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1、第八章 离散控制系统,8.1 离散系统及基本概念 8.2 采样过程和采样定理 8.3 信号恢复 8.4 Z变换 8.5 离散系统的数学模型 8.6 离散系统的时域分析 8.7 离散系统的数字校正,自动控制系统的分类:,1. 按照给定信号（输入量）分类,2. 按照系统的数学描述分类,4. 按照信号传递的连续性分类,3. 按照系统输入与输出信号 的数量分类,8.1 离散系统及基本概念,控制系统中的信号：,连续信号：在时间上和幅值上都连续的信号； 是时间变量的连续函数，在全部时间上都是已知的。,离散信号：只在离散时间上定义的信号，不是时间的连续函数。,脉冲序列：在时间上离散而在幅值上连续的信号，或称

2、离散模拟 信号。 特点：幅值是任意可取的，代表了脉冲的强度。,数字序列(数码)：在时间上和幅值上都离散的信号，或称离散数 字信号。 特点：幅值是采用整量化表示的(即量化单位的整数倍)。,离散信号：,8.1 离散系统及基本概念,采样控制系统或脉冲控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形 式。,数字控制系统或计算机控制系统：系统中的离散信号是数字序列 形式。,离散控制系统：,控制系统：,连续控制系统：控制系统中的所有信号都是连续信号。,离散控制系统：控制系统中有一处或几处的信号是离散信号。,8.1 离散系统及基本概念,工业炉炉温的连续控制系统：,放大器与 执行电动机,炉子,燃料供应 调节阀,炉温,炉

3、温 设定值,误差,转速,开度,8.1 离散系统及基本概念,工业炉炉温的采样控制系统：,8.1 离散系统及基本概念,工业炉炉温的计算机控制系统：,8.1 离散系统及基本概念,在经典控制理论中，主要的研究对象有： 单变量线性定常连续系统（概要复习） 非线性系统 单变量线性定常离散系统（研究内容）,8.1 离散系统及基本概念,采样控制系统：,1. 采样：,按照一定的时间间隔对连续信号进行取值，将连续信号转变为脉冲序列（或数码）的过程称为采样过程，简称采样。,2. 采样开关：,实现采样的装置称为采样开关或采样器。通常用 表示。,采样控制系统的典型结构图,脉冲 控制器,8.1 离散系统及基本概念,3.

4、采样开关的工作原理：,对于连续信号e(t)， 采样开关闭合时，e(t)通过，开关输出端信号为e(t)； 采样开关开启时，开关输出端信号为0。,采样开关以一定的时间间隔开启或闭合时，输出为脉冲序列, 是连续信号在某些时段上的信息。,8.1 离散系统及基本概念,脉冲 控制器,4. 采样方式：,(1) 周期采样：采样开关等时间间隔开闭。,(2) 随机采样：采样开关开闭的时间间隔是随机的。,(3) 同步采样：多个采样开关等周期同时开闭。,(4) 非同步采样：多个采样开关等周期但不同时开闭。,(5) 多速采样：各采样开关以不同的周期开闭。,8.1 离散系统及基本概念,脉冲 控制器,5. 周期采样：,采样

5、周期：采样的相等时间间隔，用 表示，单位为(s)。,采样频率： ，单位为（1/s）。,采样角频率： ，单位为（rad/s）。,采样时刻：采样瞬时 。,采样持续时间：采样器闭合时间，用 表示。,为简化系统的分析，可以认为 趋于零，采样器的输出可以近似地看作理想脉冲。,8.1 离散系统及基本概念,脉冲 控制器,6. 信号恢复：,把脉冲序列转变为连续信号的过程称为 信号复现过程。,7. 保持器：,实现信号复现过程的装置称为保持器。,零阶保持器,8.1 离散系统及基本概念,脉冲 控制器,数字控制系统：,数字控制系统的典型结构图,计算机作为系统的控制器，其输入输出只能是二进制编码的数字信号，而系统中的被

6、控对象和测量元件的输入输出是连续信号，所以在需要应用A/D和D/A转换器，以实现两种信号的转换。,8.1 离散系统及基本概念,1. A/D转换器,把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的 数字信号（二进制的整数）。,A/D转换的两个过程：,（1）采样过程：即每隔T秒对连续信号进行一次采样，得到采 样后的脉冲序列。,（2）量化过程：脉冲序列经过量化后变成数字信号，也称为 编码过程。,一般要求A/D转换器具有足够的字长 （8 bit、10 bit、12 bit、14bit），要求 量化单位 q 足够小。这样由量化引起的幅 值的断续性可以忽略不记。 同时，若认为采样编码的时间可以忽略，这时

7、数字信号可以看成脉冲信号 。 A/D转换器可以认为采样周期为 T 的理想采样开关。,作用：,8.1 离散系统及基本概念,2. D/A转换器,把离散的数字信号转换成连续模拟信号。,D/A转换的两个过程：,（1）解码过程：把离散数字信号（即数码）转换为离散的 模拟信号（即脉冲序列）的过程。,（2）复现过程：经过保持器将离散的模拟信号（即脉冲序列）复 现为连续的模拟信号（即连续信号）。,经过转换后的信号只是一个阶梯信号，但是，当采样频率足够高时，将趋近于连续信号。,作用：,D/A转换器可以用保持器取代。,8.1 离散系统及基本概念,可见，采样控制系统和数字控制系统只是在连续信 号和离散信号的相互转换

