信号与线性系统分析第3章.ppt

1、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人，而不会给懒汉。 -华罗庚（中国）,华罗庚（19101985） 数学家，中国科学院院士。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对.哈代与.李特尔伍德关于华林问题及.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。 在代数方面，

2、证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当-布饶尔-华定理。其专著堆垒素数论系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法.其专著多个复变典型域上的调和分析以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版统筹方法平话、优选学等多部著作并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成

3、果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著作数十种。,3.1 LTI离散系统的响应 3.2 单位序列和单位序列响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积,一、基本内容,第三章 离散系统的时域分析,离散时间系统的零状态响应；离散信号的卷积和。,二、重点,离散时间系统的全响应的求解；离散信号的卷积运算。,三、难点,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,设有序列f(k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。,1. 差分运算,离散

4、信号的变化率有两种表示形式：,（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) f(k 1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) 2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m) （6） 序列f(k)求和:,因此，可定义：,2. 差分方程,包含未知

5、序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。其一般形式可写为,式中差分的最高阶为n阶，称为n阶差分方程。上述方程式也可写成y(k)及其各移位序列的线性组合,若式中各系数均为常数，就称为常系数差分方程；若某些系数是变量k的函数，就称为变系数差分方程。,描述LTI离散系统的是常系数线性差分方程。其一般形式可写为 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(

6、0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。 解：y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 用迭代法求解思路清晰，便于用计算机进行计算。 一般不易得到解析形式的(闭合)解。,二、差分方程的经典解,n阶常系数线性差分方程,其解是齐次解yh(k)与特解yp(k)之和。如果方程的特征根均为实单根j，则其全解为,利用已知的n个初始条件y(0),y(1),y(n-1)就可求得全部待定系数Cj。,1. 齐次解yh(k),齐次方程 y(k) + an-1y

7、(k-1) + + a0y(k-n) = 0 特征方程为 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即 n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根j( j = 1，2，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根（见P87的表3-1 ）。 当特征根为单根时，齐次解yn(k)形式为： Ck 当特征根为r重根时，齐次解yn(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k,2. 特解yp(k) 特解的形式与激励f(k)的形式雷同（见P87的表3-2） 。,（1） f(k)=km (m0） 所有特征根均不等于1时： yp(k)=Pmkm+P1k+P0

8、有r重等于1的特征根时： yp(k)=krPmkm+P1k+P0 （2） f(k)=ak 当a不等于特征根时： yp(k)=Pak 当a是r重特征根时： yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak （3）f(k)=cos(k)或sin(k)且所有特征根均不为ej: yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k),例：求方程的全解：描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。,解： 特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齐次解 yh(k)=(C1k

9、+C2) ( 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k2 , k0 得全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= 故全解为 y(k)= (k- ) ( 2)k + 2k2 , k0,三、零输入响应,零输入响应是激励为零时，由系统的初始状态引起的响应，用yzi(k)表示。在零输入条件下，差分方程等号右端为零，化为齐次方程，即,若其特征根均为单根，则其零输入响应,式中

10、Czij为待定系数。 一般设定激励是在k=0时接入系统的，在k0时，激励尚未接入，故初始状态满足,式中y(-j)为系统的初始状态。,四、零状态响应,零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由激励f(k)引起的响应，用yzs(k)表示。零状态响应满足,的解。若其特征根均为单根，则其零状态响应为,式中Czsj为待定系数，yp(k)为特解。零状态响应的初始状态yzs(-1),yzs(-2),yzs (-n)为零，但其初始值yzs(0),yzs(1),yzs (n-1)不一定为零。,五、全响应,零输入响应,零状态响应,自由响应,强迫响应,与连续系统类似，一个初始状态不为零的LTI离散系统，在外加激励作用下

11、，其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。若特征根均为实单根j，则全响应为,式中,如果激励f(k)是在k=0时接入系统的，根据零状态响应的定义有 yzs(k)=0，k0 则 yzi(k)=y(k)，k0,系统初始状态,例：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：(1) yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 其初始状态yzi(1)= y(1)= 0, yzi(2) =

12、y(2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2) yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 , yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)=3 方程的特征根为1= 1 ，2= 2 ， 其解为 yzi(k)=Czi1( 1)k+Czi2(2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= 2 所以 yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0,yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k) 初始状态yzs(1)= yzs(2) = 0 递推求初始值 yzs(0),

13、 yzs(1)： yzs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k , k0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 = 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 1 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k) = Czs1( 1)k + Czs2( 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= (1/3)( 1)k+ ( 2)k + (1/3)2k , k0,（2）零状态响应yzs(k) 满足,y(k)= yzi(k)

