21,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求 c1 ， c2 的极坐标方程；（）若直线 c3 的极坐标方程为r ，设 c2 与 c3 的交点为 m , n,求 vc2mn4的面积 .2【 2015 高考新课标2，理 23】选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，曲线 c1xt cos,0 ），其中 0:t sin（ t 为参数， t，在以y,o 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 c2 :2sin ， 曲 线

2、c3 :2 3 cos （） .求 c2 与 c1 交点的直角坐标；（） .若 c2 与 c1 相交于点 a ， c3 与 c1 相交于点 b ，求 ab 的最大值3 3【答案】（） (0,0) 和 (,) ；（） 4 .（）曲线c1 的极坐标方程为(r,0) ，其中 0因此 a 得到极坐标为 (2sin ,) ， b的 极 坐 标 为 (23 cos, ) 所 以 ab2sin2 3cos4 sin() ，当5ab 取得最大值，最大值为 4 时，363（ 2016 年全国 i 高考）在直角坐标系xoy 中，曲线c1 的参数方程为（t为参数， a 0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的

3、极坐标系中，曲线c2：=4cos .（i）说明 c1 是哪种曲线，并将c1 的方程化为极坐标方程；（ii ）直线 c3 的极坐标方程为 =0，其中 0 满足 tan 0=2，若曲线 c1 与 c2 的公共点都在c3 上，求 a.解：xa cos t（ t 均为参数）y1a sin t x2y2a 21 c1 为以0 ，1为圆心， a 为半径的圆方程为 x2y22 y 1 a20 x2y22，ysin22sin120即为 c1 的极坐标方程ac2 ：4cos两边同乘得24cosq2x2y2 ， cosxx2y24x即 x22y24c3 ：化为普通方程为 y 2 x由题意： c1 和 c2 的公共

4、方程所在直线即为c3得： 4 x2 y1 a20 ，即为 c32 1 a 0 a 14：已知圆c 的圆心 c 的极坐标为 (2, )，半径为 3，过极点o 的直线 l 与圆 c 交于 a,b 两.?点， ?与 ?同向，直线的向上的方向与极轴所成的角为（1）求圆 c 的极坐标方程；（2）当= 135 时，求 a,b 两点的极坐标以及弦 |?|的长?= 4 -2?o 为极点， x 轴的5：在直角坐标系 xoy 中，曲线 ?1 的参数方程为 2 （为参数）以2?= 2?非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线 ?的极坐标方程为 = 2 cos ?2（1）求曲线 ?的极坐标方程和 ?的参数方程；12（2）若射

5、线 = ?与曲线 ?,?12分别交于 m,n 且 |on|=|?|，求实数 的最大值 .(? 0)（二） .参数方程中任意点（或动点）例：曲线 ?= -4+ ?： ?= 8?1 :(t 为参数 )， ?2(为参数 )?= 3 + ?= 3?（1） .化 ?， ?为直角坐标系方程，并说明表示什么曲线。12上的点 p 对应的参数为 t =上的动点， 求 pq 中点 m 到直线 ?= 3 + 2?(2).若 ?12,q 为 ?23?=(t-2 + ?为参数 )距离最小值。例：在极坐标中，射线?23，以极l: = 与圆 c: = 2 交于 a 点，椭圆d 的方程为 ? =261+2?点为原点，极轴为x

6、 正半轴建立平面直角坐标系xoy（ 1） 求点 a 的直角坐标和椭圆 d 的参数方程；（ 2） 若 e 为椭圆 d 的下顶点， f 为椭圆 d 上任意一点，求 ?.?的取值范围。例：在直角坐标系中， 圆 ? 22? = 3?后得到曲线 ?以坐标原点为极1 ? + ? = 1 经过伸缩变换 2? = 2?点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 cos ?+ 2 sin ?= 10.?（1）求曲线 ?的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；2（2）设点 m 是 ?上一动点，求点 m 到直线 l 的距离的最小值 .2例（ 2016 年全国 iii 高考）在直角坐标系x3 co

7、s为参数 ) ，xoy 中，曲线 c1 的参数方程为(ysin以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2 的极坐标方程为sin() 2 2 .4（i ）写出 c1 的普通方程和c2 的直角坐标方程；（ii ）设点p在c1上，点在上，求 | 的最小值及此时p的直角坐标 .q c2pq.三直线与曲线相交问题例（ 2016 年全国 ii 高考）在直角坐标系xoy 中，圆 c 的方程为 ( x6)2y225 （）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求c 的极坐标方程；（）直线 l 的参数方程是xt cosl 与 c 交于 a, b 两点，| ab |10 ，y（ t