8、方式上各有不同 ，二者都可以用 下面的方框图表示。,数字 控制器,采样控制系统和数字控制系统的分析和设计的理论是一 致的。 通常，将采样控制系统、数字控制系统视为离散系统的 同义语。,8.1 离散系统及基本概念,离散控制系统的特点：,1. 控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律。,2. 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备利用， 经济性好。,3. 离散信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高系统的抗干扰 能力。,5. 便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。,4. 在自适应控制系统中，计算机控制的引入便于实现自适应控制。,8.1 离散系统及基本概念,（2）用离散系统的状态空

9、间分析法（一阶差分方程组）对系统进 行分析、设计。,离散控制系统的研究方法：,（1）用Z变换法建立离散系统的数学模型，之后进行分析、综合， 具体包括：稳定性分析、稳态误差计算、时间响应及系统校 正。 连续系统的许多方法经过适当改变后可以直接应用于离 散系统。注意：比较学习。,8.1 离散系统及基本概念,8.2 采样过程和采样定理,理想采样过程：,采样开关的闭合时间 非常小，一般远小于采样周期 T 和 系统连续部分的最大时间常数。因此，可以认为 。 这样，脉冲信号转化为理想脉冲信号，采样器就可以用一 个理想采样器来代替，采样过程为理想采样过程。,数字 控制器,理想采样过程可以看成是一个幅值调制过

10、程。 理想采样器可以看成是一个幅值调制器。,理想采样信号表示为：,单边性假设： t 0，e (t) = 0。,8.2 采样过程和采样定理,单位理想脉冲序列,采样信号的拉氏变换：,e*(t) 的拉氏变换式 E*(s)不是s的有理多项式，而是s的超越函数。 E*(s) 还可写成,其中e(0T)，e(T)，e(kT)， 为连续信号在各采样时刻的值。,8.2 采样过程和采样定理,例：已知 e (t)=1 (t) , 求E*(s)。 解：因为e (kT)=1 ( k=0,1,2,),E(s)是s的有理多项式，E*(s) 是s的超越函数，二者不相等。,8.2 采样过程和采样定理,单位理想脉冲序列,可以展开

11、成复数形式的傅里叶级数,式中， 是采样角频率。系数,于是,代入,有,取拉氏变换,8.2 采样过程和采样定理,采样信号的频谱：,？,对于一个周期函数 eT (t) ，可以展开为傅里叶级数，它有两种 表现形式：,1. 三角函数形式,2. 指数形式,其中， 为基波频率； 为复振幅。,称为函数eT (t)的频谱，反映各次谐波的振幅随频率变化 的情况 。,对于一个非周期函数 e(t) ，只要满足傅里叶积分条件，可以 展开为各种谐波成分累积的形式：,其中， E(jw)为各种频率成分谐波的复振幅,称为函数 e(t) 的频谱，反映各次谐波的振幅随频率变 化的情况。,如果 E*(s) 没有右半s平面的极点，则可

12、令 s= j ，得到采样信号 e*(t) 的傅里叶变换,上式表示了采样信号e*(t)的拉氏变换式 E*(s) 与连续信号e(t)拉氏变换式E(s) 之间的关系。,上式即为采样信号e*(t)的频谱函数。 它也反映了采样信号频谱和连续信号频谱之间的关系。,8.2 采样过程和采样定理,采样信号e*(t)的拉氏变换E*(s)有两种形式的 ，有不同的作用。,？,设连续信号 e(t) 的频谱 是孤立的连续频谱，其中 max 是 该连续频谱中的最高角频率；而离散信号e*(t)的频谱 则是以 s 为周期的无穷多个频谱之和，如图所示。,在离散信号的频谱中，k=0的部分 T称为主频谱。它对应于连 续信号的频谱。除

13、了主频谱外， 还包含无限多个附加的高频频谱。,8.2 采样过程和采样定理,？,由图可见，如果,s 2max,相邻两频谱互不重迭，这样就可以用如图所示特性的理想滤波器， 滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱，在滤波器的输出端 不失真地复现原连续信号(幅值相差lT倍)。 如果s 2max ，则会出现相邻频谱的重叠现象，这时，即 使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来，因而就难以准确复现 原有的连续信号。,理想滤波器的频率特性,8.2 采样过程和采样定理,如果被采样的连续信号 e(t) 的频谱具有有限带宽，且频谱的最 高角频率为max，则只有采样角频率s满足条件 s 2 max ax 采样后的离散信

14、号e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。 香浓采样定理是设计采样系统的一条重要依据。,香农(Shannon)采样定理：,8.2 采样过程和采样定理,根据采样定理，在满足s 2 max的条件下，采样信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。,8.3 信号恢复,信号恢复是指由离散信号u*(t)恢复成连续信号uh(t) ，为了讨论方便，可认为是由采样信号e*(t)恢复成原连续信号e(t) 。,数字 控制器,保持器是一种时域的外推装置，即根据过去或现在的采样值进行外推。,8.3 信号恢复,通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律

