传热学-第三章

1、;，今清士计，第三章非稳态导热处；.:J. I云T千，心千一，温晕七 订 J千勹？L ？1一.寸.立心在住沁平 、喟 r - 、习-：-.一、”r、= 二 7r .嘿；、飞哼- “.a.飞 1 遠鱼燮.第三章 非稳态导热13-1 非稳态导热的基本概念1 非稳态导热的定义 .t =f(r,t )2 非稳态导热的分类周期性非稳态导热(定义及特点)瞬态非稳态导热(定义及特点)第三章 非稳态导热2t1着重讨论瞬态非稳态导热t 3t 2t 1t 04t d3 温度分布：t0第三章 非稳态导热34 两个不同的阶段非正规状况阶段(不规则情况阶段)正规状况阶段(正常情况阶段)温度分布主要受初始温度分布控制温度

2、分布主要取决于边界条件及物性导热过程的三个阶段非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态第三章 非稳态导热45 热量变化1板左侧导入的热流量2板右侧导出的热流量第三章 非稳态导热56 学习非稳态导热的目的：(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律t =f(x,y, z,t ) ; =f(t )(2) 非稳态导热的导热微分方程式：rc tt=(lxt ) +x(lyt ) +y (lzt ) + F&z(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换近似分析法： 集总参数法、积分法数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力

3、学模拟第三章 非稳态导热67 毕渥数本章以第三类边界条件为重点。(1) 问题的分析tftddtfhh如图所示，存在两个换热环节：a 流体与物体表面的对流换热环节rh = 1 h0 xb 物体内部的导热(2) 毕渥数的定义：rl = dlttdfBi = rl= dl= dhhrh1 hl第三章 非稳态导热07x(3) Bi数对温度分布的影响Bi = rl= dl= dh无量纲数当 Birh 时，1 h rll rh，因此，可以忽略对流换热热阻当 Bi 0时， rl rh，因此，可以忽略导热热阻？0 Bi 0t = t0t = 0t = t0t 1 0t 2t 2 t 1t t 2 t 1t 1

4、t 2- ddBi - dd0 Bi t）,由能量守恒可知hA(t- t )= -rVc dtdt令：q= t - t 过余温度，则有hAq= -rVc dqdt控制方程q (t= 0)= t0- t= q0初始条件方程式改写为：dq= -qhAdtrVc第三章 非稳态导热12dq=q- hArVc0q积分dt- hA t= erVc t - tt0 - tqq0 hAqdqq0q= - hA rVct dt=q0ln= - rVct其中的指数：hA trcVhV= lAlA2tV 2 rc过余温度比= h(VA) at= Bi Fol(VA)2vvBi=h(VA)Fo= atvFovql是傅

5、立叶数- hA tv(VA)2物体中的温度q= erVc0= e-Biv Fov呈指数分布方程中指数的量纲：Wm2 hA= m2K =w=1rVc kg Jkg m3 Js m3 K第三章 非稳态导热14即与 1t的量纲相同，当 t =rVc hA时，则t hA= 1rVc此时，qq= e-1 =0rVc36.8%上式表明：当传热时间等于时，物体的过hAc余温度已经达到了初始过余温度的36.8。称 rVchA为时间常数，用t表示。第三章 非稳态导热15t= t cq=-1 =eq036.8%qq0Biv Fov应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线第三章 非稳态导热16如果导热体的热容量（

6、rVc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数 ( rVc / hA) 小。对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的（微细热电偶、薄膜热电阻）当t = 4rVcqq时，hA0= 1.83%工程上认为t=4 rVc / hA时导热体已达到热平衡状态第三章 非稳态导热173 瞬态热流量：(t ) =hA(t(t )- t ) =hAq= hAq0e- hA trVcW导热体在时间 0 t 内传给流体的总热量：0tQ= t(t)dt= rVcq0 (1- hA terVc)J当物体被加热时(tt)，计

