专题六几何探究题的解题思路

1、最新资料推荐专题六几何探究题的解题思路一、方法简述随着中考的改革, 几何的综合题不再是定格在”条件-演绎 -结论”这样封闭的模式中 , 而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、 归纳、 推理 , 或由条件去探索不明确的结论, 或由结论去探索未给予的条件, 或讨论存在的各种可能性; 探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型 . 解决此类问题 , 数学思想的合理应用起着关键性的作用, 一个题目往往需要几个思想方法交织应用 .二、思想方法1.分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的

2、相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（ 1）分类中的每一部分必须是独立的；（ 2）一次分类必须是一个标准；（ 3）分类讨论应逐级进行。2. 数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。3. 函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由

3、已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。4. 转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程2最新资料推荐实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。三、典例分析例 1: 阅读

4、理解： 如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AB CD ， B 90 O ,A点 P 在 BC 边上，当 APD90O 时，BP易证 ABP PCD ，从而得到 BP PC图 1AB CD .解答下列问题：（ 1）模型探究： 如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当 B = C = APD 时，DDACBPC图 2yDA求证： BP PCAB CD ；（ 2）拓展应用： 如图 3，在四边形 ABCD 中，BOPC xAB 4, BC10, CD 6, B = C60O ,图 3AO BC 于点 O ，以 O 为原点，以 BC 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点P

5、 为线段 OC 上一动点（不与端点O 、 C 重合） 当 APD60O 时，求点 P 的坐标； 过点 P 作 PE PD ，交 y 轴于点 E ，设 OPx ， OEy ，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围(1) 证明：如图2， 1=1800 - B - 2 3=180 0 - APD - 2 B= APD 1= 3又 B= C ABP PCD ABBP BP PCAB CDPCCDyDDA2A1E123M3BCPBOP P1 1P2 Cx图 2E2图 3(2) 如图 3，当 APD=60 0 时 OB= 1 AB223最新资料推荐设 P 点坐标为（ x，0），（ 0 x

6、8）则 BP=2+x ， PC=8- x B= C= APD=60 0 BP PC AB CD即（ 2+x） (8-x)=46解得： x 1 =2,x2 =4点 P 的坐标为 P（2， 0）或 P（ 4， 0）解法一：如图3，过点 D 作 DM x 轴于点 M则 CM= 1 CD3 ， DM= 3 3 OM=52( ) 当点 P 在线段 OM上设为 P1 ， P1 M=x-5 (0 x 5) E 1 OP1 = DMP 1 = E1 P1 D=90 0 OP1 ?P1 M=OE? 1?DM即 x(5 x )= y 33 y3 x2 53 x (0 x 5)99( )当点 P 在线段 CM上设为

7、 P2 , P2 M=x-5 (5 x8) 1+ 3=90 0 2+3=900 1= 2 Rt E 2 OP2 Rt P2 MD OE2OP2 OP2P2 MOE2 DM即 x(x-5)= y 3 3P2 MDM y3 x 25 3 x(5x8)99解法二：如图 3，过点 D 作 DM x 轴于点 M则 CM= 1 CD3 ， DM= 3 3 OM=5 D(5， 3 3 )2( ) 当点 P 在线段 OM上设为 P1 ， P1 M=5-x (0 x 5)连接 DE； E1 P12P1 D 2E1D 2即 x 2 y2(5 -x)2 + ( 3 3 ) 2 =( 3 3 -y) 2 +5 2 y

8、3 x25 3 x (0 x5)99( )当点 P 在线段 CM上设为 P2 , P2 M=x-5 (5 x8)连接 DE 222ED2即 x2y22+ ( 33 ) 2 =( 33 +y) 2 +5 2E PP D( x -5)22224最新资料推荐 y3 x 25 3 x (5 x8)99评析 : 本题通过 “阅读理解模型探究拓展应用”三环节问题设置， 实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图 1 为直角情形）入手，到“一般” （图 2 为非直角情形） ；再从“一般” （问题（ 2）上升到新背景中的“特殊”（问题（ 2），使学生经历了“特殊一

9、般特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程 . 试题在第一环节中提供了“易证 ,ABP PCD ”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓 “一般性方法” ）后，就能类比解决后续的各个问题 . 考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力 . 本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.例 2. 已知菱形 ABCD 的边长为 1， ADC 600 ，等边 AEF 两边分别交边 DC 、CB 于点 E 、 F .（ 1）特殊发现：如图 1，若点 E