15、的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。,但是，上述的理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的低通滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。,零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把采样时刻 kT 的采样值 e(kT) 不变地保持到下一采样时刻 (k+1)T。,8.3 信号恢复,1. 工作原理,零阶保持器,8.3 信号恢复,由图可见，零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢 复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各 中点连接起来，可以得到比连续信号退后T2的曲线。这

16、反映了 零阶保持器的相位滞后特性。,2. 零阶保持器输出的表达式,8.3 信号恢复,3. 零阶保持器的传递函数,（1）根据传递函数的定义,（2）根据单位脉冲响应 gh(t),8.3 信号恢复,4. 零阶保持器的频率特性,？,零阶保持器具有如下特性：,低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比，在 =s/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过,从而造成离散控制系统的输出中存在纹波。,8.3 信号恢复,8.3 信号恢复,时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信

17、号eh(t) 其平均响应为et(T/2),表明输出比输入在时间上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间为T/2的延迟环节，对系统稳定不利。,相角特性：由相频特性可见，零 阶保持器要产生相角迟后，且随 的增大而加大，在 =s/2 时， 相角迟后可达180o，从而使闭 环系统的稳定性变差。,8.3 信号恢复,一阶保持器,一阶保持器是种按线性规律外推的保持器，其外推关系为,由于未引进高阶差分，一阶保持器的输出信号与原连续信号之间仍有差别。一阶保持器的单位脉冲响应可以分解为阶跃函数和斜坡函数之和。,一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式可用下式表示，,一阶保持器的频率特性绘于图8-12。图中的虚线表

18、示零阶保持器的频率特性。,8.3 信号恢复,一阶保持器的频率特性,8.3 信号恢复,线性连续系统用线性微分方程来描述，可以应用拉氏变换的方法得到传递函数，来分析其动态及稳态过程。 线性采样系统中包含离散信号，用差分方程来描 述，同样可以应用一种z变换的方法来进行分析。 z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形。,8.4 Z变换,上式中各项均含有e-kTs因子，为便于计算定义一个新变量， 其中T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量，则,8.4 Z变换,Z变换的定义,采样信号的数学表达式,采样信号的拉氏变换,记作：,称为采样信号e*(t) 的z变换,应该指出，此式所表示的z变换只适用于离散函数，

19、或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。人们习惯上称 E(z)是 e(t) 的z变换,指的是经过采样后 e*(t) 的z变换。采样函数 e*(t) 所对应的z变换是唯一的，反之亦然。但是，一个离散函数 e*(t) 所对应的连续函数却不是唯一的，而是有无穷多个。从这个意义上来说，连续时间函数x (t)与相应的离散时间函数x*(t)具有相同的z变换，即,8.4 Z变换,8.4 Z变换,求离散函数的方法有很多，下面介绍其中两种。,1. 级数求和法,根据z变换的定义有：,Z变换方法,只要已知连续函数在采样时刻kT(k=0,1,2,3,4,.)的采样值便可求取离散函数z

20、变换的级数展开式。对常用离散函数的z变换应写成级数的闭合形式。,例8-3：试求函数 e(t)=1(t) 的z变换。,e(kt) =1 (k=0,1,2,3.),8.4 Z变换,解:,例8-4：试求函数 e(t)=e-at 的z变换。,8.4 Z变换,解：,例8-5：试求函数 e(t)=at/T 的z变换。,8.4 Z变换,解：,综上分析可见，通过级数求和法求取已知函数Z变换的缺 点在于：需要将无穷级数写成闭式。这在某些情况下要求很高的 技巧。但函数Z变换的无穷级数形式却具有鲜明的物理含义，这 又是Z变换无穷级数表达形式的优点。Z变换本身便包含着时间概 念，可由函数Z变换的无级数形式清楚地看出原

21、连续函数采样脉冲序列的分布情况。,8.4 Z变换,设连续函数 e(t) 的拉氏变换式 E(s)为有理函数，可以展开成部分 分式的形式，即,式中 pi 为E(s)的极点，Ai为常系数。,对应的时间函数为 ，其采样序列的Z变换为,8.4 Z变换,2. 部分分式法,因此，,e*(t) 的Z变换为：,利用部分分式法求Z变换时，先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 E(s)，然后将有理分式函数 E(s)展成部分分式之和的形式，最后查表求出每一项相应的Z变换。,8.4 Z变换,例8-7 ：求 的Z变换 。,8.4 Z变换,例8-8：求 e(t)=sint的Z变换。,解：,对应,8.4 Z变换,查z变换

22、表有：,于是有：,则,Z 变换的性质,8.4 Z变换,1. 线性定理,若,a为常数，则,若,Z变换是一种线性变换。,若,实数位移，是指整个采样序列在时间轴上左右平 移若干个采样周期，其中 向左平移为超前，向右平移为延迟。,则有,及,8.4 Z变换,2. 实数位移定理（平移定理）,z-n代表延迟环节， 将采样序列延迟 n个采样周期。,若e(0)=e(T)=e(2T)=e(n-1)T=0，,zn代表超前环节， 将采样序列超前 n个采样周期。实 际不存在。,例 8-10 求e(t)=1(t-nT)的z变换。,例 8-11 求e(t)=1(t+T)的z变换。,8.4 Z变换,若 ，则有：,定理的含义是

