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文档简介

1、第四节 定积分的应用,回顾,曲边梯形求面积的问题,定积分的微元法问题的提出,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做微元 法。,应用方向：,平面图形的面积；旋转体体积.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,A=2 A,利用图形的对称性,所求面积为,例2,思考：如果取积分区间为-2，2可以吗？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋

2、转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。,圆柱,圆锥,圆台,二、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,例2,求椭圆 绕x轴旋转所形成的旋转体 的体积,解：将椭圆方程化为,由公式,得出所求的体积为,例3,求由抛物线y=1-x2和y=0所为成的图形绕 y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.,解:取y为积分变量，变量 y的变化区间为0，1, 利用公式：,所求的旋转体的体积为：,例4：求由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形 绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.,解：解方程组,得两个交点（1,1）和(1,-1). 积分变量y的变化区间为-1,1,所求旋转体的体积是绕y轴旋转形成的两个旋转体的体积之

3、差,所以，所求旋转体的体积V为:,小结,曲线x=(y),直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所形成的旋转体的体积V为:,曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积V为:,三、定积分在医学中的应用,1、染料稀释法确定心输出量,心输出量是指每分钟心脏泵出的血量，在生理学实验中常用染料稀释法来测定。把一定量的染料注入静脉，染料将随血液循环通过心脏到达肺部，再返回心脏而进入动脉系统。,假定在时刻 t=0 时注入 5mg 的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续 30 秒监测血液中染料的浓度，它是时间的函数 C(t):,5,18,13,8,3,2,1,4,6,3,30,C(t),t(s),C(mg/l),注入染料的量M与在30秒之内测到的平均浓度 的比值是半分钟里心脏泵出的血量，因此，每分钟的心输出量Q是这一比值的2倍，即,试求这一实验中的心输出量Q,解,因此,2.脉管稳定流动时血流量的测定,设有半径为R，长为L的一段刚性血管，两端的血压分别为 和 ，已知在血管的横载面上离血管中心 r 处的血流速度符合Poiseuille公式,其中 为血液粘滞系数，求单位时间流过该横载面的流量Q,r,L,r,r+dr,课

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