32 2019年深圳市高三年级第一次调研考试 文理文科答案_W

1、深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试 文科数学试题参考答案及评分标准第卷一选择题（1） C（2） B（3） A（4） C（5） B（6） A（7） C（8） A（9） C（10）B（11）D（12）Cmax12【解析】不妨设 x2 x1，由 f (x1 ) = f (x2 ) ，要使| x1 - x2 | 最大，即转化为求( x1 - x2 )， 问题可转化为（如图所示） A(x1, y1) 到 y = x +1(x 0 时， f (x) = ln x +1， 令 f (x) = 1 ，则 x1 = 1 ， A(1, 0) ， x2 = -1所以| x1 - x2 | 的最大值为 2 二

2、填空题：713 e +114 6015 216 211文科数学试题第 10页（共 10页） 3334 3a + 3c16【解析】由题意可知 SDABC = 2 ac sin150 = 4 ac =，得 ac = 4设 BD = x ，则 3S+ S= 1 ax +DBCDDABD44cx = 4，可得 x =，当且仅当 a =3c 时 x 取到最大 37值，所以 a = 2， c = 2 ，由余弦定理可得b = 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和已知 a1 = 4 ，公差 d 0 ， a 4 是 a 2

3、与 a 8 的等比中项 （1） 求数列an 的通项公式； 1（2） 求数列Sn 前n 项和为Tn 【解析】（1） a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列， 42 8 a 2 = a a ， (a + 3d )2 = (a + d )(a + 7d ) ，2 分 111 (4 + 3d )2 = (4 + d )(4 + 7d ) ， 解得 d = 4 或 d = 0 ， d 0 ， d = 4 4 分 数列a 的通项公式 a = a + (n -1)d = 4n(n N* ) 6 分 nn1（2） Sn1= n(a1 + an ) = 2n2 + 2n ，8 分 21= 1 ( 1 -1

4、) ，10 分 = nS2n2 + 2n2 nn +1 T = 1 + 1 + 1nS1S2Sn= 1 (1 - 1 ) + ( 1 - 1) +L+ ( 1 -1 ) = 1 (1-1 ) 12 分 2 1223nn +1 2n +1【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数算、逻辑推理等数学核心素养 18（本小题满分 12 分） 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检测，一共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表

5、质量指标 Y9.4,9.8)9.8,10.2(10.2,10.6频数 82416一年内所需维护次数 201（1） 以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标 Y 的平均值（保留两位小数）； （2） 用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，求这 2 件产品的指标 Y 都在9.8, 10.2 内的概率； （3） 已知该厂产品的维护费用为 300 元/次工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次将每件产品的购买支出和一年 的维护支出之和称为消费费用假设这 48 件产品每

6、件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在 购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 132【解析】（1） 指标 Y 的平均值=9.6+10+10.4 10.07 2 分 666（2）由分层抽样法知，先抽取的 6 件产品中，指标 Y 在9.8,10.2 内的有 3 件，记为A1、A2、A3 ；指标 Y 在(10.2,10.6 内的有 2 件，记为 B1、B2 ；指标 Y 在9.4,9.8) 内的有1 件，记为C 3 分 从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，共有基本 15 个：( A1,A2 )、( A1,A3)、( A1

7、,B1) 、 ( A1,B2 )、( A1,C)、( A2, A3)、( A2, B1)、( A2, B2 )、( A2,C )、( A3, B1)、( A3, B2 )、( A3,C )、 (B1, B2 )、(B1, C )、(B2 , C ) 5 分 其中，指标 Y 都在9.8,10.2内的基本 有 3 个： ( A1,A2 )、( A1,A3 )、( A2, A3) 6 分 所以由古典概型可知，2 件产品的指标 Y 都在9.8,10.2 内的概率为 P = 3 = 1 （3） 不妨设每件产品的售价为 x 元， 1557 分 假设这 48 件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元

