函数奇偶性归纳总结

1、.函数的奇偶性的归纳总结考纲要求： 了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标： 1、理解函数奇偶性的概念；2 、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3 、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4 、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点： 1、理解奇偶函数的定义；2 、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点： 1、对奇偶性定义的理解；2 、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念f ( x) ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 f (x)f (x) ，一般地，对于函数

2、那么函数 f ( x) 就叫做偶函数。一般地，对于函数f (x) ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 f (x)f (x) ,那么函数f ( x) 就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体 ”性质，单调性是一个“局部 ”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：.奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于 y 轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性

3、的函数，其定义域关于原点对称（也就是说， 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在 0 处有定义，则f(0) 0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。 奇函数 f(x)在区间 a,b(0 ab)上单调递增（减） ，则 f(x)在区间 b, a上也是单调递增（减） ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。 偶函数f(x)在区间 a,b （ 0 ab）上单调递增（减） ，则 f(x)在区间 b, a上单调递减（增）任意定义在r 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个

4、偶函数的和。若函数g(x)， f(x)， fg(x) 的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u) 都是奇函数时， y=fg(x)是奇函数； u=g(x)， y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x) 是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶则偶，内奇同外” .5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x，都有fxf x 或 fx1f x或 fxf x0 函数 f （ x）是偶函数；对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x，都有 fxf x 或 fx1或f xfxf x0函数 f （ x）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：、判断定义

5、域是否关于原点对称；、比较f (x) 与 f ( x) 的关系。、扣定义，下结论。、图象法： 图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于 y 轴对称的函数是偶 函数。，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数 +奇函数 =奇函数；偶函数+偶函数 =偶函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。若 f ( x) 为偶函数，则f (x)f ( x)f (| x |) 。二、典例分析1、给出 函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看 f( x)与 f(x)的关系 .【例 1】 判断下列函数的奇偶性：(

6、1). f ( x) x 22 x 1 ;(2) .f ( x)x 22 , xxx30 ;xx3解： f ( x ) 函数的定义域是 (，) ， f ( x ) x22 x 1 ，f ( x ) ( x )22 x 1x 22 x 1f ( x ) ， f ( x ) x22 x1 为偶函数。（法 2图象法）：画出函数f ( x )x 22 x 1 的图象如下：由函数 f ( x ) x 22 x 1 的图象可知，.f ( x )x22 x1 为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) . 解：由 x 3 0 ，得 x( ， 3 (3

7、，+).x 3定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例 2】 判断下列函数的奇偶性：(1).f ( x)4 x 2;(2) .f ( x )3sin(32x );(3).f ( x)1x 0x332x 21。解：(1). 由4x20，解得2x2x33x0 且 x60定义域为 2x 0 或0 x2，则 f ( x )4x 24x 2x3 3; .x f ( x )4 ( x )24 x 2f ( x ) ; .xx f ( x )4x 2为奇函数 .33x说明：对于给出 函数解析式较复杂时， 要在函数的定义域不变情况下， 先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2). 函数 f ( x )

8、3sin( 32 x ) 定义域为 r，32 f ( x )2 x )3cos2 x ，3sin(2 f (x)3cos 2(x )3cos 2 xf ( x) ， 函数 f ( x)3sin( 32 x ) 为偶函数。2(3).由x0，解得x0 ， 函数定义域为xr x 0, x1 ，x 210x1又 f ( x )1x 0110， f (x) 0 ，x21x 21 f ( x)f ( x) 且 f ( x )f ( x ) ，所以 f ( x )1x 0110既是奇函数又是偶函数。x21x 21【例 3】 判断下列函数的奇偶性：x(1 x) , ( x0)(1).f ( x )log 0.

9、5 ( xx 21)； (2).f ( x )0 ,( x0)x(1x) , ( x0)解： (1) .定义域为 r， f (x )f ( x )log 0.5 (x( x )21)log 0.5 ( xx 21)log 0.5 ( x 21)x )log 0.5 10 ， f ( x)= f(x)，所以 f(x) 为奇函数。.给出函数解析式判断其奇偶性， 一般是直接找f (x )与f ( x )关系，但当直说明：接找 f ( x ) 与 f ( x) 关系困难时， 可用定义的变形式： f xf x0 函数 f（x）是偶函数； fx f x 0函数 f （x）是奇函数。(2) . 函数的定义域

10、为 r，当 x0时，x0 , f (x )(x )(1x)x(1 x )f ( x ) ;当 x0 时，x0 , f (x )0f ( x ) ;当 x0时，x0 , f (x )(x ) 1( x )x(1 x )f ( x).综上可知，对于任意的实数x，都有 f ( x )f ( x ) ，所以函数f ( x )说明：分段 函数判断奇偶性，必分 段来 判断，只有各 段为同一结果时性。分段 函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象 函数判断其奇偶性：【例 4】 已知函数f ( x ) ( xr 且 x0) , 对任意的非零实数x1 , x2f ( x1 x 2 )f ( x1 )f ( x 2

11、 ) , 判断函数f ( x ) ( xr 且 x0) 的奇偶性。为奇函数。函数才有奇偶, 恒有解：函数的定义域为(, 0) u (0 ,) ，令 x1x21 ，得 f (1)0 ，令 x1x21 ，则 2 f ( 1)f (1) ,f ( 1)0 ,取 x11 , x2x ，得 f (x )f ( 1)f ( x) ,f (x )f ( x ) ,故 函数 f ( x ) ( xr 且 x0) 为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例 5】已知函数f ( x)ax 21z ) 是奇函数，又 f (1)2 ， f (2)3 ，bx( a ,b , c求 a , b , c