10、 、F 分别是边 DC 、CB 的中点，求证：菱形 ABCD 对角线 AC 、BD 的交点 O 即为等边AEF 的外心；（ 2）若点 E 、 F 始终在分别在边DC 、 CB 上移动，记等边AEF 的外心为点 P .猜想验证：如图2，猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点 N ，11交边 DC 的延长线于点 M ，试判断是否为定值， 若是， 请求出该定值； 若不是，DMDN请说明理由MCFBCFBCFBEOEPEPDADAD图 3N A图 1图2解：（ 1）证明：如图1，分别连接 OE 、 OFCFB四边

11、形 ABCD 是菱形 AC BD , BD 平分ADC ， AD DC BC CODCOBAOD 90OE5DO图 1A最新资料推荐ADO1ADC160O30 O22又 E 、 F 分别为 DC 、 CB 中点 OE1 CD 、 OF1 BC 、 AO1 AD222 OEOFOA点 O 即为AEF 的外心（ 2）猜想：外心P 一定落在直线DB 上证明：如图2，分别连接 PE 、 PA ，过点 P 分别作 PICD 于 I ， PJAD 于 J .则PIEPJD90OADC60 O IPJ 360OPIEPJDJDIIPJ360O90O90 O60O120OCFB点 P 是等边AEF 的外心，I

12、PEPA120OPAE， PEIPJEPAIPJJPADJAPIE PJAPIPJ图 2点 P 在ADC 的平分线上，即点P 落在直线 DB 上分析：证点 P 落在ADC 的平分线上，也就证明点P 到直线 AD 、 AC 的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆，从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一：分别连接PA 、 PC 、 PD四边形 ABCD 是菱形 , ADC 60 OBCD120O ,ADCDCFB点 P 是等边AEF 的外心，PEAF60O , EAFBCE180OE A 、 F 、 C 、 E 四点共圆， PAPC DADCCDP

13、ADPD图 3ACDPADP P 落在ADC 的平分线上 . 即点 P 落在直线 DB 上.另解法二： : 分别连接 PA 、 PE 、 PDCFB点 P 是等边AEF 的外心PEPA120O ， PEPAEPEA30ODA图 46最新资料推荐ADCEPA 180OA 、 P、 E 、 D 四点共圆 .PDAPEA 30 ON P 落在ADC 的平分线上 . 即点 P 落在直线 DB 上.11CGFBDM为定值 2DN当 AE DC 时， AEF 面积最小，此时点 E 、 F 分别为 DC 、 CB 中点EP连接 BD 、 AC 交于点 P ，由（ 1）可得点 P 即为AEF 的外心解法一：如

14、图，设MN 交 BC 于点 GDMA设 DMx, DNy(x0, y0)，则 CNy1图 5 BC DA ，且 BCDA ， P 是 BD 的中点GBP MDP BGDMx CG1 x BC DA NCG NDM CNCG y1 1x xy2xy 112即112DNDMyxxyDMDN分析：观察图形，得到结论AMCG ，把 1 用 AD 或 CD 代替，把要计算的线段或相关线段集中到两个相似的三角形NCG ，NDM 中，并把长度用字母表示，化简含字母的代数式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、三、四。解法二：如图，连接 PE点 P 、 E 分别为 AC 、 DC 的中点N11 PEDA，

15、PE DACG FB22 NEP NDM NEEPNDDMEP1y11设 DMx, DNy ，则 NE22yx2y xy1 x1 y1 1，则112222DMDNx y解法三：过点G 作直线 GH CD 交 AD 于点 H ， GH CD HMG DMNDMA图 6NCGFBHGHMEPDNDM7MADH图 7最新资料推荐 1DM AMDM (1 DM )DNDMDM112DMDN解法四：过点 C 作直线 CK MN 交 BD 于点 K ，过点 A 作 AH MN 交 BD 于 H . CK MN， AH MNN DCK DNP ，DMP DAH DCDK， DADH1DK ，1DHCG FB