8、其中有 16 件产品一年内的维护费用为 300 元/件，有 8 件产品一年内的维护费用为 600 元/件，此时平均每件产品的 1消费费用为h=(48x +16 300+8 600) =x + 200 元；9 分 48假设为这 48 件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为 48( x +100) 元，一年内只有 8 件产品要花费维护， 需支出 8 300=2400 元， 平均每件产品的消费费用 x=1 48( x +100) +8 300 = x +150 元11 分 48所以该服务值得消费者购买12 分 【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点

9、体现数算、数据分析等数学核心素养 19（本小题满分 12 分） 已知四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， PD = DC ， AD PC （1） 求证： AC = AP ； （2） 若平面 APD 平面 ABCD ， ADC = 120 ， AD = DC = 4 ，求点 B 到平面 PAC 的距离 【解析】（1）证明：取 PC 中点 M ，连接 AM ， DM ，1 分 Q PD = DC ，且 M 为 PC 中点， DM PC ，2 分 Q AD PC ， AD I DM = D ，3 分 PC 平面 ADM ，4 分 Q AM 平面 ADM ， PC AM ，5 分

10、 Q M 为 PC 中点， AC = PA 6 分 （2）过点 P 作 PH 垂直 AD 延长线于点 H ，连接CH ，7 分 Q平面 APD 平面 ABCD ，平面 APD I 平面 ABCD = AD ， PH 平面 APD ， PH AD ， PH 平面 ABCD ，8 分 Q CH 平面 ABCD ， PH CH ，9 分 Q PD = DC ， AD = AD ， AC = AP ， DADP DADC ， ADC = ADP = 120， 3 PD = CD = AD = 4 ， AC = AP = 4， 36PH = CH = 2， PC = 210 分 设 hB 为点 B 到平

11、面 PAC 的距离， 11D由于V= V，可得 S PH =S h ， P- ABCB- ACP3S= 1 4 4 3 DABC3= 4， 3ACPBDABCS2242= 1 2 6 = 6，11 分 DACP27所 以 h = 4 7 B7即点 B 到平面 PAC 的距离为 4 7712 分 【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、 等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数 算、逻 辑推理等核心素养 20（本小题满分 12 分） 设抛物线C ： y2 = 4x ，直线l : x - my - 2 = 0 与C 交于 A ，

12、B 两点 6（1） 若 AB = 4，求直线l 的方程； （2） 点 M 为 AB 的中点，过点 M 作直线 MN 与 y 轴垂直，垂足为 N ，求证：以 MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标 【解析】（1）由x = my + 2, 消去 x 并整理，得 y - 4my - 8 = 0 ， 1 分 y2 = 4x,2显然D = 16m2 + 32 0 ，设 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， 由韦达定理可得， y1 + y2 = 4m ， y1 y2 = -8 ，3 分 m2 +1Q AB = AB = 4 y - y12m2 + 2 m2 +1 =m2 +1 ，

13、 ( y +y )2 - 4 y y121 26= 4，4 分 m2 = -4 （舍去）或 m2 = 1， m = 1， 直线方程为 x - y - 2 = 0 或 x + y - 2 = 0 5 分 （2）设 AB 的中点 M 的坐标为( xM, yM) ，则 yM= y1+ y2 = 2m ， 2又 Q x + x = m( y + y ) + 4 = 4m2 + 4 ， 1212 xM= x1+ x2 = 2m2 + 2 ，6 分 2 M (2m2 + 2, 2m) ，由题意可得 N (0, 2m) ，7 分 设以 MN 为直径的圆经过点 P(x0 , y0 )则 PM = (2m2 +

14、 2 - x , 2m - y ) ， PN = (-x , 2m - y ) ，8 分 00由题意可得， PM PN = 0 ， 00000即(4 - 2x )m2 - 4 y m + x2 + y2 - 2x4 - 2x0 = 0， 00= 0 ，9 分 2 0 2由题意可知4 y = 0，10 分 x + y - 2x= 0， 000 x0 = 2 ， y0 = 0 ，11 分 定点(2,0) 即为所求12 分 【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数 算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养 21（本小题满分 12

