电路课件第十五章

1、第15章电路方程的矩阵形式本章重点割集关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系回路电流方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式列表法15.115.215.3*15.415.515.6*15.7*首 页 重点1.关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式2.返 回15.1 割集 割集Q 连通图G中支路的集合，具有下述性质：把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。割集：(1 9 6) (2 8 9)(3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)6 31497528

2、问题(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？返 回上 页下页只含有一个树枝的割集。割集数n-1614397528注意 连支集合不能构成割集。属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点 上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程 。返 回上 页下 页基本割集注意对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。返 回上 页下 页15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵1. 图的矩阵表示图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：结点回路割集支路支路支路

3、关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵返 回上 页下页2. 关联矩阵A用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：支路b注意每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。结点nnbA =a矩阵Aa的每一个元素定义为：ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点；ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点；ajk =0支路 k 与结点 j 无关。ajk返 回上 页下 页支例结112-100131-10040-1105001-16010-1-1010Aa= 2341特点每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。矩阵中任一行可以从其

4、他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。返 回上 页下 页支1-1010结2-100131-10040-1105001-16010-1支路b(n-1) b1结Aa= 点Aa= 234n-1 降阶关联矩阵A特点 A的某些列只具有一个+1或一个1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。返 回上 页下页 关联矩阵A的作用 用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；i = iiT设:iiiin-1个独立方程123456以结点为参考结点i 1i-i1i2i-+ 2i3-101-1001-100-100010103= i - i + i = 0A i =346i4 i

5、1 + i4 + i5i5i6返 回上页下页矩阵形式的KCL: A i = 0用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。un1 u= uu = u1u5u6 T设:u2u31u4n2 nun3 100-1-1 01- u+ uu1n1n3-1 1- un10un1 u2 =u- un 20u3A =T=n1uun 2 nu4- u 00n2un3 u01uu5n3u6 00n 2返回上页下页矩阵形式的KVLu = AT un2. 回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。支路bl b独立注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。B= 回路l矩阵B的每一个元素定义为：1支路 j 在

6、回路 i 中，且方向一致；bij-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；0支路 j 不在回路 i 中。返 回上 页下页取网孔为独立回路，顺时针方向例回 支 1210-1310040-10501-161-1021 1B = 2300131注意给定B可以画出对应的有向图。独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵Bf返 回上 页下 页基本回路矩阵Bf 连支电流方向为回路电流方向；支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。规定例选 2、5、6为树，连支顺序为1、 3 、 4 。回 支 1301040012-1105-10-160111B = 2310032 BB1tl1= 1Bt 返

7、回上 页下 页 回路矩阵B的作用 用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程；设u =u1u3 u4u2u5 u6 l个独立KVL方程ut u ul1u 100010001-110-10-1011-u1u2u5 3= u+ u+ u = 0 B u =u4u632u2+ u - uu5 456u6 矩阵形式的KVL： B u = 0返 回上 页下页连支电压可以用树支电压表示。注意ul Bt u = 01 Bf u = 0ul+Btut=0t ul= - Btut用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程设：i =iiiiiiT134256il1 i = i独立回路电流l 2 lil 3返 回上 页下 页

8、i1 il1l 210 010i i3 00 i32 = ii01 l1=4il 3- i+ i-110 l 2 il 2 l1i2-1 l 3 -1 0- i- ii1l1l 35 il 2011+ il 31i6 树支电流可以用连支电流表出。注意= 1 1 il = it上 页BTiB ilTT T flBBitt t t返 回下 页矩阵形式的KCL： B T il = i 3. 基本割集矩阵Qf割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述， 这里主要指基本割集矩阵。支路b注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路.割Q= 集数(n-1)b矩阵Q的每一个元素定义为：1支路 j 在割集 i 中

9、，且与割集方向一致；qij-1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反；0支路 j 不在割集 i 中。返 回上 页下 页基本割集矩阵Qf规定割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。选 1、2、3支路为树例Q1:Q2:1,2,3,4,5,56Q :4 , 613返回上 页下 页支割集12010Qt3001410151-10Ql60-1-1Q1Qf=Q2Q31001= 1Ql 用基本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程。i =iiiiii T设123456返 回上 页下 页基本割集矩阵Qf的作用i1 i 1000100011011-100-1-12 Q i =i3f

10、 i4i5 i + i+ i 1451i6 = i2 - i5- i6 = 0- i6i3+ i4n-1个独立KCL方程返 回上 页下页矩阵形式的KCL： Qf i =0用QfT表示矩阵形式的KVL方程设树枝电压（或基本割集电压）：ut= u1 u2 u3 T10 0 uu1 0100-1-1ut10uuu2 t 2 0ut = 1 ut 3+ uut1 =TQfut 2u311 uut1t 340 t 3 1 uu - u-5 t1t 2-1ut2 - ut 3 u6 0返回上页下页矩阵形式的KVL： Qf Tut=u连支电压可以用树支电压表示。注意u1= Q u =u u =Ttu QTf

