线性代数高等代数知识点总结.ppt

1、一、知识结构框图,概念,计算,性质,展开,证|A|=0,应用,行列式,一、行列式知识概述,概念,不同行不同列的元素的乘积的代数和。,性质,经转置行列式的值不变；,互换两行行列式变号；,某行有公因子可提到行列式符号外；,拆成行列式的和；,消法变换。,展开,计算,数字型,抽象型,三角化法； 重要行列式法； 加边法； 递推法。,用行列式性质； 用矩阵性质； 用特征值； 利用矩阵相似。,【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式 的计算及其证明.,证|A|=0,AX=0有非零解； 反证法； R(A)n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；,应用,AX=0有非零解

2、； 伴随矩阵求逆法； 克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。,二、特殊行列式的值,三、有关行列式的几个重要公式,1、若A是n阶矩阵，则,2、若A,B是n阶矩阵，则,3、若A是n阶矩阵，则,4、若A是n阶可逆矩阵，则,5、若A是n阶矩阵，,是A的n个特征值，则,6、若A与B相似，则,行列式的计算（重点）,常用方法：,三角化法 展开降阶法（和消元相结合最为有效） 加边法 归纳法 化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）,本章所需掌握的题型：,行列式计算（重点）1、具体阶数行列式计算2、较简单的n阶行列式计算 与行列式定义、性质有关

3、的问题 需利用行列式进行判定的问题如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况2、矩阵可逆性3、向量组相关性（向量个数向量维数）4、两个矩阵相似的必要条件5、矩阵正定、半正定的必要条件,14,15,16,对单位矩阵做一次初等变换,对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A,17,对于mn矩阵A，B下列条件等价 AB，即A可由初等变换化成B 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 秩A=秩B A，B的标准型相同,A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB 每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵,A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都

4、等价于,矩阵等价,18,n阶方阵A可逆, A的行最简形为E.,A为初等阵的乘积,多角度看可逆阵, A的行(列)向量组线性无关, 任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示, A的特征值均不为零, A的行(列)向量组的秩都是n.,(非退化阵),(满秩), ATA为正定阵.,方阵A与E 相似 A = E ,A正定,i 0,p=n,A=PTP,k0,1.错（不满足消去律） 2 对 3 错（不满足交换律） 4.错（不一定是方阵） 5.对 6 错 （同4） 7对 8 对 9 错（不存在关于加法的公式，同理行列式也不存在关于加法的公式） 10对,向量,22,线性表示： 列向量组1,.,r可由1,.,s线性

5、表示当且仅当有矩阵C使得(1,.,r)=(1,.,s)C. 进一步，C的第k列恰为k的表示系数 线性表示有传递性 被表示者的秩数表示者的秩数,向量组等价： 对于向量组S，T，下列条件等价 S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示,23,线性相关与线性表示： 1,.,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若,1,.,r线性相关,而1,.,r线性无关,则可由1,.,r线性表示,且表法唯一,线性无关：对于向量组1,.,r下列条件等价 1,.,r线性无关 当c1,.,cr不全为0时，必有c11+.+crr0 当c11+.+crr0时，必

6、有c1.cr0 1,.,r的秩数等于r (1,.,r)是列满秩矩阵,24,极大无关组与秩数： 1,.,rS是S的一个极大无关组当且仅当 1,.,r线性无关 S的每个向量都可由1,.,r线性表示 秩S极大无关组中向量的个数 若秩Sr,则任何r个无关的向量都是极大无关组 矩阵的秩数行向量组的秩数列向量组的秩数,25,有非零解,判定方程,线性相关性的判别,特别当向量组的“向量个数向量维数”时，则有：,当向量维数向量个数”时，则有向量组必线性相关.,“短”向量组无关必有“长”向量组无关 “长”向量组相关必有“短”向量组相关 向量组“部分相关”必有“整体相关” 向量组“整体无关”必有“部分无关” “大”

7、向量组被“小”向量组表出，“大”向量组线性相关. “线性无关”的向量组只可能被“不小于”它的向量组线性表出. 任何向量组只可能被“秩不小于它的秩”的向量组线性表出. “等价无关组”具有相同的“大、小”,通俗记忆,求向量组秩、极大无关组，表示方式,行阶梯型矩阵,一个极大无关组,原向量组一个极大无关组,第一等价链,第二等价链,与初始向量组等价,正交矩阵,定义：,正交矩阵的性质：,线性方程组,线性方程组的表示 方程式： 矩阵式：Ax=b, 其中A=(aij)mn, x=(xi)n1, b=(bi)m1 向量式：x11+.+xnn=b, 其中i是xi的系数列,33,解的判定: 1. n元线性方程组Ax

8、=b有解系数矩阵与增广矩阵的秩数相等. 具体地， 当秩A秩(A b)时，方程组无解 当秩A秩(A b)n时，方程组有唯一解 当秩A秩(A b)n时，方程组有无穷解,2. 线性方程组有解常数列可由系数列线性表示. 此时, 解恰为表示的系数,34,解法 Cramer法则 Gauss-Jordan消元法： 用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形 写出行最简形对应的方程组 取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量 写出参数解或通解,35,解的结构 齐次线性方程组Ax=0： 解空间：解的集合 基础解系：解空间的基底 通解：设1,s是一个基础解系,则通解为 =c11+.+css，

9、其中c1,.,cs是任意常数 解空间的维数未知数个数系数矩阵的秩数 设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系,36,一般线性方程组Ax=b： Axb和Ax=0的解的关系： Axb的两个解之差是Ax=0的解 Axb的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解 Ax=b的解的线性组合是 设Sb和S0分别表示Axb和Ax=0的解集合，则 SbS0+，Sb 通解：设1,s是一个基础解系,是Ax=b的一个解, 则通解为 =c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常数,Ax=0的解，当系数和0时； Ax=b的解，当系数和1时.,37,矩阵计算 行列式：化三角形；展开+递推 求逆矩阵：行变换；

10、伴随 求秩数：初等变换；定义,38,计算,方程组的计算 求基础解系： Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 已知秩Ar，则任何r个无关解都是基础解系 求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 带参数的方程组： 先化简，再判定. 可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时.,39,向量的计算 设S：1,.,s是n元向量组(无论行或列) 求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数 判断S的相关性： 设x11+.+xss=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关. 求S的秩数.若秩Ss,则相关；若秩Ss,则无关 线性表示：令=x11+.+xss,将其

11、转化成x的方程组.若方程组有(唯一)解，则可由S(唯一)表示，且方程组的解就是表示的系数；否则，不可由S表示.,40,求极大无关组： 若已知秩Sr，则在S中找出r的无关的向量即可 将S中的向量写成列的形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形，则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致.,41,1错（至少有一组，非任意） 2对 3错（同1） 4错（是当且仅当，即只存在唯一一组） 5对 6对 7错（无穷不等于任意） 8错（或 ） 9对 10错（整体无关，部分无关；部分相关，整体相关。反之皆未必） 11错（同上） 12错（这样的不全为0的数组不唯一） 13错（是至少有一组，不是全部） 14错（还要条件：线性无关） 15错（同上） 16错（比如3行4列矩阵，秩为3 时） 17错 18错 19错 20对, 学习过程中常见的失误