14、+ yzs(k ) = ( 1)k 2( 2)k (1/3)( 1)k+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 = (1/3)( 1)k ( 2)k + (1/3)2k , k0,（3）全响应y(k),即 y(k)= (1/3)( 1)k ( 2)k + (1/3)2k , k0,3.2 单位序列和单位序列响应,一、单位序列和单位阶跃序列,1. 单位序列,单位序列也称为单位取样序列或单位脉冲序列，其定义为,若将(k)平移i个单位，则为,则(k)的取样性质 f(k)(k-i)=f(i)(k-i),2. 单位阶跃序列,单位阶跃序列定义为,若将(k)平移i个单位，则为,单位序列(k)与单位阶跃序

15、列(k)之间的关系为 (k)=(k)=(k)-(k-1),二、单位序列响应和阶跃响应,由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h(k)。h(k)=T0,(k),例1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。,解 根据h(k)的定义 有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1)。,1. 单位序列响应,h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2

16、) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1,(2) 求h(k)。 对于k 0， h(k)满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 其特征方程为 (+1) ( 2) = 0 所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3 , C2=2/3 则 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0 或写为 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k),方程（1）移项写为,求解系统的单位序列响应可

17、用求解差分方程或z变换法（第六章）。 求解差分方程：由于单位序列(k)仅在k=0处等于1，而在k0时为零，因而在k0时，系统的单位序列响应与该系统的零输入响应的函数形式相同。 （1）k=0处的值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定； （2）k0时，转化为求差分方程的齐次解.,*单位序列响应的求解*,例2：若方程为： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2) 求单位序列响应h(k) 。,解 h(k)满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2) 令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(

18、k) 根据线性时不变性， h(k) = h1(k) h1(k 2) =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2),g(k)=T0,(k),也可以利用(k)与(k)的关系来求解。由于,，(k) =(k),所以,，h(k) =g(k),2. 阶跃响应,当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列(k)时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用g(k)表示。,阶跃序列响应的求解可采用经典的求解差分方程法。,3.3 卷积和,一、卷积和,1 .序列的时域分解,任意离散序列f(k) 可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0

19、)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + ,2 .任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k -i),h(k -i),f (i)(k-i),由齐次性：,f (i) h(k-i),由叠加性：,f (k),yzs(k),卷积和,3 .卷积和的定义,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,如果序列f1(k)

20、是因果序列，即有k0, f1(k)=0，则有,如果序列f2(k)是因果序列，即有k0, f2(k)=0，则有,如果序列f1(k)和f2(k)均为因果序列，即有 k0时, f1(k)=f2(k)=0 则有,例：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。,解： yzs(k) = f (k) * h(k),当i k时，(k - i) = 0,(k)*(k) = (k+1)(k),4. 不进位乘法求卷积,f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。 如k=2时 f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1

21、(2)f2(0) + ,例 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0,=+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2) + + f1(i) f2(k i) + ,f1(1) ， f1(2) ， f1(3),f2(0) ， f2(1),f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0),f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1),+ ,f1(3) f2(1),f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0

22、),f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0),f1(1) f2(0),f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 ,排成乘法,例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=0,3 ， 4， 0， 6,2 ， 1 ， 5,解,15 ，20， 0， 30,3 ， 4， 0， 6,6 ，8， 0， 12,+ ,6 ，11，19，32，6，30,求f(k) = f1(k)* f2(k),f(k) = 0，6 ，11，

23、19，32，6，30 k=1,教材上还提出一种列表法，本质是一样的。,二、卷积的图示,卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i) （3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 下面举例说明。,例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）换元,（2） f2(i)反转得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(

24、2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),三、卷积和的性质,1. 满足乘法的三律：,有一个序列为单位序列 f(k)*(k) = f(k) f(k)*(k k0) = f(k k0),交换律：f1(k)*f2(k)= f2(k)*f1(k) 分配律：f1(k)*f2(k)+f3(k)= f1(k)*f2(k)+f1(k)*f3(k) 结合律：f1(k)*f2(k)*f3(k)= f1(k)*f2(k)*f3(k),(k-k1)*(k-k2)=(k-k2)*(k-k1)=(k-k1-k2) f(k-k1)*(k-k2)= f(k-k2)*(k-k1)=f(k-k1-k2),3. f(k)*(k) =,卷积和的时移特性： 若f(k)=f1(k)*f2(k)，则 f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k2)* f2(k k1) = f1(k k1 k2)* f2(k) = f(k k1 k2),5. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),例1 如图复合系统由三个子系统组成，其中 h1(k) = (k)， h2(k) = (k 5)，求复合系统的单位序列响应h (k) 。,解 根据h(k)的定义，