16、DNDPDMDPDNDPDMDP11DKDHHDMDNDPEP由 CKP AHP 得： KP HP DK DH2DP112DMDNKDMA图 8解法五：如图，过点P 作 PIDC 于 I ， PJDA 于 J ，则 PI3PJ4 S DNPS DMPS DMNNFB1PI1DMPJ1DNsin 60oCDN2DMI22 1 DN31 DM31 DM DN3EP242422 DMDN2DMDN112DJ M ADNDM图 911DMDN ，而DM DNDMNDM分析：因为?正与的面积有关， 其中，DMDNDM ? DNDN 也可以看成是将DMN 分为DNP 和DMP 后，计算面积过程中涉及的底边

17、。这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。解法六：如图4，以点 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设直线 MN 的解析式为ykx b可求得点 P 的坐标为 ( 3,3 ) 3 k b344448最新资料推荐N b33 k44yCFB直线 MN 的解析式为 ykx33 kEP44求得直线 DN 的解析式为 y3xD OM Ax图 10333 k3x3 k3令 kxk3x ， x44 DN2244k3cos60ok3333 k33 k3令 kxk 0， x44 DM4444kk 11kk33k32DMDN3 k33 k313)(

18、3k44222评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、 相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知， 求证， 证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，

19、考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P 落在直线DB上，证点 P 落在 ADC的平分线上，也就证明点P 到直线 AD、 AC的距离相等（结论转换），如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第2小题第以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。9最新资料推荐四

20、、强化训练1. 如图，在矩形 ABCD 中， AB 9 ， AD 3 3 ，点 P 是边 BC 上的动点（点 P 不与点 B 、点 C 重合），过点 P 作直线 PQ BD ，交 CD 边于 Q 点，再把 PQC 沿着动直线 PQ 对折，点 C 的对应点是 R 点，设 CP 的长度为 x ， PQR 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 y （ 1）求 CQP 的度数；（ 2）当 x 取何值时，点 R 落在矩形 ABCD 的 AB 边上？（ 3）求 y 与 x 之间的函数关系式；DQCDCDCPARBABAB第 1 题图（备用图1）（备用图2）10最新资料推荐2. 如图 1，在 Rt ABC 中

21、， C900 ， AC BC6 ， D 是 AB 边上一点， E 是在 AC边上的一个动点（与点A 、 C 不重合）， DFDE ，DF 与射线 CB 相交于点 F 。（ 1）如图1，如果点 D 是边 AB 的中点，求证：DEDF ；（ 2）如图2，如果 ADm ，求 DE 的值；DBDF（ 3）如果 AD1 ，设 AE x ， BFy ，求 y 关于 x 的函数关系式， 并写出 x 的取值范围；DB2CCCEFFEADB ADB ADB图 1图 2备用图11最新资料推荐3. 四边形 ABCD 是矩形，AB2 ， AD3，点 M 是射线 DC 上的一个动点（点M 不与点 D 重合）， N 是点

22、 M 关于 AD 的对称点，射线AM 交射线 BC 于 E ，设 DMm ，CEn ，ANE 的面积为 S .(1) 如图 1，当点 M 在 DC 边上 运动时，试用 m 的代数式表示 n ，并写出 m 的取值范围；（ 2）当点 M 在射线 DC 上运动时，判断 ANE 的面积 S 是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请用 m 的代数式表示 S ，并写出 m 的取值范围 .ANDMBCE图 1ADBC图 2 （备用图）12最新资料推荐4. 已知：在矩形ABCD 中， AB10 ， BC12 ，四边形 EFGH 的三个顶点 E 、 F 、H 分别在矩形 ABCD边 AB 、 BC 、 D

23、A 上， AE2 .（ 1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求GFC 的面积；22，当四边形EFGH为菱形，且BFa时，求GFC的面积（用含 a 的代数式表（ ）如图示）；（ 3）在（ 2）的条件下，GFC 的面积能否等于2 ？请说明理由 .AHDAHDEEGGBFCBFC图 1图 213最新资料推荐5. 已知， ABC 是等腰直角三角形，BAC 90 0， BC2 ， D 是线段 BC 上一点，以AD 为边，在 AD 的右侧作正方形ADEF 直线 AE 与直线 BC 交于点 G ，连接 CF （ 1）如图1，当 BD1时，求证：ACF ABD ；（ 2）如图2，当 BD1时，请在图中作