23、：离散函数e*(t)乘以指数序列eakT的 Z变换，等于在e*(t)的Z变换表达式E(z)中，以 取代原算子z。,8.4 Z变换,3. 复数位移定理,例8-12：试用复数位移定理计算函数te-at的Z变换。,解：令e(t)=t，查表知,根据复数位移定理，有,8.4 Z变换,若Ze(t)=E(z) ，且当t0时， e(t)0 则,若Ze(t)=E(z) ，且(z1)E(z)的全部极点位于Z 平面的单位圆内，则,8.4 Z变换,4. 初值定理,5. 终值定理,例8-14：设Z变换函数为 试用终值定理确定e(kT)的终值。,解：由终值定理得,8.4 Z变换,若 则有：,8.4 Z变换,6. 卷积定理

24、,设 r(kT)和 g(kT)是两个离散函数，则卷积为,式中，当nk时，r (k-n)T=0,证明：根据Z变换的定义,令k-n=m代入上式，得,考虑到m0时，r(mT)=0，故,8.4 Z变换,8.4 Z变换,例8-15,已知 ，求E(z)的原函数e(t)。,8.4 Z变换,Z反变换，是已知Z变换表达式 E(z)，求相应的 离散序列 e(kT) 的过程，记作,离散序列仍是单边的，即当k0时，e(kT)=0。,Z 反变换,8.4 Z变换,1）综合除法或幂级数法,其中ai ，bj均为常系数。通过对上式直接作综合除法，得到按 z-1升幂排列的幂级数展开式。,如果得到的无穷级数是收敛的，则按Z变换定义

25、可知 上式中的系数 ck （k=0，1，）就是采样脉冲序列 e*(t)的脉冲强度e(kT）。因此，可直接写出 e*(t) 的 脉冲序列表达式,求解时应注意： 在进行综合除法之前，必须先将E(z)的分子，分母多项式按z的降幂形式排列。,实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。因此用这种方法计算e*(t)最简便，这是这一方法优点之一。,要从一组 e(kT) 值中求出通项表达式，一般是比较困难的。,8.4 Z变换,例8-16：已知 ，试用幂级数法求E(z)的z反变换。,解：,所以,8.4 Z变换,用综合除法得到,2 ) 部分分式展开法,在z变换表中，所有z变换函数E(z)在其分子上都普遍含有因子z

26、，所以应将E(z) /z展开为部分分式，然后将所得结果每一项都乘以z，即得E(z)的部分分式展开式。,8.4 Z变换,将z变换函数E(z)展开成部分分式之和，然后查z变换表，求相应的e*(t) 。,8.4 Z变换,设z变换函数E(z)只有n个单极点z1，z2，zn，将 E(z)/z 展开成部分分式,其中，Ai是E(z)/z 在极点zi处的留数。,E(z)的部分分式之和为,然后逐项查Z变换表，得到,E(z) 对应的采样函数e*(t)为,8.4 Z变换,例8-17 已知 ，试用部分分式法求z反变换。,例 8-18 设 , 试求e(kT)。,解：,8.4 Z变换,查z变换表得,3）反演积分法或留数法

27、,E(z)的幂级数展开式为,8.4 Z变换,用zk-1乘以上式两端，得到,设为z平面上包围E(z)zk-1 全部极点的封闭曲线，沿反时针方向对上式两端同时积分，可得,8.4 Z变换,设为z平面上以原点为圆心的圆周，,令 ，则,所以,8.4 Z变换,根据柯西留数定理，设函数E(z)zn-1除有限个极点z1, z2,zk 外，在域G上是解析的。如果有闭合路径 包围了这些极点，则有,式中 表示F(z)zk-1在极点zi 处的留数。,即,若zi为单极点，则,若zi为n阶重极点，则,8.4 Z变换,提示：一个极点只对应一个留数。,例 8-19：设z变换函数 ，试用留数法求其z反变换。,8.4 Z变换,例

28、 8-20：设z变换函数 ，试用留数法求其z反变换。,8.4 Z变换,8.5 离散系统的数学模型,SISO线性定常离散系统的数学模型有： 时域：差分方程 复域：脉冲传递函数 离散状态空间表达式。,SISO线性定常连续系统的数学模型有： 时域：微分方程,复域：传递函数 频域：频率特性，状态空间表达式。,8.5.1 差分方程,差分：对于采样信号来讲，指两相邻采样脉冲之 间的差值。,8.5 离散系统的数学模型,设采样序列为 e(kT)，通常为了方便，都省掉T 而直接写成 e(k)。,一阶前向差分的定义为：,二阶前向差分的定义为：,n 阶前向差分的定义为：,8.5 离散系统的数学模型,e(k) 的 n

29、 阶前向差分ne(k)的展开式，是 kT 时刻 以及将来的 n 个时刻，即 (k+1)T, (k+2)T, (k+n)T 时 刻的采样值 e(k), e(k+1), e(k+2), e(k+n) 的线性组合。,一阶后向差分的定义为：,二阶后向差分的定义为：,8.5 离散系统的数学模型,n 阶后向差分的定义为：,8.5 离散系统的数学模型,e(k) 的 n 阶后向差分 ne(k), 展开式，是 kT 时刻 以及过去的 n 个时刻，即 (k-1)T, (k-2)T, (k-n)T 时 刻的采样值 e(k), e(k-1), e(k-2), e(k-n) 的线性组合。,8.5 离散系统的数学模型,如

