数据模型与决策之离散概率分布(PPT 54页).ppt

1、数据、模型与决策,丁邦俊,第二讲 离散概率分布,离散概率基础,概率第一定律: 任何事件的概率都是0和1之间的数. 例 将一枚均匀的硬币抛出，观察是正面向上还是反面向上，由完备性和对称性，这两个结果出现的可能性相等，即 P（出现正面）=0.5； P（出现反面）=0.5,概率：是指不确定的结果出现的可能性。 例 从一副扑克牌（通常去掉大小猴）中任取一张，取到的是A，这种可能性就是概率。,概率第二定律: 如果事件A和事件B是互斥的,那么P(A或B)=P(A)+P(B),举例：从一副扑克牌中随机抽取一张，记A=“方快10”， B=“K”，那么，事件A和事件B是互斥的，于是,P

2、(A或B)=P(A)+P(B)=1/52+4/52=5/52,离散概率基础,离散概率基础,概率第三定律: 符号A|B表示事件B发生的情况下出现了事件A, 则 P(A|B) 例： 从一副扑克牌中随机抽取一张，记 A=“该牌是任何花色K”， B=“该牌是花牌（J、Q、K）” 则 P(A|B)=P(A B)/P(B)=,离散概率基础,例 一个班级学生情况统计如下，求 P（C|M）,解：P（C|M）=,离散概率基础,这个班学生的概率分布为,另解：P（C|M）=,离散概率基础,同理，可求P（M|C）=25/70,第三定律也可以写成:,或:,这就是概率的乘法公式。,公式中的符号“”也可省去。,离散概率基础

3、,概率第四定律: 如果A、B是相互独立的事件P(A|B)=P(A),举例： 从一副扑克牌中随机抽取一张，记 A=“该牌是一张5”， B=“该牌是梅花” “AB”=“该牌是梅花5”,所以， P(A）= P(A|B),则 P(A)=4/52=1/13 P(A|B)=P(A和B)/P(B)=,离散概率基础,第四定律也可以写成:,或:,即：独立的两个事件乘积的概率等于概率的乘积。,这也叫概率的乘法公式。,如何计算决策树中的概率,Caroline Janse是一家消费品公司市场销售经理，她正在考虑是否生产一种无泡沫的新型自动洗碗清洁剂。为了使得该问题简化，我们假设市场要么是疲软的，要么是坚挺的。如果市场

4、是坚挺的，那么公司将赢利1800万美元，如果市场是疲软的，那么公司将亏损800万美元， 根据经验和直觉的综合考虑，卡罗林估计市场是坚挺的概率为30% 在决定是否生产之前，她可以对无泡沫市场进行一项全国性的调查测试，费用将达到240万美元。,这种市场调查测试不可能完全准确预测新产品市场，也就是说，它可能会误导新产品市场。过去的这类调查结果表明：如果市场是疲软的(weakly)，那么有10%的可能性测试结果对市场是肯定的(Yes)，同样，如果市场是坚挺的(strong)，那么有20%的可能性测试结果对市场是否定的(No)。 卡罗林可以决定要么不生产无泡沫产品，要么在决定是否生产之前，进行调查测试；

5、要么不进行调查测试，直接进行生产。 利用第一讲的方法，我们对Caroline问题构造了如下的决策树：,A,C,G,不生产,市场调查测试,否定的调查结果,不生产,不调查，生产,市场坚挺,市场疲软,B,F,生产,不生产,D,生产,市场坚挺,市场疲软,E,市场坚挺,市场疲软,0.3,0.7,1800,-800,-240,-1040,1560,-1040,1560,-240,p1=?,p2=?,p3=?,p4=?,p5=?,p6=?,答案 p1=0.310 p2=0.690 p3=0.774 p4=0.226 p5=0.087 p6=0.913,肯定的调查结果,解：记 S=市场坚挺， W=市场疲软 Y

6、=调查结果是肯定的 N=调查结果是否定的,P(W)=1- P(S)=1-0.3=0.7,由已知：P(S)=0.30, P(Y|W)=0.1, P(N|S)=0.20,P(Y和W)=P(Y|W)P(W)=0.1*0.7=0.07,P(Y|S)=1-P(N|S)=1-0.20=0.80，,P(N|W)=1-P(Y|W)=1-0.10=0.90.,P1=0.31 P2=0.69 P3=P(S|Y) =P(SQ)/P(Y)=0.24/0.31=0.774 P4=P(W|Y)=P(W Q)/P(Y)=0.07/0.31=0.226 P5=P(S|N) =P(S N)/P(N)=0.06/0.69=0.0

7、87 P6=P(W|N) =P(W N)/P(N)=0.63/0.69=0.913,A,C,G,不生产,市场调查测试,否定的调查结果,不生产,不调查，生产,市场坚挺,市场疲软,B,F,生产,不生产,D,生产,市场疲软,E,市场坚挺,市场疲软,0.3,0.7,1800,-800,-240,-1040,1560,-1040,-240,p1=0.31,p2=0.69,P3=0.774,p4=0.226,P5=0.087,p6=0913,肯定的调查结果,1560,市场坚挺,972.4,-813.8,-240,972.4,135.84,-20,135.84,Caroline的最佳策略是：,首先选择市场调

