均值不等式常见题型整理

1、最新 料推荐均值不等式一、基本知识梳理1. 算术平均值：如果a b R ，那么叫做这两个正数的算术平均值 .+2. 几何平均值：如果a b R+，那么叫做这两个正数的几何平均值3. 重要不等式：如果a b R，那么 a2 +b2(当且仅当 a=b 时，取“ =” )均值定理：如果a b R+，那么 a b (当且仅当 a=b 时，取“ =”)2均值定理可叙述为：4变式变形：1 aba2b2;222a b;23 baab0 ;aba2b；4252 a2b2 .5. 利用均值不等式求最值， “和定，积最大；积定，和最小” ，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。注

2、意三个条件： “一正，二定，三相等”即： （ 1）各项或各因式非负； （ 2）和或积为定值；（ 3）各项或各因式都能取得相等的值。6. 若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑裂项转化分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。二、常见题型：1、分式函数求最值，如果 yAB 的形式，且 g( x) 在定义f (x) 可表示为 y mg( x)g( x)域内恒正或恒负， A 0, m0, 则可运用均值不等式来求最值。例：求函数ax 2x 1 (x10)的最小值。y1且 ax1最新 料推荐ax 2x 11axxax(1a解： y

3、1axx1a)xx 1a(x1)a2a2a12a11x1当 a( x 1)aymin1即 x=0 时等号成立，x12、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。例：已知 a 0, b0,且191 ，求 ab 的最小值。ab解法一： ab1b9a29 16910思路二：由 19ab1变形可得 (a1)(b9)9,a 1,b9, 然后将 ab 变形。ab解法二： ab( a1)(b9) 102 (a1)(b9)102 91016可以验证：两种解法的等号成立的条件均为a4, b12 。此类题型可扩展为：设 a1、 a2、

4、a3 均为正数，且 a1a2a3m ，求 S111的最小值。a1a2a3S1a21111 3 ( a2a1 )( a3a1 )( a3a2 )m ( a1a3 )( a1a2a3 )ma1a2a1a3a2a3122 2)9a1 a2a3 。(3，等号成立的条件是mm3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换， 本类题型一般情况都给出来 x 的取值范围， 根据取值范围来进行逆向转换。例：求函数 y7x3 , x 1 ,3 的最小值。x2思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间x 1 ,3 入手，可得一1)( x12个

5、不等式 ( x3) 0（当且仅当 x或 x3 时取等号），展开此式讨论即可。222最新 料推荐解：( x1 )( x3) 0, 即 2x 27 x 30,2x 27x3,2x 0,27x 3 , 得 ym in2x4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用， 如：当 ab0 时， a 2b 22ab 同时除以 ab 得 ba2 或 b1 1a 。abab例：已知 a,b,c均为，求证：a2b 2c 2a bc 。bca证明：a, b, c 均为正数，a 22ab, b22bc, c22ca ，bcaa 2b2c2bc( 2a b) (2b c) ( 2c a) a b ca总之，均值不

6、等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。【巩固练习 】1、若 a 0, b0, 求函数 yx最值。 答案： yminab , ymaxabax2b2ab2ab2、求函数 y3x( x0) 的值域。答案： -3， 02xx13、已知正数 x, y 满足 x2 y113 221, 求的最小值。答案：xy4、已知 x, y, z 为正数，且 xyz111的最小值。答案：92，求 Sy22x5、若 x 1 ,b( a0) ，求 y(1ab) xb 的最小值。答案：aaxa 2b2c2abc。6、设 a

7、, b, c 为整数，求证：ccaa b2b3最新 料推荐三、利用不等式解题的典型例题解析：题型一：利用均值不等式求最值（值域）例 1、（ 1）已知 x0 ，求 f (x)123x 的最小值x（ 2）已知 x3，求 f ( x)4x 的最大值x3变式 1： 1、若 xR ，求 f (x)4x 的值域x32、函数 yx2x 2x0的最大值为变式2： 、已知 x0, y0且 191 ，求xy的最小值1xy2、 x R ，求 f ( x)sin 2x15的最小值sin 2 x13、当 0x1, a, b 为正常数时，求ya 2b2x1的最小值x变 式3 ： 1 、 函 数 y log a ( x3)1( a0, a1) 的 图 象 恒 过 定 点 ， 若 点 A在 直 线mxny10 上，其中 mn 012，则的最小值为mn2、求 y2(x 23)x 2的最小值为23、已知 0x2, f ( x)12009的最小值为sin x1 sin x变式 4： 1、已知 x, y 都是正实数，且xy3xy50（ 1）求 xy 的最小值（ 2）求 x y 的最小值题型二：利用均值不等式证明不等式例 2、已知 a,b, c R ，求证：（ 1） a2 b2 c2 ab bc ca4最新 料推荐（ 2） a2b 2b2c2c2a22 a b c（ 3） a4b 4c4a 2 b2b2 c2c 2