30、果方程的变量除了含有 e(k) 本身外，还有e(k) 的各阶差分，即 e(k), 2e(k) ,ne(k) ， （或 e(k), 2e(k) , ne(k) ）， 则此方程称为n阶前向（或后向）差分方程。,由于 e(k) 的n 阶差分可以展开成前向或后向的n 个采样值的线性组合，所以n 阶差分方程是包含e(k) 以及前向或后向的n个采样值的过程。,n阶单输入单输出线性定常离散系统的差分方程,式中 ai(i=1,2,n) 和 bj(j=0,1,2,m)为常数，mn。,n阶后向差分方程:,kT 时刻的输出c(k)，不但与kT时刻的输入r(k)有 关，而且与kT时刻之前的输入r(k-1),r(k-2

31、), r(k-m) 有关，还与kT时刻之前的输出c(k-1),c(k-2), c(k-n) 有关。,8.5 离散系统的数学模型,n阶单输入单输出线性定常离散系统的差分方程,式中 ai(i=1,2,n) 和 bj(j=0,1,2,m)为常数，mn。,n阶前向差分方程:,8.5 离散系统的数学模型,差分方程的解法：,1. 迭代法 2. Z变换法 3. 经典法,8.5 离散系统的数学模型,1. 迭代法,由上述差分方程，不论是前向还是后向差分方程，当给定输入序列，并且给定输出序列的 n 个初值，则可以利用递推关系一步一步地算出输出序列。,8.5 离散系统的数学模型,例8-22 已知后向差分方程为,其中

32、，r(k)=1(k)=1,(k0)；初始条件为c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,8.5 离散系统的数学模型,解：根据差分方程可得递推关系式为,再根据初始条件，并令k=2,3,有, ,例8-23 将例2-22的后向差分方程转换为前向差分方程。 然后用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,8.5 离散系统的数学模型,解：后向差分方程可转换为前向差分方程,根据初始条件，并令k =0,1,有, ,递推关系式为,初始条件为,c(0)=6,c(1)=25。,？,c(0)=6,c(1)=25。,差分方程的全解取决于初值条件和输入r(k)，一般 n 阶系统要有n 个

33、初始值作为解的计算条件。 递推求解是从n 个初值以后第（n+1 ）个采样时刻开始进行的。,8.5 离散系统的数学模型,这种方法适合编程上机运算。,可见，,2. Z变换法,Z 变换法求差分方程的一般步骤： （1）利用Z变换的实数位移定理对差分方程两边进行Z变换，代入相应的初始条件，化成复变量z的代数方程； （2）求出代数方程的解C(z)； （3）通过查Z变换表，对C(z)求Z反变换，得出解c(kT) 或c*(t)。,Z-1,8.5 离散系统的数学模型,例8-25 已知二阶离散系统的差分方程为,输入信号为r(k)=1(k)=1,(k0)；初始条件为c(0)=6,c(1)=25，试用Z变换法求响应c

34、(k)。,8.5 离散系统的数学模型,解1）对方程两端取z变换,例8-25 已知二阶离散系统的差分方程为,输入信号为r(k)=1(k)=1,(k0) ，试用Z变换法求响应c(k)。,8.5 离散系统的数学模型,8.5 离散系统的数学模型,3. 经典法,线性差分方程的解包含两部分： 对应齐次差分方程的通解c0(k)； 对应非齐次差分方程的特解cT(k)。,对于n阶前向差分方程，,相应的齐次方程为,即,设通解具有 Azk 的形式，且Azk 0，代入齐次方程中应有,即,由于 Azk 0，则 z 必须满足,此式称为差分方程的特征方程。,8.5 离散系统的数学模型,如果特征方程具有n个互异的单根 zi

35、(i=1,2,n) ，则每个 Azik 都是齐次差分方程的解，故它们的线性组合即为齐次通解：,其中待定系数个Ai取决于方程的 n 个初始条件。,如果特征方程的根有重，例如有r重根z1，其余 zi (i=r+1,n)为单根，则齐次差分方程的通解具有如下形式：,其中待定系数个 Ai 取决于方程的 n 个初始条件。,8.5 离散系统的数学模型,对于非齐次方程的特解，要根据右端具体输入函数的形式，用试探法求得。,例8-21 已知离散系统的差分方程为,初始条件为 c(0)=6,c(1)=25， 输入信号为 r(k)=1(k)=1,(k0)； 试用经典法求响应c(k)。,8.5 离散系统的数学模型,解：特

36、征方程为：,特征根为：,则齐次方程的通解为：,设非齐次方程的一个特解也为恒值， 即cT(k)=K，代入方程有：,解得：,则非齐次通解为：,将初始条件代入上式得：,解得：,则非齐次的全解为：,8.5 离散系统的数学模型,差分方程解的结构与微分方程相似，齐次通解表示了系统的自由运动模态，各自由分量的敛散性取决于特征方程的根，是系统的固有属性。,由此得出： 离散系统稳定的充要条件是差分方程特征方程的 根的模都小于1。,8.5 离散系统的数学模型,当特征方程所有根的模都小于1，即 则齐次方程解的每一项 Aizik 都会随着k的增大而减小，最终趋于零。此时，称该差分方程描述的系统是稳定的。 只要有一个根

