第1节导数的概念及运算

1、2021新亮剑高考总复习导数及其应用第三章第1节导数的概念及运算1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析1. 了解导数概念的实际背景.2. 通过函数图象直观理解导数的几何意义.3. 能根据导数定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=1,y= 的导数.4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1. 导数的概念和运算是高考的必考内容,一般渗透在导数的应用中考查;导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查;常以选择题或解答题的第(1)问出

2、现,难度较低.2. 重点考查数算、逻辑推理、直观想象等核心素养高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、导数的概念1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数一般地,称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率(+)-()= 为函 (+)-()= 数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f(x0)或 y|x=x0,即 f(x0)=.5高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录2.导数的几何意义函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处切线的斜率的(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线y-y0=f(x0)(x-

3、x0)方程.3.函数 f(x)的导函数(+ )-() 称函数 f(x)=为 f(x)的导函数 .6高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、基本初等函数的导数公式7 原函数导函数f(x)=c(c 为常数)f(x)= 0f(x)=xn(nQ)f(x)=nxn-1f(x)=sin xf(x)=cos xf(x)=cos xf(x)= -sin xf(x)=ax(a0 且 a1)f(x)=axln af(x)=exf(x)=exf(x)=logax(x0,a0 且 a1) f(x)=f(x)=ln x(x0) f(x)=高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录三、导数的运算法则1.f(x)g(x)= f(x)

4、g(x).2.f(x)g(x)= f(x)g(x)+f(x)g(x).()()-()() ()()3. = (g(x)0). ()8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、注意两种区别 1. f(x)与 f(x0)的区别:f(x)是一个函数,f(x0)是函数 f(x)在 x0 处的函数值(常数),所以f(x0)=0.2. 曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线与过点 P(x0,y0)的切线的区别:前者 P(x0,y0)为切点,而后者 P(x0,y0)不一定为切点.9高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、关注两个易错点三、记住两个常用结论1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周

5、期函数的导数还是周期函数.2.af(x)+bg(x)=af(x)+bg(x).10高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(正确的打“”,错误的打“”) (1)f(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率. (2)求 f(x0)时,可先求 f(x0),再求 f(x0).(3) 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(4) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(5) 曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线与过点 P(x0,y0)的切线相同.()答案解析11目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识解析(1)错误.f(

6、x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率.(2) 错误.f(x0)与函数 y=f(x)在 x=x0 处的函数值 f(x0)无关.(3) 正确.曲线的切线与曲线除切点外还可能有其他公共点. (4)错误.与曲线只有一个公共点的直线不一定与曲线相切. (5)错误.对于曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线,P(x0,y0)为切点;而对于过点 P(x0,y0)的切线,P(x0,y0)不一定为切点.12目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础自测】1.若 f(x)是函数 f(x)=1x3+2x+1 的导函数,则 f(-1)的值为(D).D.33B.1A.-3C.2解析f(x)=1

7、x3+2x+1,f(x)=x2+2.3f(-1)=3.答案解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.若曲线 y=ex+ax+b 在点(0,2)处的切线 l 与直线 x+3y+1=0 垂直,则 a+bA=().A.3B.-1C.1D.-3因为直线 x+3y+1=0 的斜率为-1,解析3所以切线 l 的斜率为 3,即 y|x=0=e0+a=1+a=3,所以 a=2.又曲线过点(0,2),所以 e0+b=2,解得 b=1.所以 a+b=3,故选 A.答案解析14目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识3.如图所示的是函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么 y=f(x),y=g(x)的图象

8、可能是(D).解析由 y=f(x)的图象知,y=f(x)在(0,+)上单调递减,说明函数 y=f(x)图象的切线的斜率在(0,+)上也单调递减,故可排除 A,C.又 f(x)0,说明 f(x)在(0,+)上是增函数,故可排除 B,故选 D.答案解析1516目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点1导数的计算考向 1:根据求导法则求函数的导数例 1求下列函数的导数:2) 1 + 1;(2) y=+2+1. (1)y=(1- 3 分析先对函数进行化简,再求导.分析解析17考点探究素养达成高考真题目 录-1111解析(1)y=(1- ) 1 + =- = 2-2,

9、 -11-3-111211y=( 2)-(2)=-2 - 2=-.2 322 (2)原式化为 y=1+ 2 + 1 , 2 3121则 y=+ 23=(x-1)+(2x-2)+(x-3)=-x-2-4x-3-3x-4=- 1 - 4 - 3. 2 3 418考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.19考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:抽象函数的导数计算例 2 9(1)已知函数 f(x)的导数为 f(x),

