专题2立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)

1、最新 料推荐专题二立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（ 1）平方差公式( ab)(ab)a 2b2 ；（ 2）完全平方公式( ab) 2a22abb2 。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（ 1）立方和公式( ab)( a2abb2)a3b3 ；（ 2）立方差公式( ab)(a2abb2)a3b3 ；（ 3）三数和平方公式(ab c)2a2b2c22(ab bc ac) ；（ 4）两数和立方公式( ab)3a33a2b3ab2b3 ；（ 5）两数差立方公式(ab)3a33a2b3ab2b3 。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过

2、来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例 1计算：（1） (32y)(96y4 y2 ) ；（2） (5 x1 y)(25 x25 xy1 y2 ) ；224（3） (2 x1)(4 x22x 1) 。分析： 两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算.解：（ 1）原式 = 33(2 y)3278 y3 ；（ 2）原式 = (5x)3( 1 y) 3125x31 y3 ；28（ 3）原式 = 8x34x22 x4x22x1 8x38x24x1。说明： 第（ 1）、（ 2）两题直接利用公式计算. 第（ 3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一

3、个因式中“+1”改成“ -1 ”则利用公式计算；若将第二个因式中“ 2x”改成“2x”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x ”改成“4x ”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2 x1)(2 x1)2(2 x1) 3(2 x) 33(2 x) 2 1 3(2 x) 1 21 38 x312 x26 x1 。例 2计算：（1） ( x31)( x6x31)( x91) ；（2） ( x 1)( x 1)(x2x1)( x2x1)；（3） ( x 2y)2 ( x22 xy4 y2 )2 ；1最新 料推荐分析： 利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计

4、算的关键.解：（ 1）原式( x91)( x91) x18 1；（ 2）解法一：原式( x1)( x2x1)( x1)( x2x1) ( x3 1)(x3 1)x6 1 ；解法二：原式( x1)( x1)( x21)x( x21) x(x2 1)( x21)2x2 (x2 1)(x4x21)x61 ；（ 3）原式( x2 y)( x22xy4 y2 ) 2( x38 y3 )2x616x3 y364 y6 。说明： 第（ 2）、（ 3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷. 相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦 .例 3 因式分解：（1） x3 y3125 ；（2） a27a4 ；（3） x

5、6y6 。分析： 对照立方和（差）公式，正确找出对应的a, b 是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。解：（ 1）原式( xy)353(xy 5)( x2 y25xy25) ；（ 2）原式 a(127a3 )a13(3a)3 a(1 3a)(13a 9a2 )（ 3）原式( x3 )2( y3 )2( x3y3 )( x3y3 )( x y)( x2xyy2 )( x y)( x2xyy2 ) 。说明 ：我们可尝试一下，第(3) 题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。例 设 xy5, xy1 , 试求 x3y3 的值。2最新 料推荐分析： 对于立方和公式 a3b3(ab)

6、( a2ab b2 ) ，我们不难把它变成：a3b3( ab)( ab) 23ab ，即 a3b3(a b )33ab a(b )，再应用两数和、 两数积解题较为方便。解： x3y3( x y)33xy(x y)533 (1)5140 。说明： 立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。例5如果ABC 的三边 a, b,c 满足 a3a2bab2ac2bc2b30 ，试判断ABC 的形状。分析： 直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。解： 因为 a3a2b ab2ac 2bc 2b30 ，所以 a3b3( a2 b ab2 ) ( ac

7、2bc 2 ) 0 ，即 (ab)(a2ab b2 )ab(ab)c2 ( ab)0 ，( a b)(a2b2c2 )0 ，所以 ab 或 a2b2c2 ，因此ABC 是等腰三角形或直角三角形 .说明： 此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.练习1. 计算：（1） (4a)(164aa2 ) ；（2） (2 a1 b)(4 a22 ab1 b2 ) ；339（3） ( x 1)(x2x1) ；（4） x( x 2)2( x22x 4)( x 2) 。2. 计算：（1） ( x2)( x2) 2 ( x22x4)( x22x4) ；3最新 料推荐（2） (2 x3 y

8、)3 ；（3） (51b)3 ；3（4） ( m 1)3 (m2m 1)3 。3分解因式：（1） (2 x1)3x3 ；（2） 27 x38y3 ；（3） 2x31y3；4（4） m664 。4化简：abaabb 。abaabb5若 abc0 ，求证： a3a2cb2c abc b30 。6（ 1）已知 mn2 ，求 m3n36mn 的值；（ 2）已知： xy1，求 x3y33xy 的值 .7已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm3，求两个正方体的棱长.8.已知 ab1 ，求 a33abb3 的值。9.已知 ab2, ab48 ，求 a4b4 的值。10. 已知实数 a, b, c 满足 abc0， ab c1,a2b2c22, a3b3c3 ，求 abc 的值。答案：1（ 1） 64a3 ；（ 2） 8a31 b3 ；（ 3）x31；（ 4）4x24 x 8 。272（ 1） x664 ；（ 2） 8x336 x2 y54xy227 y3 ；（ 3） 12525b5 b21 b3 ；（4） m93m63m3 1。3273、（ 1） (3 x1)(3x23x1) ；（ 2） (3x2y)(9 x26xy4 y2 ) ；（ 3） 1(2 xy)(4 x22 xyy2 ) ；（4）