37、的模不小于1，那么齐次方程的解就会随着k的增大而发散。此时，称该差分方程描述的系统是不稳定的。,8.5 离散系统的数学模型,差分方程的建立：,1. 由微分方程求差分方程,设连续函数 c(t)，取时间间隔 T 为足够小，则有,即时间t可以用离散量 kT 代替； 连续函数可以用序列代替； 微分方程中的导数可以用差分项代替； 积分项可以用级数求和代替， 从而微分方程可以变为差分方程。,8.5 离散系统的数学模型,例8-26 已知一阶微分方程为,试求离散化差分方程。,8.5 离散系统的数学模型,例8-27 已知控制系统中常用的比例积分（PI）控制器所对应的微分方程为,试求离散化差分方程。,8.5 离散

38、系统的数学模型,2. 由传递函数求差分方程,连续部分 G(s) 的单位脉冲响应常记为 g(t),若任意 kT 时刻 给 G(s)加入一单脉冲 r(kT)(t-kT)，则 输出响应为,若给 G(s)加入一系列脉冲 则系统的响应为,8.5 离散系统的数学模型,则在各段时间的输出响应 c(t) 为,在采样时刻 t=kT，,利用此式可写出各采样时刻的输出，根据差分的定义推出系统的差分方程。,8.5 离散系统的数学模型,由传递函数求差分方程的一般步骤为： （1）写出连续部分的传递函数G(s) ； （2）求出相应的单位脉冲响应 ； （3）由卷积公式写出输出序列函数c(kT) ; （4）根据系统的阶次，按差

39、分的定义用c(kT) 导出 差分方程。,8.5 离散系统的数学模型,例8-28 已知系统连续部分的传递函数为,试求系统的差分方程。,解：系统的单位脉冲响应为,由卷积公式，采样时刻 kT 的输出为,联立两式消去和式得,8.5 离散系统的数学模型,8.5.2 脉冲传递函数,定义： 对于线性定常离散系统，在零初始条件下，系 统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之 比，称为该系统的脉冲传递函数，或z传递函数。,8.5 离散系统的数学模型,说明：,零初始条件,8.5 离散系统的数学模型,说明：,脉冲传递函数与差分方程一样，描述系统离散信号之间的关系。但大多数实际采样系统的输出信号是连续信号，而不

40、是离散信号，如图所示。 在这种情况下，可以在输出端虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工 作。虚设的采样开关是不存在的。 如果已知系统的脉冲传递函数G(z)，以及输入采样信号的 Z 变换 R(z)，那么在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号就可以求得：,8.5 离散系统的数学模型,如果在G(s)上加一系列脉冲， r(kT)(k=0，1，2，),可得出输出在各个采样时刻的值 c(kT)(k=0，1，2，),系统的输出函数序列等于输入函数序列与脉冲响应函数序列的卷积。,根据卷积定理有：,所以有：,意义：,脉冲传函为连续系统的脉冲响应的Z变换。,脉冲传递函数和连续系统

41、的传递函数一样表征了 离散系统的固有特性。,8.5 离散系统的数学模型,脉冲传递函数的求法：,1. 由差分方程求脉冲传递函数,一般步骤： （1）令初始条件为零，对方程两端进行z变换，化为代 数方程。 在前向差分方程中，初始条件包括 输出的前n项初值 c(n-1),c(n-2),c(0) 及输入的前m项初值r(m-1),r(n-2),r(0)。 在后向差分方程中，初始条件包括 输出的前n项初值 c(-1),c(-2),c(-n) 及输入的前m项初值r(-1),r(-2),r(-m)。 （2）根据脉冲传递函数的定义求出,8.5 离散系统的数学模型,例8- 已知离散系统的差分方程为,试求脉冲传递函数

42、。,解：令c(0)=c(1)=0,r(0)= r(1)=0，利用实数位移定理， 对方程两端取z变换，则有,所以脉冲传递函数为,8.5 离散系统的数学模型,例8- 已知离散系统的差分方程为,试求脉冲传递函数。,所以脉冲传递函数为,解：令c(-1)=c(-2)=0，利用实数位移定理，对方程两 端取z变换，则有,8.5 离散系统的数学模型,2. 由连续部分的传递函数求脉冲传递函数,根据拉氏变换与z变换对照表，可以直接从G(s) 得到G(z)。 如果G(s)为阶次较高的有理分式函数，在z变换表 中找不到相应的G(z)，需将G(s)先进行部分分式展开。,由连续系统传递函数的意义，有,由离散系统传递函数的

43、意义，有,于是有,求z变换有,8.5 离散系统的数学模型,例3-31 已知系统结构图如图所示，其中连续部分传 递函数为,试求脉冲传递函数。,解：将G(s)展开成部分分式,查z变换表得,8.5 离散系统的数学模型,例3-32 已知系统结构图如图所示，其中连续部分传 递函数为,试求1）脉冲传递函数；（2）差分方程。,解1）令=nT，查表得,（2）按定义,则,可见，脉冲传递函数z-n，其物理意义表示离散系统中的一个延迟环节。,8.5 离散系统的数学模型,1. 串联环节的脉冲传递函数,1） 串联环节之间有采样开关,等效的脉冲传递函数为,结论： 两个串联环节之间有采样开关时，其等效的脉 冲传递函数等于两