8、查测试；,当市场调查测试给出肯定的结果时，她选择生产；当市场调查测试给出否定的结果时，她选择不生产；,这一决策的EMV是$135.84。,随机变量及其分布,斯隆学院的学生暑期工作的收入资料假定被收集到了，去年的情况是这样的（指第一年的MBA学生的收入）：,随机变量及其分布,上面的表格就是斯隆学院的学生暑期工作的周收入(假设为X)的分布,随机变量：一个概率模型中可以用数值表 示一个不确定的量。用大写的字母X、Y、W 等表示,如：X=“斯隆学院的学生暑期工作的周收入”,Y=“一个硬币抛2次，出现的正面数”,W=“上海市明年7月份的降雨的毫米数”,随机变量及其分布,随机变量的分布需要指出其取值和相应

9、的概率，通常用表格或函数表示,表格法：X=Bill参加校园招聘计划的收入,函数法：设Y= “一个硬币抛2次，出现的正面数”,p=抛一次硬币出现正面的概率,二项分布,每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同，进行n次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布,设X为n次重复试验中事件A出现的次数，X 取x 的概率为,二项分布（Excel）,计算二项分布的函数是 BINOMDIST（k,n,p,cumulative）,它有两种形式,例 生产过程的质量控制 假如一个生产过程的产品为合格品的概率是0.83，为废品的概率是0.17，现在假设生产

10、5个这样的产品，求其中至少有一个是废品的概率。,解 p=,二项分布的应用,案例分析：航空公司机票超售问题,整概率分布的体指标,平均值 方差与标准差,概率分布的整体指标,平均值：也称期望，定义为随机变量的取值与相应的概率相乘，再将所有乘积求和的结果，公式是：,例：X=Bill参加校园招聘计划的收入,这个数字含义非常清楚， 它就是 Bill能够获得期望收入,期望值与轮盘赌,长期来看，庄家必赢,概率分布的整体指标,方差：定义为随机变量与其期望偏差的平方的期望公式是：,例：X=Bill参加校园招聘计划的收入,这个数字特别大，其单位是平方美 元，与X的单位不一致，它的算术平 方根是3458.60美元，与

11、X的单位一致， 人们更喜欢使用，并称它为标准差,随机变量的线性函数,考虑到Bill参加校园招聘计划有一定的成本（与接收John的机会相比，有时间成本），假如该成本是600美元，那么Bill暑期打工12周的实际收入R1为： R1=X-600 如果换成月收入，那么Bill暑期打工每月的实际收入R2为 R2=R1= X-200，这是随机变量X的线性函数,随机变量的线性函数,我们可以求出R2的分布：,我们也可以求出R1的分布：,有了R1的分布，我们自然能够求出R1的期望和标准差，并且可以用下面的简化公式。,随机变量的线性函数,例 R1的期望和标准差分别是：,协方差与相关性,实例：太阳镜和雨伞的销售量,

12、问题：太阳镜和雨伞的销售量之间有 关系吗？,协方差与相关性,X与Y的相关性定义为,其中分子COV（X,Y）叫做X与Y的协方差，定义为,例 太阳镜的销售量与雨伞的销售量的相关性为：,联合概率分布与独立性,两个事件A与B的独立性是指 P(AB)=P(A)P(B),考虑随机变量（X，Y）的概率，记（X，Y）的取值为（xi，yi），相应的概率为pi，将它们列出一个表，就是（X，Y）的联合分布,例 记X=“抛一枚均匀硬币出现的正面数” Y= “抛一枚均匀硬币出现的正面数减去反面数”,则X可能的取值是0、1； Y的可能取值是-1,1,联合概率分布与独立性,X与Y的联合分布为：,X,Y,-1,1,0,1,0

13、.5,0,0.5,0,合计,合计,0.5,0.5,1,0.5,0.5,联合概率分布与独立性,两个变量相互独立，当且仅当,对所有x、y都是成立的。,例 （1）上面抛硬币的例子中，X与Y独立。 （2）太阳镜的销售量与雨伞的销售量不独立。 您能验证一下吗？,提示：（1）需要写出四个式子验证。 （2）只要找到一个式子不成立即可。,P(X=35,Y=1)=0.1,P(X=35)=0.2,P(Y=1)=0.1,不相关就是指没有任何关系， 比如两个股票，一个涨跌不 影响另一个涨跌。,两个随机变量的和,在投资市场里，通常要考虑资产组合配置，这就涉及到随机变量和的概念，最简单的情况是两个随机变量之和,假设X、Y

14、是两个随机变量，Z=aX+bY，其中a、b是已知常数，那么,从该表达式可以看出： （1）若COV（X，Y）0, 则Var（aX+bY） a2 Var（X）+b2 Var（Y） （2）若COV（X，Y）0, 则Var（aX+bY） a2 Var（X）+b2 Var（Y） 由此可见，选择负相关的两个资产组合投资，可以降低风险。见P91案例,两个随机变量的和,例 假设AB两个资产的投资收益率分别为8%和15%，方差分别是100元和400元，且它们的协方差为-150，现在将1万元投资AB两个资产，求最佳分配比例。,解 设投资资产A、B的比例分别为x、1-x，则资产组合的方差为,由此可见，当x=68.75%时 组合风险达到最小，此时 总收益是68.75%*10000*8% +31.25%*10000*15%=1018.75 即平均收益率是10.1875%,由资产组合确定最佳投资比例,0.6875,股票价格的离散程度反映了投资的风险,资产组合收益的平均大小,资产组合收益的风险,两股票正相关 基本上同时上升和同时下跌,投资组合 两股票正相关,两股票负相关,投资组合 两股票负相关,投资组合,正相关股票的投资组合，均值等于这些股票的均值的和，方差大于