医科数学C课件：6第六讲一元函数微分学(五年制4-3）

1、吉林大学数学教学与研究中心,第1112讲,吉林大学数学中心,共计：50讲 主讲教师：王颖,医科数学C,1基本初等函数的导数公式：,上 讲 提 要,2. 求导法则,(1). 四则运算的求导法则,(2). 复合函数的求导法则,( C为常数 ),八、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,第二节 初等函数的导数,、高阶导数的概念,定义1,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,定义2,二阶及二阶以上,的导数，,、二阶导数的物理意义,变速直线运动路程函数,

2、统称为高阶导数。,瞬 时 速 度,加 速 度,、求导方法,一阶一阶地去求即可，没有新的方法。,设,求,解,依次类推 ,例1.,可得,解,特别有:,例4. 设,求,解,一般地 ,类似可证:,和,解,例5. 设,求,解法一:,则,例5. 设,，求,解法二:,则,对(*)两边再次求导：,即,（*）,所以,练习,附加：高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,例6.,求,解 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,一、微分的概念,、实例:,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 S , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,

3、变到,边长由,其,第三节 微分(differential),一块正方形金属薄片受温度变化的影响,的微分,定义: 若函数,在点 的某邻域内有定义,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,在点 的增量可表示为,点 也在该邻域内,说明:,、概念,实例中,问题:,?,、可导与可微的关系,定理1 函数,在点 可微，则,即,证,因为,在点 可微 ,则,故,在点 可导 ,且,即,定理 2 函数,在点 可导，则,处可微,且,即,证,因为,即,在点 的可导,则,在点,线性主部,说明: 1.,2. 通常将自变量增量称为自变量微分，记作,所以，,3.,且, 即,所以,导数也叫作微商

4、！,当,时，,函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分，,而函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商。,分 式,所以,时，,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,故当,其误差为,4求微分实质上是求导：,或,M,N,）,P,Q,二微分的几何意义,在点 M邻近,另取一点,过M点做曲线的切线MT ,倾角,则在直角PQM中,切线纵坐标的增量,在曲线 上任取一点,）,例如：,基本初等函数的微分公式 (参照导数公式),又如：,三、微分公式与法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),四则运算法则,四、运算,例 1,，求,解,所以,解法二,例2,解法一,例3,解,例4,求函数 y

5、在 x=1 点的微分。,解,解,说明：,结论：,一阶微分形式的不变性,五、一阶微分形式不变性,利用一阶微分形式的不变性，求复合函数的微分很方便。即,例1,解,例2,解法一,解法二,例3.,求,解,例4. 设,求,解 利用一阶微分形式不变性 , 有,例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,解,于是,六、 微分的应用-近似计算,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值 .,解 设,取,则,例1. 求,的近似值 .,解法一,例2 计算,解法二,例3. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,内容小结,1. 高阶导数：,2. 微分概念,可导,可微,3. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),4. 微分的应用,近似计算,作业：,P58：19-23 .,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,第一次标准化作业 ;,自学第四节.,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,2.,5. 设,由方程