大学高数公式大全

1、最新资料推荐高等数学公式导数公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(csc x)csc x ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1 x21( arcctgx )1(log a x)1x2x ln a基本积分表：三角函数的有理式积分：tgxdxln cos xCctgxdxln sin xCdxsec2 xdxtgx Ccos2xdxcsc2xdxctgx C2secxdxcsc xdxdx22axdxx2a2dx22axa2x2ln secxtgxCln csc xctgxC

2、1 arctg x Caa1 ln xaC2a xa1 ln a x C 2a a xxarcsinCsinxsecx tgxdxsecxCcscx ctgxdxcscxCa xdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a 2 )Cx 2a22sin n xdx2cosn xdxn1 I nI n200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a2u1u2，x， dx2dusinx2，cosx2u tg21 u1u21 u1最新资料推荐一些初等函数

3、：双曲正弦 : shxexe x2双曲余弦 : chxexe x2shxexe双曲正切 : thxexechxarshx ln( x x2）1两个重要极限：limsin x1xx 0lim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x xxxarchxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1x三角函数公式：诱导公式：函数sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg-ctg 180+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ct

4、g tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin222最新资料推荐倍角公式：sin 22 sincoscos22cos2112 sin2cos2sin2sin33sin4 sin3ctg2ctg 21cos34 cos33cos2c

5、tg3tgtg3tg32tg13tg 2tg 21tg 2半角公式：sin1 coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1 cos22正弦定理：abc2R余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C反三角函数性质：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：(uv)( n )nCnku ( n k ) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n1) u (n 2) vn(n1) ( n k1) u( n k)v (

6、k )uv(n )2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ()(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()当 F( x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；：弧长。Ks MMsM 点的曲率： Klimdy.sds2s0(1 y)3直线： K0;半径为 a的圆： K1 .a3最新资料推荐定积分的近似计算：bba ( y0矩形法： f ( x)y1yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 a

7、n2bba ( y0抛物线法： f ( x)yn )2( y2y4yn2 ) 4( y1y3yn 1 )a3n定积分应用相关公式：功： WF s水压力： Fp A引力： Fk m1m2,k为引力系数r 21b函数的平均值： yf (x)dxba a1b均方根：f 2 (t )dtb a a空间解析几何和向量代数：空间 2点的距离： dM 1M 2(x2x1) 2( y2y1 )2( z2 z1 )2向量在轴上的投影： Pr j u ABAB cos ,是 AB与 u轴的夹角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一个数量 ,两向

8、量之间的夹角： cosaxbx ay byazbz2ay22222axazbxbybzijkc a baxayaz , cab sin.例：线速度： vw r .bxbybzaxayaz向量的混合积： ab c(ab )cbxbybza bc cos ,为锐角时，cxc ycz代表平行六面体的体积。4最新资料推荐平面的方程：1、点法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： dAx0By0A2B2空间直线的方程：

9、x x0y y0z z0t,其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m, n, p; 参数方程： yy0ntzz0pt1、椭球面： x2y2z21a2b2c2、抛物面： x2y 2（同号）22qz,p, q2 p3、双曲面：单叶双曲面： x2y2z22221abc双叶双曲面： x2y2z2（马鞍面）a2b2c21多元函数微分法及应用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算：z dzf x ( x, y)x f y (x, y)y多元复合函数的求导法 ：zf u(t ), v(t)dzzuzvdtutvtzf u(x, y), v( x,

10、y)zzuzxuxv当u，时，u( x, y)vv( x, y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隐函数的求导公式：隐函数F ( x, y)，dyFx ，d 2 y0dxFydx 2隐函数F ( x, y, z)， zFx ，z0xFzyvxFx(Fxdy()Fy)x FyydxFyFz5最新资料推荐F (x, y,u, v)0( F ,G)FFFuFv隐函数方程组：uvG(x, y,u, v)0JGGGuGv(u,v)uvu1( F ,G)v1(F , G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1( F ,G)v1(F , G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用

11、：x(t )空间曲线y(t )在点 M (x0 , y0 , z0 )处的切线方程： x x0yy0zz0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在点 M 处的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( z z0 )0若空间曲线方程为： F ( x, y, z) 0,则切向量 TFyFzFxFx, Fz,G ( x, y, z) 0G yG z G zG x Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz (

12、x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )3、过此点的法线方程：x x0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )FyG yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向导数与梯度：函数zf ( x, y)在一点沿任一方向的方向导数为： ffcosfsinp( x, y)llxy其中 为 轴到方向的转角。xl函数zf ( x, y)在一点的梯度：gradf ( x, y)ffp(