10、且满足关系式 f(x)=x2+3xf(2)+ln x,则- 4f(2)=.B(2)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f(1)=2,则 f(-1)等于().A.-1解析B.-2C.2D.0(1)因为 f(x)=x2+3xf(2)+ln x,所以 f(x)=2x+3f(2)+1,所以 f(2)=4+3f(2)+1=3f(2)+9,所以 f(2)=-9.224(2)f(x)=4ax3+2bx,因为 f(x)为奇函数且 f(1)=2,所以 f(-1)=-2.方法总结：一方面从形式上把握其结构特征,另一方面要充分利用复合关系求导.答案解析20考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练1】1.求下

11、列函数的导数:(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+1;(3)y=cos .e解析(1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2)y= ln + 1 =(ln x)+1=1- 1 . 2(3)y= cos =(cos )e-cos (e)=-sin +cos .(e )2ee解析21考点探究素养达成高考真题目 录2.已知 f(x)=x(2019+ln x),若 f(x0)=2020,则 x0=(B).A.e2B.1C.ln 2D.e解析因为 f(x)=x(2019+ln x),所以 f(x)=2019+ln x+1=2020+ln x,又 f(x

12、0)=2020,所以 2020+ln x0=2020,所以 x0=1.答案解析22考点探究素养达成高考真题目 录23.设函数 f(x)在(0,+)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f(1)=.解析令 t=ex,则 x=ln t(t0),所以函数 f(t)=ln t+t,即 f(x)=ln x+x,所以 f(x)=1+1,于是 f(1)=1+1=2.1答案解析23考点探究素养达成高考真题目 录考点2导数的几何意义考向 1:求曲线的切线方程例 3(1)曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是(C).A.x-3y+3=0C.2x-y+1=0B.x-2y+2=0D.3x-y+1=0

13、(2)已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的方程为 x-y-1=0.解析(1)y=sin x+ex,y=cos x+ex,y|x=0=cos 0+e0=2,曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=2(x-0),即 2x-y+1=0.答案解析24考点探究素养达成高考真题目 录(2)点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上,设切点为(x0,y0).又f(x)=1+ln x,切线斜率为 f(x0)=1+ln x0,直线 l 的方程为 y+1=(1+ln x0)x.= 0 ln 0, 由 0解 得 x

14、 =1,y =0.000 + 1 = (1 + ln 0)0,直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0.25考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：切线方程的求法:(1)已知切点 A(x0,f(x0)求切线方程,可先求该点处的导数值 f(x0),再根据 y-f(x0)=f(x0)(x-x0)求解.1 = (1),(2)若求过点 P(x ,y )的切线方程,可设切点为(x ,y ),由 00110 -1= (1 )(0-1 )求解即可.26考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:求切点坐标例 4(1)曲线 f(x)=x3-x+3 在点 P 处的切线平行于直线 y=2x-1,则点 P 的

15、坐标为(C).A.(1,3)C.(1,3)或(-1,3)B.(-1,3)D.(1,-3)(2)(2019 年江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y=ln x 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是 (e,1).答案解析27考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)f(x)=3x2-1,令 f(x)=2,则 3x2-1=2,解得 x=1 或 x=-1,点 P 的坐标为(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线 y=2x-1 上,故选 C.(2)设 A(x ,ln x ),又 y=1,则曲线 y=l

16、n x 在点 A 处的切线方程为 y-ln x = 1 (x-x ),00000将(-e,-1)代入,得-1-ln x = 1 (-e-x ),化简得 ln x = e ,解得 x =e,则点 A 的坐标是(e,1).000000方法总结：求切点坐标,其思路是先求函数的导数,然后让导数值等于切线的斜率,从而得出切线方程或求出切点坐标.28考点探究素养达成高考真题目 录考向 3:求与切线有关的参数的取值范围例 5(1)已知函数 f(x)=ex-mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=1x 垂2A直的切线,则实数 m 的取值范围是().C.m-1D.m-1A.m2B.m222(2)

17、已知 f(x)=3x2-x+m(xR),g(x)=ln x.若曲线 y=f(x)与 y=g(x)有公共切线,则实数m 的取值范围为 - 4 -ln2, + . 1分析求与切线有关的参数的取值范围,可先求导数,然后转化为函数的值域问题,注意借助“任意”“存在”等量词的含义建立不等式,从而使得问题简便、巧妙获解.答案解析29考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)f(x)=ex-mx+1,f(x)=ex-m,曲线 C 存在与直线 y=1x 垂直的切线,2f(x)=ex-m=-2 成立,m=2+ex2,故选 A.(2)f(x)=6x-1,g(x)=1(x0),若曲线 y=f(x)与 y=g(x)相切

