高等数学资料：高数总复习

1、高数总复习,考核内容和考核要求,考核内容 一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分和常微分方程四个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、常微分方程等方面的知识,第一章 函数，极限和连续,1.理解函数的定义与特性： 函数的三要素定义域、值域、法则； 四种特性有界性、单调性、奇偶性、周期性。,一、函数,注意常用函数：复合函数、分段函数、初等函数,2.会求函数的定义域及函数表达式,二、极限,1.理解数列的极限的定义及性质；,2.理解函数的极限的定义及性质；,不存在,注意一个结论：,应用：当分段函数在分段点左、右两侧表达式不同时，求函数在分段点的极限,3.

2、理解无穷小与无穷大的概念，无穷小的阶的概念；会进行无穷小的比较。 特别注意：等价无穷小,无穷小与极限的关系：,其中 为,时的无穷小量 .,（1）利用极限的运算法则,4.极限的计算,可简化求极限的过程,设,且 x 满足,时,则有,（ 0， 0， m,n为非负整数).,f) 幂指函数的极限运算,（2）利用连续函数的性质求极限,（3）利用无穷小的运算性质,a) 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。,b) 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。,c) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,（4）利用等价无穷小的替换简化计算:,（5）利用重要极限,或,（6）利用极限的存在准则,夹逼定理 单调有界数列必有极限,（

3、7）洛必达法则求不定式的极限,注意:应用洛必达法则的条件：,为有限数A (或为 ),方法：,若,但此时又要注意若出现循环形式就要另谋他法了。,例 计算下列极限,三、连续,1.理解函数连续的定义；,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,且,函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在 ;,有定义 ,存在 ;,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,注意：,极限与连续的关系: 极限 连续,连续函数必有极限, 有极限不一定是连续函数.,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,

4、称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,2.会判断函数在一点是否连续性，若是间断点 能够指出间断点的类型。,3.理解闭区间上连续函数的性质,（1）有界性与最大值最小值定理,（2）零点定理与介值定理,例、求下列函数的定义域,（1）,解,函数的定义域是,解得,即函数的定义域是,且,综合练习,（2）,解,分段函数的定义域是所有定义区间的并集，,此分段函数的定义域是,或,但,的定义域是,故综合起来可知所求函数的定义域是,例、,若函数,求,解,已知,即,根据函数概念可知,（即下划线的部分替换成x）,（即下划线的部分替换成 ）,（

5、即下划线的部分替换成0）,规范以上的做法就是：,设,则,将,代入,中，即有,令,则有,令,则有,令,则有,例、,下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？,A,B,C,D,解,A,B,D中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，,例：求下列极限,解,（1）,分子、分母同除以,则,（2）,解,首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算,（3）,解,由于,时，有,因此,还是无穷小量，故,（4）,解,（5）,解,（6）,解,例,讨论函数,在,处的连续性。,高等数学1,解,的定义域为,由于,在,点处的左右极限不相等，,故极限不存在，,因此函数,在,点间断。,第二章 一元函数微分学,基本导数公式,

6、（常数和基本初等函数的导数公式）,求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6) 参变量函数的求导法则,高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),微分的定义,定义,(微分的实质),导数与微分的关系,定理,微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,微分的基本法则,微分形式的不变

7、性,费马定理,设函数f (x)在 处及其附近连续，且在点 处取极大值(极小值). 如果 f ()存在，则必有 f ()=0.,罗尔定理 (Rolle)中值定理,设 (1) f (x)C( a,b)；,(2) f (x)在(a,b)内可导；,(3) f (a)=f (b)，,则至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) =0.,罗尔定理的几何意义：,拉格朗日中值定理 (Lagrange),设 (1) f (x)C ( a, b);,(2) f (x)在(a, b)内可导，,则至少存在一点 (a, b)，使,推论1 设f (x)在区间I上可导，且f (x)=0, xI. 则f (x)=C, xI.

