第六章6 6反常积分

1、第六节反常积分与-函数无穷限的反常积分函数的反常积分小结一、无穷限的反常积分设函数 f ( x)在区间a,+)上连续，取定义 1bb a ，如果极限limf ( x)dx存在，则称此极ab+限为函数 f ( x) 在无穷区间a,+) 上的反常积+分，记作af ( x)dx.+b= limf ( x)dxf ( x)dxaab+当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.类似地可定义:bb=limf ( x)dxf ( x)dx-aa-+f (x)dxcf ( x)dx=+f (x)dx-ccb=+ limlima-f (x)dxf (x)dxb+ac+cc,中有一个不存在,则

2、称若f (x)dxf (x)dx-+-f ( x)dx 不存在反常积分aa 1 + x2b+0 1 +=limarctan xa+ limarctan x0ab+= p +p = p.dx+.例1计算反常积分1 + x2- dx1 + x2 dx1 + x2 dx1 + x2+0=+b解-010 1dx2x0b2 2a-可替换为b+= arctanx |0+arctanx |+-0= arctan0 -lim arctanx + lim arctanx - arctan0x-x+= -(- p) + p = p22+bDf ( x)dx =lim f ( x)dx =lim F (b) - F

3、 (a) =F(x) |+=a - lim arctabna+ +a lim arctanbb+a=lim dx + lim 若f(x)的一个原函数为F(x),则+ dx1例2x + x 2 1 x p+dx 当 p1时收敛，例 3证明反常积分1当 p 1时发散. 1 x p1x+1+= +,p 111因此当p 1时广义积分收敛，其值为当 p 1时广义积分发散.；p - 1+例4sinxdx计算-+0解: - sinxdx = sinxdx +sinxdx-0+0+0sinxdx =cos x |Q=lim cos x + 1不存在x+sinxdx发散+ 0sinxdx发散 -+说明: 若f(

4、x)为奇函数,反常积分- f (x)dx未必为0但若f(x)为偶函数,则- f (x)dx = 20f (x)dx+二、定义 2函数的反常积分设函数 f ( x)在区间(a, b上连续，而在 取 e 0 ， 如果极限点 a 的右邻域内bf ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)lima+ee +0b在区间(a, bf ( x)dx.上的反常积分，记作abb= limf ( x)dxf ( x)dxa+ee +0a当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.类似地可定义:b-eb(2)f (x)在x b-时f (x)dx = lim,f (x)dx,e0+aa(3)

5、f(x)在x c(a c b),bcbf ( x)dx =f ( x)dx +f ( x)dxaacc-eb=f ( x)dx + limlimf ( x)dxc+e ae +0e +0注意: e和e可以有不同的收敛速度定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.记号:设f(x)的一个原函数为F(x),b(1)f (x)在x a+,f (x)dx =F(x) |=bF(b) -lim F(x)a+axab(2)f (x)在x b-,f (x)dx =F(x) |=blim F(x) -F(a)a-axb(3)f(x)在x c(a c 0).例5计算反常积分- x2a201= +,Q lim解- x2a2xa-0 x = a 为被积函数的无穷间断点. dx dxa-ea=lim- x2- x2a2a200e +0x a-ea - ep2= lim arcsin= lim arcsin- 0 =.e +0e +0aa0 1 xq1q 1, q 111-q= 1 x10(2)q 1,=dx1 - q01 - q因此当q 1时反常积分收敛，其值为1；当q 1时反常积分发散.1