7、算式相同（为什么？）第三章 非稳态导热184Biv Fov物理意义Bi = hll= ll1 h物体内部导热热阻物体表面对流换热热阻Fo = t=换热时间无量纲l2a边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间热阻Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。无量纲时间第三章 非稳态导热195 集总参数法的应用条件采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%Biv= h(VlA) 0.1M是与物体几何形状有关的无量纲常数对厚为2的无限大平板M= 1V= Ad= dAABiv = Bi对半径为R 的M= 12V= pR2 r= RA2pRr2B= Bi iv2

8、无限长圆柱对半径为R 的M= 134 pR3V=3A4pR2= R 3B= Bi iv3球第三章 非稳态导热203-3 一维非稳态导热的分析解1. 无限大的平板的分析解=consta=consth=const因两边对称，只研究半块平壁第三章 非稳态导热21此半块平板的数学描写：导热微分方程t=t2 ta x2( 0 x 0 )初始条件t = t0t = 0边界条件t = 0xx = 0(对称性)- l tx= h( t- t )x = d第三章 非稳态导热22引入变量过余温度令q(x,t) = t(x,t) - t上式化为：q=t2qa x20 x 0q= q0t= 0q= 0xx = 0-

9、l qx= hqx = d第三章 非稳态导热23用分离变量法可得其分析解为：q (x,t ) =2sin(bnd ) cos(bn x)-b 2atq0n=1bnd+ sin(bnd) cos(nbnd )e此处Bn为离散面(特征值)若令mn= bnd则上式可改写为：nq ( x,t ) = 2 sin mn cos( mnm+ sin mcos mn d 22at-menn=10)xn dq*第三章 非稳态导热24n为下面超越方程的根ctgmn=mnhdlhd为毕渥准则数，用符号 Bi表示l书上P73表3-1给出了部分Bi数下的1值第三章 非稳态导热25q (x,t ) =2sin(bnd

10、) cos(bn x)-b 2atq0n=1bnd + sin(bnd) cos(nebnd )eq (x,t )2sin(bnd ) cos(bn x)-( bd )2 atq= 0n=1bnd + sin(bnd) cos(bnd )nd 2因此 q (x,t )q0是F0, Bi 和 xd函数，即q ( x,t ) =q0f ( F0x,Bi ,d)注意：特征值bn区别 特征数（准则数）第三章 非稳态导热2622. 非稳态导热的正规状况对无限大平板F0 = atd当 F0 0.2取级数的首项，板中心温度，误差小于1%q (x,t ) =2sin m1cos(mx ) e-m 2Fq0m1

11、+ sin m1cos m1 101 dq (0,t )= qm (t ) =2sin m1e-m 2 Fq0q0m1 +sin m110cos m1第三章 非稳态导热27q (x,t ) =2sin m1cos(mx ) e-m 2Fq0m1+ sin m1cos m1 101 dq (0,t )= qm (t ) =2sin m1e-m 2Fq0q (x,t )q0= cos(m10m1 + sin m1 cos m1x )1qm (t )d与时间无关第三章 非稳态导热28考察热量的传递Q0=rcV (t0- t )Q0-非稳态导热所能传递的最大热量若令Q为 0,t 内所传递热量Q= rc

12、V t0- t(x,t )dV= 1- qQ0rcV (t0 - t )q0q-时刻z的平均过余温度q= 1qdv = q2 sin m1-( - m 2 F) sin m111v v0sin mcos m1 e10m1m+第三章 非稳态导热29对无限大平板，长圆柱体及球：qq及可用一通式表达q0qq= Aexp( -m 2 F) f ( my )1010q= qAexp( -m 2 F)B010i此处无限大平板y = x dBi= hd lF0= az d 2长圆柱体及球y = x RBi= hR lF0= az R2此处的A，B及函数f(m y见)P74表3-21第三章 非稳态导热303