44、个环节各自脉冲传递函数之乘积。 这一结论可推广到n个环节相串联的情况。,8.5 离散系统的数学模型,例8-33 已知开环采样系统如图所示，试求开环脉冲传递函数。,8.5 离散系统的数学模型,1. 串联环节的脉冲传递函数,2） 串联环节之间没有采样开关,等效的脉冲传递函数为,结论： 两个串联环节之间没有采样开关时，其等效的脉 冲传递函数等于两个环节传递函数乘积的z变换。 这一结论可推广到n个环节相串联的情况。,8.5 离散系统的数学模型,输出连续信号c(t)的拉氏变换为,对应采样信号c*(t)的拉氏变换为,求证：,即R*(s)具有周期性,即,8.5 离散系统的数学模型,记,于是有,根据脉冲传递函

45、数定义，有,令其中,有,得证。,8.5 离散系统的数学模型,8.5 离散系统的数学模型,例8-34 已知开环采样系统如图所示，试求开环脉冲传递函数。,对比,可见,可见，开环系统中，采样开关的引入不影响系统的极点即运动模态。,3）零阶保持器与环节串联,即,8.5 离散系统的数学模型,例8-35 已知有零阶保持器的开环采样系统如图所示， 其中 试求开环脉冲传递函数。,对比,可见，开环系统中，采样开关与零阶保持器的引入不影响系统的极点即运动模态。,8.5 离散系统的数学模型,4）连续信号进入连续环节时的情况,说明： 由于 r(t) 没有被采样，故不能单独进行z变换， 这时，表示不出 C(z)/R(z

46、) 的形式，只能求得输出 的z变换表达式 C(z)，而得不到 G(z)。,8.5 离散系统的数学模型,8.5 离散系统的数学模型,2. 并联环节的脉冲传递函数,设两个环节并联系统如图(a)所示，可等效为图(b),G(z)=G1(z)+ G2(z),C(z)=C1(z)+ C2(z)=G1(z)+ G2(z)R(z),C1(z)=G1(z)R(z) C2(z)=G2(z)R(z),结论： 两个并联环节的脉冲传递函数等于两个环节脉冲 传递函数之和。 这一结论可推广到n个环节相并联的情况。,8.5 离散系统的数学模型,如果并联支路存在连续输入信号，如图所示，,则 c(t) 的拉氏变换为,C(s)=G

47、1(s)R*(s) + G2(s)R*(s),将其离散化可得,C*(s)=G1(s)R*(s)*+ G2(s)R*(s)* = G1*(s)R*(s)+ G2*(s)R*(s),进行z变换可得可得,C(z)= G1(z)R(z)+ G2R(z),8.5 离散系统的数学模型,例3-36 试求零阶保持器的脉冲传递函数。,说明： 零阶保持器的脉冲传递函数为常数1，其输出信号的 采样值与输入信号的采样值完全一样。 零阶保持器无零极点，对系统性能无影响，只起到恢 复信号的作用。,8.5 离散系统的数学模型,3. 闭环系统的脉冲传递函数,设闭环采样系统的结构图如图所示,1）对给定输入的脉冲传递函数,2）对

48、扰动输入的脉冲传递函数,若为单位反馈，即H(s)=1，则,8.5 离散系统的数学模型,求脉冲传递函数的一般步骤： （1）确定系统的输入输出变量； （2）写出各个连续部分的因果关系式，也就是将通 道在各采样开关处断开，写出采样之前各连续 信号拉氏变换表达式； （3）对各表达式采样后取z变换； （4）消掉中间变量； （5）按定义写出脉冲传递函数。,8.5 离散系统的数学模型,例3-37 已知采样系统结构图如图所示，试求输出信号的z变换式。,例3-38 已知采样系统结构图如图所示，试求脉冲传递函数 C(z)/R(z)。,8.5 离散系统的数学模型,8.5 离散系统的数学模型,8.5 离散系统的数学模

49、型,8.5 离散系统的数学模型,z变换法的应用条件： 当连续部分的输入直接为理想脉冲串时，其传 递函数必须满足极点数至少比零点数多两个，即满足,则系统的连续输出信号 c(t) 在采样点不会跳变，这 样才可以把 c*(t) 的采样值连接起来得到 c(t)。,8.6 离散系统的时域分析,例3-39 开环采样系统结构图如图所示，已知输入r(t)=1(t), 采样周期T=1(s)，试求c*(t)与c(t)。,讨论如下情况： (1) 用z变换法求c*(t); (2) 用拉氏变换法求c(t); (3) 加入零阶保持器，用两种变换分别求c*(t)与c(t) ； (4) 改变连续部分为1/s2，用两种变换分别

50、求c*(t)与c(t) 。,8.6 离散系统的时域分析,离散系统的时域分析包括：,稳定性,动态性能,稳态性能,采样周期的选择： 采样周期T应小于系统的最大时间常数。只有 满足这一点，才会使离散理论分析结果贴近连续信 号的变化规律。 举例：图8-66,8.6 离散系统的时域分析, 根据稳定性的定义，可以用齐次差分反方程的解来 研究离散系统的稳定性。, 稳定性是指在扰动的作用下，系统会偏离原来的平 衡位置，在扰动撤除后，系统恢复到原来平衡状态 的能力。,8.6.1 离散系统的稳定性, 线性定常离散系统稳定的充要条件是，齐次差分方 程的特征方程的根的模都小于1，即 。,8.6 离散系统的时域分析,1