8、 为参数）,t sin求 l 的斜率解：整理圆的方程得x2y212110 ，2x2y2由cosx 可知圆 c的极坐标方程为212cos 110 siny记直线的斜率为k ，则直线的方程为kxy0，6k2由垂径定理及点到直线距离公式知：10，1 k2252290 ，整理得 k 2515即 36k 2，则 k1k433x53t例（ 2015）湖南已知直线 l :2（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴1 ty32.为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标方程为2cos.（1）将曲线 c 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 m 的直角坐标为(5,3) ，直线 l 与曲线 c 的交点为

9、a ，b ，求 | ma | | mb | 的值 .例：在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 ?的参数方程为 ?= cos ?=，(为参数，且 ?0， ）1sin ?以 o 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，.曲线 ?的极坐标方程2四求点坐标，图形面积，轨迹方程等的计算。例：（全国新课标理 23）选修 4-4：坐标系与参数方程在 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 曲 线 ? 的 参 数 方 程 为 ?= 2? 为 参 数 )1(?= 2 + 2?uuuruuuurm 为 ?1上的动点， p 点满足 op2om ，点 p 的轨迹为曲线 ?2（i ）求 ?的方程；2?（ii ）在以 o

10、 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 =与?的异于极点的交点31为 a ，与 ?的异于极点的交点为b ，求 |ab|.2解：?（i ）设 p(x， y)，则由条件知m （? ?点在 ?上，所以 2= 2?,）由于 m21?22 = 2 + 2?从而 c 2 的参数方程为x4cosy4 4sin（ 为参数）（）曲线 c1 的极坐标方程为4sin，曲线 c2 的极坐标方程为8sin1 4sin射线3 与 c1 的交点 a 的极径为3 ，28sin射线3与 c2 的交点 b 的极径为3 所以| ab | 21 | 2 3.例：在平面直角坐标系xoy 中，曲线 c 的参数为 ?= ?+

11、?cos ?= ?sin ?(a 0) ，以 o 为极点 x，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程 cos ?-?33) =2 .(1) 若曲线 c 与 l 只有一个公共点，求a 的值；.(2)?a,b 为曲线 c 上的两点且 aob= ，求 oab 的面积最大值 .3习题训练：1.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1 的2?2?)-2=0的极坐标方程为 =与?相交极坐标方程为 ?-22?sin?( ?-曲线 c?(?), ?2441于 a,b 两点 .（1）求 c1 和 c2 的直角坐标方程；(2)若点 p为 ?上的动点，求 |?

12、| 2+|?|2 的取值范围 .12.在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c1 的?= 4 -2?c 2 的极坐标方程为 =2cos参数方程 22 ( t 为参数）曲线?=?2(1)求c1的极坐标方程和 ?的参数方程 ;2|(2) 若射线 = ? ?（ 0 ）与曲线 ?， ?分别交于 m,n 且?= ?，求实数的最大0?12值 .3.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 和?直线 l 的极坐标方程分别为= 4 2cos( -) ， (3?-?)= 2?.4(1) 将曲线 c 极坐标方程化为直角坐标方程；1

13、1（2）直线 l 与曲线 c 交于 a,b 两点，点 p（ 3 ， 1）求|?|2 + |?| 2 的值 .4. 在极坐标系中，已知曲线c：cos ( +?4 ) =1, 过极点 o作射线与曲线 c 交于 q，在射线| |2oq上取一点 p，使? ?=（1）求点 p 的轨迹 ?的极坐标方程；1（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xoy ，若直线 l： y= - 3?与12（1）的曲线 ?相交于 e（异于点 o）,与曲线 ?: ?= 2 -2?f，求|122( t 为参数）相交于点?=2 ?的值 .5. 在直角坐标系 xoy 中，曲线 c1 的参数方程 ?= 1 + 2?(

14、为参数）若 m是曲线 ?上?= 2 + 2?1的一点，点 p 是曲线 ?上任意一点，且满足=3 .2?（1）求曲线 ?的直角坐标方程；2(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l: sin -cos- 7 =|，试求 mef 面积的最大值 .0，在直线 l 上两动点 e,f 满足?= 42.?= -3?26在直角坐标系 xoy 中，曲线l 的参数方程 1( t 为参数）以坐标原点为极点，?= 1 +?2x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 c136的 极 坐 标 方 程 =43?-12?-?定点 m(6 ，0) ，点 n 是曲线 ?上的动点， q为 mn的中点；1（1）求点 q的轨迹 ?的直角坐标方程；2（2）已知直线l