13、正规热状况的实用计算方法拟合公式法对上述公式中的A，B，1，J0 可用下式拟合m=(a+12b)-1BiA = aB =a+ b( 1 -+ cBie-cBi )1 + bBiJ0 (x ) =a+bx+ c x2+ d x3式中常数a ,b ,c ,d 见P75表3-3a,b,c,d见P75表3-4第三章 非稳态导热313正规热状况的实用计算方法线算图法诺谟图以无限大平板为例，F00.2 时，取其级数首项即可q (x,t ) = q2sin m10e-m 2Fcos(mx) ) =xm1 + sin m110cos m11 df(Fo, Bi,d )三个变量，因此，需要分开来画(1) 先画q

14、 m=q0f (Fo, Bi)第三章 非稳态导热32(2) 再根据公式(3-23)绘制其线算图q (x,t )= cos(mx ) =xqm (t )1 df(Bi,d )(3) 于是，平板中任一点的温度为q=qq0qmqmq0同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用（324）和（325）绘制出。解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第 三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却 过程，并且F00.2第三章 非稳态导热333-4 二维及三维问题的求解考察一无限长方柱体(其截面为2d1 2d2的长方形)Q = t(x, y,t ) - t f= qt ft0 - t fq0Q =t2

15、Qa( x2 +2Qy2 )2d1t = 0Q = 1Q(x, y,t )2d2x = d1y = d2hQ(d1 , y,t ) = -lhQ(x,d2 ,t ) = -lQ(x, y,t )xQ(x, y,t )yQ(x, y,t )x = 0xx=0 = 0y = 0yy=0 = 0第三章 非稳态导热34利用以下两组方程便可证明Q(x, y,t ) = Q(x,t ) Q( y,t )Q =t2Qa xx2Q = at2Q yy2t = 0x = 0Qx (x,0) = 1Q(x,t )= 0t = 0及y = 0Q y ( y,0) = 1Q( y,t )= 0xx=0yy=0x =

16、d2- l Q(x,t )x= hQ(d ,t )y = d2- l Q( y,t )y= hQ(d2,t )其中Q= t(x,t ) - t f其中Q= t( y,t ) - t ft0ft0fx- ty- t即证明了Q(x,t ) Q( y,t )是无限长方柱体导热微分方程的解，这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函 数求解二维导热问题第三章 非稳态导热35Q(x, y,t )= Q(x,t )P1Q( y,t )P 2Q(x, y, z,t )= Q(x,t )P1Q( y,t )P 2 Q(z,t )P3Rq ( v,t )q 02221q ( x,t )q02l23Q(x, y

17、,t )= Q(x,t )P Q( y,t )c第三章 非稳态导热36限制条件：（1） 一侧绝热，另一侧三类（2） 两侧均为一类（3） 初始温度分布必须为常数第三章 非稳态导热373-5 半无限大的物体ttwt0x半无限大物体的概念t=t2t a x2t = twt = t0x = 0t= 0引入过余温度问题的解为q = t- tw误差函数无量纲变量q= 2 x e- y2x q0p4 at0dy =erf (4at)第三章 非稳态导热38误差函数：erf(x) =2xe-v2 dvx erf (x) 1无量纲p0x有限大小时，erf(x) 1坐标令 h = x4atq=q0erf(h )说明

18、：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 h 有关(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的 时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。？(3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。第三章 非稳态导热39令 y = x若 y = 24aterf ( 2 ) = 0.9953即 qq0 = 0.9953可认为该处温度没有变化erf ( y )y =x4at第三章 非稳态导热40两个重要参数:几何位置若y 2x 4at对一原为2的平板，若d 4at即可作为半无限大物体来处理时间x2若y 22 16a对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段， 那在惰性时间以内第三章 非稳态导热41即任一点的热流通量：qlqx = -x= -lq01p ate- x24at令 x = 0即得边界面上的热流通量qw0,t内累计传热量= -lq0p at0wq = t qdz= -2tprclq0吸热系数第三章 非稳态导热42思考题：非稳态导热的分类及各类型的特点。 Bi 准则数, Fo准则数的定义及物理意义。Bi0 和Bi 各代表什么样的换热条件