12、的值 .c解：由 f ( x )f ( x) 得 bxc(bxc) ， c0 。又 f (1)2 得 a12 b ，而 f (2)3 得 4a 13 ，2b 4a13 ，解得1a 2。a1又 az ， a0 或 a1 .若a0，则b1z，应舍去；若a 1，则b1=1 z.2z b a1, b1, c0 。说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想( 建立方程或不等式，组成混合组) ，使问题得解 . 有时也可用特殊值，如f( 1)= f(1)，得 c =0。(2) . 解不等式：【例 6】若 f(x)是偶函数，当x 0，+)时， f(x)=x 1，求 f(x1) 0 的解集。分析：偶函数的图象

13、关于y 轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法 .解：画图可知f(x) 0 的解集为 x 1 x 1， f(x1)0 的解集为 x 0 x 2.答案： x 0 x2.说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x1) 的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.(3) . 求函数解析式：【例 7】已知 f(x)是 r 上的奇函数，且x ( ，0)时， f(x)= xlg(2 x) ，求 f(x).分析：先设x0，求 f(x)的表达式，再合并.解： f(x) 为奇函数， f(0)=0.当 x 0 时， x 0， f( x)=xlg(2+x)，即 f(

14、x)=xlg(2+x)，f(x)= xlg(2+x) (x 0). f ( x )x lg(2x) ( x0) 。x lg(2x) ( x0)说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。三、巩固训练：一、选择题1.若 y=f(x)在 x 0， +)上的表达式为y=x(1 x)，且 f(x) 为奇函数，则x ( ， 0时 f(x)等于a. x(1 x)b.x(1+x)c. x(1+x)exd.x(x 1)2.已知四个函数：y log 21x ，y1 ， y=3 x+3-x， y=lg(3 x+3 -x).1xex1其中为奇函数的是a. b.c.d.3.已知 y=f(x

15、) 是定义在 r 上的奇函数， 当 x0时，f(x)=x22x，则在 r 上 f(x)的表达式为a. x(x 2)b. x（ x 2）c. x(x 2)d.x（ x 2）二、填空题4.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数，且定义域为a 1， 2a，则 a=_，b=_.1a(x r 且 x 0)为奇函数，则 a=_.5.若 f ( x )2x16.已知 f(x)=ax7 bx+2 且 f(5)=17 ，则 f(5)=_.7.已知 f (x) 是定义在 ( 3,3) 上的奇函数，当 0 x3 时，f ( x) 的图像如右图所示，那么不等式f ( x) cos x0 的解集是 _三、解答

16、题1f ( x )18.已知 g ( x )且 x=ln f(x)，判定 g(x) 的奇偶2f ( x )性。9.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+ f(xy)=2f(x) f(y)(x、y r)，且 f(0) 0，试证 f(x)是偶函数 .10.设函数 f ( x ) 是偶函数，函数 g( x) 是奇函数，且 f ( x ) g( x )3，求 f ( x) 和x3g( x ) 的解析表达式。11.已知 f(x) x5+ax3-bx-8， f(-2) 10，求 f(2) 。12.已知 f ( x ) 、g( x) 都是定义在 r 上的奇函数，若f ( x)af ( x )bg ( x )

17、2 在区间(0 ,13.已知求实数) 上的最大值为5，求 f ( x) 在区间 (, 0) 上的最小值。f ( x ) 是奇函数，在区间( 2 , 2) 上单调递增，且有 f (2 a)f (1 2a) 0 ，a 的取值范围。.四、巩固训练参考答案：一、选择题1. 解析： x ( ， 0， x0，f( x)=( x)(1+x) ， f(x)= x(1+x). f(x)=x(1+x). 答案： b2. 提示：可运用定义，逐个验算 .答案： d3. 解析：设 x 0，则 x 0， f(x)是奇函数， f(x)= f( x)= ( x)2 2(x) = x2 2x. f ( x )x 22x ( x

18、0) ，即 f(x)= x（ |x|2），故答案： b 。x 22x ( x0)二、填空题4. 解析：定义域关于原点对称，故a1=2a， a1 ，3又对于 f(x)有 f(x)=f(x)恒成立， b=0. 答案： 1， 0。35. 解析：特值法： f( 1)=f(1)，1a(1111a) ， a。212121答案：。6. 解析：整体思想： f( 5)=a(5)7 b( 5)+2=17 (a57 5b)=15， f(5)=a57b5+2= 15+2= 13. 答案： 13 。7. 解析： f ( x) 是定义在 ( 3,3) 上的奇函数， 补充其图像如图，又 不等式 f (x)cos x0 同解

19、于f ( x ) 0或cos x0f ( x ) 0，解得x3 ，或x1 或 0x1 ，cos x022不等式 f ( x) cos x0 的解集是, 1u 0 , 1 u, 3 ，答案：22,1u 0 , 1u, 3 。22三、解答题8. 解：由 x=ln f(x)得 f(x)=ex. g ( x )1 f ( x )11 ex 11 (exe x ) 。2f ( x )2ex2又 g ( x )1 (e xex )1 (exe x )g( x ) ， g(x) 为奇函数。229. 证明：令 x=y=0，有 f(0)+f(0)=2f2(0). f(0) 0， f(0)=1. 令 x=0， f(y)+f( y)=2f(0) f(y)=2f(y). f(y)=f(y). f(x)是偶函数 .归纳：赋值法 (代入特殊值 )在处理一般函数问题时经常用到 .10. 解： f ( x)g( x)3l (1) ， f (x )g(x)3，x3x3又函数f ( x ) 是偶函数，函数g( x ) 是奇函数，f (x )f ( x) ， g(x)g( x ) ，.上式化为3l (2)，解 (1),(