8、,拉格朗日中值定理的二个重要推论,(C为常数),推论2.若f (x)=g (x)，xI, 则 f (x)=g(x)+C , xI (C为常数),洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,注意：洛必达法则的使用条件.,导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定法,定义,(2) 函数的极值及其求法,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,定

9、理(第一充分条件),定理(第二充分条件),求极值的步骤:,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值问题,定义,(4) 曲线的凹凸与拐点,定理1,方法:,例如,有铅直渐近线:,铅直渐近线,水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,(5) 函数图形的描绘,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,综合练习,设,则,。

10、,解：,故,曲线,在,处的切线方程是 。,解：,又有,故切线方程为,或,计算下列函数的导数或微分：,设,求,解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则,由此得,设函数,由方程,确定，求,解：,等式两端对,求导得,整理得,方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得,左端,右端,由此得,整理得,设函数,由参数方程,确定，求,解：,由参数求导法,求下列函数的二阶导数：,3,解：,解：,函数,的单调增加区间是。,解：,当,时,故函数的单调增加区间是,曲线,的凸区间是。,解：,当,时,故函数的凸区间是,求函数,的单调区间，凹凸区间，极值点和拐点：,解：,令,得,当,或,时，,当,时，,故题给

11、函数的单调增加区间是,和,单调减少区间是,是极小值点，,是极大值点,令,得,当,时，,当,时，,故题给函数的凸区间是,，,凹区间是,是拐点,应用题,圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，,问当底半径与高分别为多少时，,圆柱体的体积最大？,解：,如图所示，,圆柱体高,与底半径,满足,圆柱体的体积公式为,将,代入得,求导得,令,得,并由此解出,即当底半径,高,时，,圆柱体的体积最大。,求曲线,上的点，,使其到点,的距离最短。,解：,曲线,上的点到点,的距离公式为,与,在同一点取到最大值，,为计算方便求,的最大值点，,将,代入得,求导得,令,得,并由此解出,即曲线,上的点,和点,到点,的距离最短,

12、第三章 一元函数积分学习题课,(1)原函数和不定积分的概念；基本积分公式， 基本积分法则，换元法，分部积分法. (2)定积分的定义；微积分基本定理；牛顿-莱布尼兹公式. (3)反常积分(无穷积分,瑕积分). (4)定积分的应用.(平面面积,旋转体体积, 医学上的应用),(一) 主要内容,一 不定积分,一、理解原函数与不定积分的概念。,二、掌握不定积分的基本性质,求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,解题技巧:,把被积函数

13、视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ),常见于被积函数为指数函数与三角函数相乘,例 计算下列不定积分,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,牛顿-莱布尼茨公式,（二）定积分,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,存在定理,定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中

14、值定理),性质6,积分中值公式,牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,（三）反常积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,（四） 定积分的应用,1，微元法,2，平面图形面积,3，旋转体体积,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,平面图形的面积,曲线x=(y),直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所形成的旋转体的体积V为:,曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积V为:,旋转体体积,两类

15、积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、根式代换、倒数代换,三角代换常有下列规律,可令,可令,可令,例,例 求积分,解,例 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例 求,解,例 求,解（一）,解（二）,解（三）,根式代换,例 求,解,考虑到被积函数中的根号是困难所在，故,令,例 求,解,三角代换,例 求,解,令,例 求,解,令,注,三角代换的目的是化掉根式.,注 倒数代换 也是常用的代换之一,令,解,例 求积分,解,令,如果令,显然， 选择不当，积分更难进行.,例 求积分,解,若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为 .,例 计算,解,令,例 计算,解,令,则,解,两曲线的交点

16、,选 为积分变量,例,求由抛物线y=1-x2和y=0所为成的图形绕 y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.,解:取y为积分变量，变量 y的变化区间为0，1, 利用公式：,所求的旋转体的体积为：,第四章 多元函数微积分,109,主要内容： 一.空间解析几何 二.多元函数的极限和连续 三.偏导数与全微分 四.复合函数与隐函数求导法则,一.空间解析几何,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,空间两点间的距离,特殊地：若两点分别为,曲面方程,定义：在空间直角坐标系下，设有曲面S与三元方程,则称方程F(x,y,z)=0为曲面 S的方程。,曲面