13、x, y)ijxy它与方向导数的关系是 ：f，其中e cosisin j，为方向上的grad f (x, y) ell单位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设f x ( x0, y 0 )f y ( x0 , y0 )，令：f xx ( x 0, y0 ) A , f xy ( x 0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C0ACB2时， A0 , ( x0, y0 )为极大值00 , ( x0, y0 )为极小值B 2A则： AC0时，无极值ACB2时不确定0 ,6最新资料推荐重积分及其应用：f ( x, y)dxdyf (r

14、cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面积 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的转动惯量：对于 x轴 I xy2( x, y)d,对于 y轴 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：( x, y) xdFyf( x, y) yd3，Fzfa( x, y) xdFx f3，3D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D (

15、x2y 2a2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin ,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐标：, z) f (r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f (x, y, z)dxdydzF ( r , )r 2 sindrddddF (r , )r 2 sindr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM转动惯量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2

16、)dv，I z( x2y2 ) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设 f (x, y)在 L上连续， L的参数方程为：x(t)(t), 则：y,(t)f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt()xt特殊情况：Ly(t )7最新资料推荐第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设 L 的参数方程为x( t ) ，则：y( t )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy P ( t ),( t )( t )Q (t ),( t )( t ) dtL两类曲线积分之间的关系： PdxQdy( P cosQ cos) ds，其中和分别为LLL 上积分

17、起止点处切向量的方向角。格林公式：(QP ) dxdyPdxQdy 格林公式：(QP ) dxdyPdxQdyDxyLDxyL当 Py , Qx ，即：QP2 时，得到D 的面积：Adxdy1xdyydxxy2 LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、 G 是一个单连通区域；2、 P ( x , y )， Q ( x , y )在 G 内具有一阶连续偏导数，且Q P 。注意奇点，如( 0 , 0 ) ，应xy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在Q P 时， PdxQdy 才是二元函数u ( x , y )的全微分，其中：xy( x , y )u ( x , y )P (

18、x , y ) dxQ ( x , y ) dy ，通常设x 0y 00。( x 0, y 0 )曲面积分：对面积的曲面积分：f ( x, y, z) dsf x, y , z( x, y )1zx2 ( x, y)zy2 ( x, y) dxdyD xy对坐标的曲面积分：P ( x, y, z) dydzQ ( x, y , z) dzdx，其中：R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdyR x, y , z( x, y) dxdy，取曲面的上侧时取正号；D xyP( x, y, z) dydz，取曲面的前侧时取正号；P x ( y, z), y , zdydzD yz

19、Q( x, y, z) dzdx，取曲面的右侧时取正号。Q x, y( z, x ), zdzdxD zx两类曲面积分之间的关系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos) ds高斯公式：( PQR ) dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos ) dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度： divPQR ,即：单位体积内所产生的流体质量，若 div0, 则为消失 .xyz通量： AndsAn ds(P cosQ cosR cos)ds，因此，高斯公式又可写成：div AdvAn ds8最新资料推荐斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系

20、：( RQ )dydz (PR )dzdx( QP )dxdyPdxQdy Rdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量场沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzA t dsA常数项级数：等比数列：1qq 2q n11q n1q等差数列：123n( n1)n2调和级数：1111 是发散的23n级数审敛法：、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛1设：limnu n，则时，级数发散1n时，不确定12、比值审敛法：时，

21、级数收敛U n1设：lim1，则1时，级数发散nU n时，不确定1、定义法：3sn u1u 2u n ; limsn 存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4或u1 u2u3,un的审敛法 莱布尼兹定理：(0)unun1s u1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。如果交错级数满足，那么级数收敛且其和lim un0n绝对收敛与条件收敛：9最新资料推荐(1)u1u 2u n，其中 un 为任意实数；(2) u1u 2u3u n如果收敛，则肯定收敛，且称为绝对收敛级数；( 2)(1)如果发散，而收敛，则称为条件收敛级数。( 2)(1)(1)调和级数：1 发散，而( 1) n 收敛；nn级数：1收敛；n 2p级数：1 时发散n pp时收敛1幂级数：x时，收敛于11 xx 2x3xn11xx时，发散1对于级数( 3) a0a1 xa2 x 2an xn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散 ，其中称为收敛半径。RxR时不定时，10R求收敛半径的方法：设liman 1，其中 an， an 1是(3)的系数，则0时， Rnan时， R0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x )f ( x0 )( x x0 )