15、分） 已知函数 f (x) = (ax + 2)ex - x - 2其中 a -2 （1） 当 a = 0 时，求函数 f (x) 在-1, 0上的最大值和最小值； （2） 若函数 f (x) 为 R 上的单调函数，求实数 a 的取值范围 【解析】（1）当 a = 0 时， f (x)=2ex - x - 2 ， f (x)=2ex -1 1 分 由 f (x) 0 解得 x -ln 2 ，由 f (x) 0 解得 x -ln 2 故函数 f (x) 在区间-1, -ln 2上单减，在区间-ln 2, 0上单增2 分 f (x)min = f (-ln 2) = ln 2 -13 分 f (-

16、1)= 2 -1 0 当 a 0 时，由 g(x) x - 2 + 2 ， g(x) 0 x - 2 + 2 aa2 -2- 2 g(x)min =g -2 -= -aeaa -1 0 ， 此时函数 f (x) 存在异号零点，与题意不符6 分 （iii） 0当 -2 a 0 时，由 g(x)，可得 x - 2 + 2 ， 由 g(x) - 2 + 2 aa g (x) 在 -, -2 - 2 上单调递增，在 -2 - 2 ，+ 上单调递减 aa2 -2- 2故 g(x)=g -2-= - aemaxaa -17 分 -2- 2由题意知， -aea -1 0 恒成立8 分 令-2 - 2 = t

17、 ，则上述不等式等价于et t +1，其中t -19 分 a2易证，当t 0 时， et t +1 t +1， 2又由（1）的结论知，当t (-1，0 时， et t +1成立 11 分 22由-1 -2 - 0 ，解得-2 a -1 a综上，当-2 a -1时，函数 f (x) 为 R 上的单调函数，且单调递减 12 分 （2）法二：因为 f (-1) = 2 -1 0 ，所以函数 f (x) 不可能在 R 上单调递增6 分 e所以，若函数 f (x) 为 R 上单调函数，则必是单调递减函数，即 f (x) 0 恒成立 由 f (0) = a +1 0 可得 a -1 ， 故 f (x) 0

18、 恒成立的必要条件为-2 a -17 分 令 g(x) = f (x) = (ax + a + 2)ex -1，则 g(x) = (ax + 2a + 2)ex 当-2 0 ，可得 x - 2 + 2 ， 由 g(x) - 2 + 2 ， aa g(x) 在 -, -2 - 2 上单调递增，在 -2 - 2 ，+ 上单调递减 aa2 -2- 2故 g(x)=g -2 - = - aemaxa -19 分 a -2- 2-2- 2令h(a)= - aea -1 ，下证：当-2 a -1时， h(a)= - aea -1 0 -2- 2121t即证ea - 令-2 - = t ，其中t (-1,

19、0，则- = +1 aaa2则原式等价于证明：当t (-1, 0时， et t +111 分 2由（1）的结论知，显然成立 综上，当-2 0 ，故cos2 a 8 ，又cos2 a 1， cos2 a 89,1 ，7 分 9 设这个方程的两个实数根分别为t1 ， t2 ，则 t1 + t2 = 6 cosa， t1 t2 = 8 ，8 分 t1 与t2 同号， 由参数t 的几何意义可得： PA + PB = t1 + t2= t1 + t2 = 6 cosa， PA PB = t1 t2 = 8 ， 1+1= ( PA + PB )2 - 2 PA PB PA 2PB 2PA 2 PB 2=1

20、2(t + t )2 - 2t t9 cos2 a- 4(t t )1 22 1 2 =16，9 分 Qcos2 a 8,1 ， 9 9 cos2 a- 4 15 16 4 , 16 ， 1 5 11的取值范围为,10 分 + PA 2PB 2 416 【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、函数的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数 算、逻辑 推理等核心素养 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 设函数 f (x) = x +1 + x - 2 ， g(x) = -x2 + mx +1 （1） 当 m = -4 时，求不等式 f (x) g(x) 的解集； （2） 若不等式 f (x) g(x) 在- 2,- 1 上