17、S叫做方程F(x,y,z)=0的图形。,2）不在曲面 S上的点的坐标均不满足方 程F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=0 ,若满足,平面和球面,设有三元一次方程,此方程称为平面的一般方程.,（1）平面,（2）球面,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,定义,柱面与旋转曲面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.,1、柱面,播放,柱面举例,抛物柱面,平面,椭圆柱面.,2、旋转曲面,定义 以一条平面曲线C 绕其平面上的一条直线L 旋转所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面

18、的轴,播放,（2）圆锥面,（1）球面,（3）旋转双曲面,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,二次曲面,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,（二）抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,（ 与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,（三）双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,双叶双曲面,空间曲线,北京工商大学,7-4-128,

19、2009.2.6,此为空间曲线的一般方程,空间曲线C可看作,特点：,曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能,同时满足两个方程.,空间两曲面的交线.,(1),二.多元函数的极限和连续,（1）邻域,多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,内点.,内点：,开集：,开集.,边界点：,边界点.,连通：,连通的.,开区域：连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,闭区域：开区域及其边界的并集。,对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 PE 与某一点 A 间的距离 |AP| 不超过 K，即,对于一切点 PE 成立，则称 E 为有界点集。 否则称为无界点集.,有界闭区域；,

20、无界开区域,例如，,类似地可定义三元及三元以上函数,二元函数的定义,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数的图形通常是一张曲面.,多元函数的极限说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（4）二重极限的几何意义：, 0，P0 的去心 邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .,一元中,多元中,例 设,解,但取,其值随 k 的不同而变化。,不存在,故,确定极限不存在的方法：,142,定义

21、,多元函数的连续性,间断点,函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：,注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。,例如，,因此，,多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于

22、这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,三.偏导数与全微分,一阶偏导数的计算,149,注意：,看成二者之商.,150,定理1,函数z=f(x,y)在其一阶偏导数连续时一定可微.,定理2,函数z=f(x,y)在可微点连续.,定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数,连续，则它可微,且其全微分为,多元函数连续、可导、可微的关系,四.复合函数与隐函数求导法则,复合函数的微分法(链式法则),153,设z=f(u，v)，而u=j(x，y)，v=y(x，y)，则复合函数,z=f j(x，y)，y(x，y)的偏导数为：,二、全微分形式不变性,多元函数求导法,显示结构,隐式

23、结构,1. 分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数 = 变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2. 正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3. 利用一阶微分形式不变性,- 157 -,多元函数的复合、定义域,例1,已知,求,解,所以,- 158 -,例2,求函数,的定义域。,解,- 159 -,求多元函数的极限将其化为一元函数的极限计算。,例3,求下列极限,解,- 160 -,解,所以,- 161 -,解,- 162 -,判别多元函数的极限不存在，多用趋向于定点的,不同路径，极限值不同,例4,说明下列极限不存在,解,取路径,则,

24、与,有关，,所以,不存在。,- 163 -,解,取路径,则,与,有关，,所以,不存在。,解,取路径,则,- 164 -,二 多元函数的的偏导数和全微分,设,为固定,对,求导,为固定,对,求导,- 165 -,例5,1）设,解,- 166 -,2）设,解,- 167 -,3）设,求,解,- 168 -,4）设,求,解,- 169 -,例6,证明函数,在原点处连续，但,不存在。,解,所以函数在原点处连续。,不存在，,所以,不存在。,- 170 -,复合函数的偏导数,例7 设,求,解,令,则,- 171 -,例8 设,解,- 172 -,例9 设,求,其中,二阶偏导数连续。,解,- 173 -,例1

25、0 设,证明,其中,二阶导数存在。,解,- 174 -,隐函数的偏导数,例11 设,是由,所确定的隐函数，求,解,分别对,求导,- 175 -,例12 设,求,解,分别对,求导,- 176 -,例13 设,是由方程,确定的隐函数，证明,其中,一阶,偏导数连续。,解,分别对,求导,- 177 -,例14 设,求,解,分别对,求导,- 178 -,例14 设,且,求,解,分别对,求导,第五章 微分方程基础,第一节 微分方程的基本概念,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,1. 微分方程的定义,2.微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,分类1 常微分方程（一个自变量）, 偏微分方程（两个或多于两个的自变量）.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2,分类3 线性与非线性微分方程.,分类4 单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类,(1)通解 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。,(2)特解 确定了通解中任意常数以后的解。,特解的图象