24、出相应的图形，猜测线段CF 与线段 BD 的关系，并说明理由；（ 3）连接 GF ，判断线段 BD 为何值时，GFC 是等腰三角形AAFBCDGBDC图 1图 2E14最新资料推荐6有公共顶点大小不等的正方形ABCD 与正方形 AEFG ，两个正方形分别绕着点A 旋转至下列图形的位置，其中BAE( (001800 ) .(1) 如图 1，连接 BG 、 DE ，判断线段 BG 与 DE 的数量及位置之间的关系，并说明理由；（ 2）连接 BE 、 DG ，过点 A 的直线垂直 DG 于 H 交 BE 于 P .如图 2，求证ABE 与ADG 的面积相等；如图 3，试判断AP 是否为定值，如果是定

25、值，求出该定值；如果不是，请说明理由.DGBBBPEEEF CCCFFAAAGGDGDHD图 2图 3图 115最新资料推荐7. （ 1）如图 1，在ABC 中， ACBC 2 2 ， ACB 90O ，点 E 在 AC 边上（不与 点 A、C 重合）， 过 E 作 DEAB 于 D ， 连 接 CD、BE ， M 为 BE 的 中 点 ， 连接CM、DM .求证：CDM 是等腰直角三角形；若 ADx ， CDM 的面积为 S ，求 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 2）如果把图 1 中的ADE 绕着点 A 逆时针旋转至图2 的位置，其它的条件不变，那么CDM 是否还是

26、等腰直角三角形？请说明理由.CCEEMDMADBA图 2B图 116最新资料推荐8. 如图 1，在菱形ABCD 中， AB =4， BAD 120O ， M 是 BC 边上的点， BAM（ 0O 60O ），点 N 在 CD 边上， MAN60O ， AM 、 AN 分别与 BD 相交于 P 、 Q 两点，当 MAN 绕着点 A 旋转时，点 M 、 N 、 P 、 Q 也随之运动 . 请解答下列问题；（ 1）求证：AMN 是等边三角形；（ 2）在 MAN 旋转的过程中， 当 为何值时，四边形 AMCN 的周长最小？求四边形 AMCN周长的最小值；（ 3）如图 2，当 BP2DQ 时，判断 PQ

27、 与 DQ 之间的数量关系，并说明理由 .AAQPQPDBDBNMNMCC图 1图 217最新资料推荐9. 如图，在 ABC 中， AB BC5 ， AC 6 ，过点 A 作 AD CB ，点 P 、 Q 分别是射线 AD 、线段 AB 上的动点， 且 APBQ ，过点 P 作 PE AC 交线段 AQ 于 O ，交 BC于 E ，设 POQ 的面积为 y ， APx .DPA（ 1）用 x 的代数式表示 PO ；（ 2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；O（ 3）连接 QE ，若 PQE 与 POQ 相似，求 AP 的长 .QBEC18最新资料推荐10. 如图， Rt AB

28、C ，C 90 0 ， BC6 ， AC 8 点 P、Q 都是斜边 AB 上的动点，点 P 从 B 向 A 运动（不与点B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动， BPAQ 点 D ， E 分别是点A ，B 以 Q ，P 为对称中心的对称点， HQAB 于 Q 交 AC 于点 H 当点 E 到达顶点 A 时，P 、 Q 同时停止运动设BP 的长为 x ，HDE 的面积为 y （ 1）求证： DHQ ABC ；BP（ 2）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值；E（ 3）当 x 为何值时，HDE 为等腰三角形？DQCHA19最新资料推荐11.（1）在正方形 ABCD 中，点 F 在 A

29、D 延长线上，且 DFDC ， M 为 AB 边上一点，N 为 MD 的中点，点 E 在直线 CF 上（点 E 、 C 不重合） .如图 1，点 M 、 A 重合， E 为 CF 的中点，试探究 BN 与 NE 的位置关系及CE 的值， 并BM证明你的结论； 如图 2，点 M 、 A 不重合， BNNE ，你在中得到的两个结论是否成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（ 2）如图 3，如果把（ 1） 中的“正方形 ABCD ”改为“矩形 ABCD ”，其他条件不变，那么你在中得到的两个结论是否成立，请直接写出你的结论.BCBCBECEEMMANNA(M) NDFDFADF图 1图 2图 320最新资料推荐12. 如图，在 ABC 中，ACB 900 ，点 P 到ACB两边的距离相等，且 P