51、. s平面与z平面的映射关系,s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为 z=eTs,s域中的任意点可表示为 ，映射到z域则为,于是，s域到z域的基本映射关系式为,8.6 离散系统的时域分析,8.6 离散系统的时域分析,2. Z域稳定的充分必要条件,开环脉冲传递函数：,闭环脉冲传递函数：,系统的特征方程：,8.6 离散系统的时域分析,线性定常离散系统稳定的充要条件是，系统的特征方 程的根的模都小于1，即 ，或全部特 征根都位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。,8.6 离散系统的时域分析,例3-42 已知采样系统结构图如图所示，其中T=0.007(s) ，e-10T=0.5，试分析系统的稳定性。,

52、8.6 离散系统的时域分析,3. 代数判据,劳斯判据： （1）构造劳斯表； （2）特征根中具有正实部的根的个数等于劳斯表中第一列元素的变号次数。 故稳定的充要条件是：劳斯表第一列元素的符号不发生变化。 劳斯判据不仅可以判断系统的绝对稳定性，还可以分析系统的相对稳定性。,8.6 离散系统的时域分析,称为w变换，又称双线性变换。,8.6 离散系统的时域分析,式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即,实部为,8.6 离散系统的时域分析,例3-43 已知采样系统的特征方程式为 试分析系统的稳定性。,由劳斯表: 第一列元素为正,系统稳定.,8.6 离散系统的时域分析,例3-44 已知

53、采样系统的结构图为 试分析系统的稳定性。,解：（1）连续系统是无条件稳定的。,8.6 离散系统的时域分析,开环脉冲传递函数：,系统的特征方程：,（2）加入采样开关：,8.6 离散系统的时域分析,双线性变换：,由劳斯判据：,得：,8.6 离散系统的时域分析,开环增益K和采样周期T对采样系统稳定性有如下影响： (1)采样周期T一定时，增加开环增益K会使采样系统稳定性变差，甚至使系统不稳定。 (2)开环增益K一定时, 采样周期T越长，丢失的信息越多，对采样系统稳定性及动态性能均不利，甚至使系统不稳定。,8.6 离散系统的时域分析,开环脉冲传递函数：,系统的特征方程：,（3）加入零阶保持器：,8.6

54、离散系统的时域分析,双线性变换：,由劳斯判据：,得：,说明： 保持器的加入使系统稳定性进一步变差。,8.6 离散系统的时域分析,离散系统稳定性：,1. 充要条件最基本的判稳依据；,2. 代数判据双线性变换，劳斯判据；,3. 影响采样开关 保持器 参数,8.6 离散系统的时域分析,8.6.2 离散系统的动态性能,1.离散系统的时间响应及性能指标求法,（1）通过z反变换,计算时间响应,（2）直接在时间响应上求性能指标,8.6 离散系统的时域分析,8.6 离散系统的时域分析,例3-45 单位反馈采样系统如图所示 当 时，试求输出响应及动态性能指 标。,8.6 离散系统的时域分析,开环脉冲传递函数：,

55、解：,闭环脉冲传递函数：,单位阶跃响应的z变换：,8.6 离散系统的时域分析,用长除法将C(z)展开成幂级数：,z反变换得脉冲序列为：,近似性能指标：,8.6 离散系统的时域分析,例3-46 单位反馈采样系统如图所示 当 时，试求输出响应及动态性能指 标。,8.6 离散系统的时域分析,开环脉冲传递函数：,解：,闭环脉冲传递函数：,单位阶跃响应的z变换：,8.6 离散系统的时域分析,用长除法将C(z)展开成幂级数：,z反变换得脉冲序列为：,近似性能指标：,8.6 离散系统的时域分析,连续系统：,8.6 离散系统的时域分析,零阶保持器使峰值时间、调节时间都加长，使超调量也增大，这是由于零阶保持器的

56、相角迟后作用，降低系统的稳定性。,采样器使上升时间、峰值时间、调节时间略 有减小，但使超调量增大，故采样造成的信息损 失会降低系统的稳定性。,8.6 离散系统的时域分析,2.闭环极点与瞬态响应的关系,设闭环系统的脉冲传递函数为,式中mn，zi (i=1,2,m)为(z)的零点； pr (r=1,2,n)为(z)的极点； 为分析简便设其无重极点。,8.6 离散系统的时域分析,当 r(t)=1(t) 时，,8.6 离散系统的时域分析,稳态分量,暂态分量,显然,随极点在平面位置的不同，它所对应的暂态 分量也不同。,8.6 离散系统的时域分析,1 当 0pr1 时, 单位圆内正实轴, 单调收敛,当 1pr 时, 单位圆外正实轴, 单调发散,2 当 -1pr0 时, 单位圆内负实轴, 振荡收敛,当 -1pi 时, 单位圆外负实轴，振荡发散,3 z平面上的闭环复数极点, 余弦规律振荡,当 pr=1 时, 单位圆与正实轴的交点, 一串等幅脉冲序列,当 pr=-1 时, 单位圆与负实轴的交点, 正负交替的等幅脉冲序列,8.6 离散系统的时域分析,8.6 离散系统的时域分析,通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点。 当闭