18、且在交点处有公共切线,则 6x -1= 1 (x 0),即 62-x -1=0(x 0),解得 x =1 = - 1 舍 去 ,0000000023即切点的横坐标为1,f11,3-1+m=ln 1,即 m=-1-ln 2.=g 2224 224数形结合可知,当 m-1-ln 2 时,f(x)与 g(x)有公共切线,4故 m 的取值范围是 - 1 -ln2, + .430考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：导数几何意义的综合应用问题的解答关键是对函数进行求导,利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率的取值范围等求解相关问题时常与函数、方程、不等式等知识相结合.31考点探究素养达成高考真题目

19、录考向 4:导数与函数的图象例 6已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的导函数,则g(3)= 0.解析由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于-1,所以 f(3)=-1.3因为 g(x)=xf(x),所以 g(x)=f(x)+xf(x),所以 g(3)=f(3)+3f(3).3- 1又由题图可知 f(3)=1,所以 g(3)=1+3=0. 3方法总结：函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.答案解

20、析32考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练2】1.曲线 f(x)=2x-ex 与 y 轴的交点为 P,则曲线在点 P 处的切线方程为(C).A.x-y+1=0C.x-y-1=0B.x+y+1=0D.x+y-1=0解析曲线 f(x)=2x-ex 与 y 轴的交点为(0,-1).因为 f(x)=2-ex,所以 f(0)=1.所以所求切线方程为 y+1=x,即 x-y-1=0.答案解析33考点探究素养达成高考真题目 录2.已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为(C).C.1D.-1A.eB.-eee= 1 ,y=ln x 的定义域为(0,+),设切点为(x ,y ),则切线斜率

21、k=y|解析00=00所以切线方程为 y-y = 1 (x-x ).000又因为切线过点(0,0),所以将点(0,0)代入切线方程得 y =1,则 x =e,所以 k=1.00e答案解析34考点探究素养达成高考真题目 录23.已知曲线 y=-3ln x 的一条切线的斜率为1,则切点的横坐标为(A).4212A.3B.2C.1D.由题意知,y= -3,令-3=1,解得 x=3(x=-2 舍去),即切点的横坐标为 3.解析2 2 2答案解析35考点探究素养达成高考真题目 录4.已知 f(x)=1x2+sin + ,f(x)为 f(x)的导数,则 f(x)的图象是(A).42解析f(x)=1x2+s

22、in + =1x2+cos x,f(x)=1x-sin x,f(x)是奇函数,其图象4242关于原点对称,故排除 B,D.令 g(x)=f(x),则 g(x)=1-cos x,当-x1,当 x2332 - , 时,g(x)0,故函数 y=f(x)在区间 - , 上单调递减,故排除 C,选 A.3333答案解析36考点探究素养达成高考真题目 录数算分类讨论已知点是否为切点求曲线的切线问题时,要明确所运算的对象(切线)涉及的点是否在曲线上,然后利用求切线方程的方法进行求解.(1)对曲线在某点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标得到切线斜率. (2)对过某点作曲线的切线问题,此时该点未必是切点

23、,故应先设切点,求出切点坐标.例12x-3y-16=0或3x-3y+2=0已知曲线 y=1x3 上一点 P 2, 8 ,则过点 P 的切线方程为 .33答案解析37考点探究素养达成高考真题目 录当 P 点为切点时,由 y= 1 3 =x2,得 y|解析=4,x=23即过点 P 的切线方程的斜率为 4.则所求的切线方程是 y-8=4(x-2),即 12x-3y-16=0.3当 P 点不是切点时,设切点为 Q(x ,y ),则切线方程为 y-1 3=2(x-x ).000003因为切线过点 P 2, 8 ,把 P 点的坐标代入切线方程,3求得 x0=-1 或 x0=2(舍去),所以切点为 Q -1

24、,- 1 ,3即所求切线方程为 3x-3y+2=0.综上所述,过点 P 的切线方程为 12x-3y-16=0 或 3x-3y+2=0.38考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+15x-9 都相切,则 a 等于(A).4A.-1 或-25B.-1 或21644C.-7或-25D.-7或 74644答案解析39考点探究素养达成高考真题目 录解析因为 y=x3,所以 y=3x2.设过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 相切于点(x0,3),0则曲线 y=x3 在该点处的切线斜率 k=32,0所以切线方程为 y-3=32(x-x0),即

25、y=32x-23.0000又点(1,0)在切线上,所以 x =0 或 x =3.002当 x =0 时,切线方程为 y=0.由直线 y=0 与曲线 y=ax2+15x-9 相切,可得 a=-25;0464当 x =3时,切线方程为 y=27x-27,由直线 y=27x-27与曲线 y=ax2+15x-9 相切,可0244444得 a=-1.综上,a 的值为-1 或-25.6440考点探究素养达成高考真题目 录1.(2019 年全国卷)已知曲线 y=aex+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则().DA.a=e,b=-1C.a=e-1,b=1B.a=e,b=1D.a=e-1,b=-1解