11、ttl lu=Q uT小结llt返回上 页下 页ABQKCLA i =0B T il =iBTi= itltQfi=0it= -QlilKVLAT u= unBu=0ul= - BtutQT ut=uu= QTullt15.3* 矩阵A、Bf 、Qf之间的关系三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。1. A与B 之间的关系对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：u= AT unBAun = 0TBu= 0返 回上 页下 页B AT= 0orA BT= 02. Bf 与Qf 之间的关系对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：i= Bi TQB i= 0TllQi=

12、 0对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有： TBT= 1 Q = 0QBtffl 1 返 回上 页下 页Q= -BTltQ BT= 0orB QT= 03. A与Qf 之间的关系对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵： TA= AA BTA= AA =B0ttlftl 1 Bf = Bt1+ A= 0TABQ= 1 Q ttlT= - AAl-1orBtfltQ= -B=TAA-1lttl返回上页下 页Q = 1A-1 A ftl1-1-1010100010001已知：例B=f求基本割集矩阵，并画出网络图。-1 -1-111 1-1 解QQl= -B= -00 = 0T0

13、t141-1120135-10Q= 11 00f1返 回上 页下 页15.4 回路电流方程的矩阵形式1.复合支路反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。.U Sk.I k.I ekZ(Y )+kk-.I Sk规定标准支路+.U k-返 回上 页下 页.U Sk.I k.I ekZ(Y )+kk-.I Sk+复合支路特点.U k-支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。返 回上页下 页RkjwLZ=k即K1jwCK注意复合支路定义了一条支路最多可

14、以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。(ZkYk）.U Sk.I Sk= 0= 0.- U Sk(ZkYk）+.I Sk= 0返 回上 页下 页Zk (Yk).U Sk= 0.I Sk.U Sk+-Zk (Yk)=0.I Sk.= 0I SkU Sk+-Zk (Yk)=0.U Sk.I Sk= 0Zk (Yk)=0返 回上 页下 页2.支路阻抗矩阵形式电路中电感之间无耦合Uk= (I k+ I Sk )Zk-U Sk.I ek.U Sk.I k如有b条支路，则有：Z(Y )+kk-U1.I Sk= (I1 + I S1 )Z1-U S1-U S2U2 = (I2 + I S2 )Z

15、2+.U k-LLLLUb = (Ib + I Sb )Zb-U Sb返回上 页下页设T支路电流列向量I = I1 I2 Ib T支路电压列向量U UU=U.12b Ts1s2.UU=电压源的电压列向量UUs sbT I.II=电流源的电流列向量Is s1s2sbZ=diagZ1 Z2Zb阻抗矩阵返 回上 页下 页整个电路的支路电压、电流关系矩阵：Z10 0LLOL0 I 1 + I s1 U 1 U s1 0ZM = - 2MM MM + IU b IU sb 0bsb0Zb bb阶对角阵返回上 页下 页 = Z + Z - U I I S U S 电路中电感之间有耦合.+U 1.U S1-

16、.I.IjwL+1-1e1*.I S1M.U S2.I 2.I e2jwL+2-*.I S2+.-U 2U1U 2= jw L1 (I S1 + I1 ) + jwM (I S 2 + I 2 ) -U S1= jw L2 (I S 2 + I 2 ) + jwM (I S1 + I1 ) -U S 2返 回上 页下 页U1U 2= jw L1 (I S1 + I1 ) + jwM (I S 2 + I 2 ) -U S1= jw L2 (I S 2 + I 2 ) + jwM (I S1 + I1 ) -U S 2I jwjwL1M+ IUU=-S11S11 jwMjw LI S 2 + I

17、 2 0U 2 U S 2 2 jw L1jwM UI S1 + I 1M jwMjw1L2U S1 2 U - =Z 3MM OU sb I Sb + I b U b 0Zb 返 回上 页下页 jw L1jwM jw L2Zb 0 jwMZ = Z3OZ不是对角阵0如1支路至g支路间均有互感U&= Z I& jwMI& jwMI&L jwMI&-U&11e112e 213e31ge gS1U& 2U& g= jwMI&I& jwMI&L jwMI&- U&+ Z21e12e 223e32 ge gS2= jwMI& jwMI& jwMI&I&-U&L Zg1e1g 2e 2g 3e3ge g

18、S g返 回上 页下 页 jwM12 jwM1gU&1 0 Z100M0ZhM0LLMLLLLMLL & jwM0 jwMMZU 2 2122 gMMMM & = jwM0 jwM0M0 Z0M0U g g1g 2gU&h0 0M0MMU&ZLLb b I&+ I&U&1S1S1 I&+ I&U&S 2 2S 2MMI& - &+ I&S g US g g I&U&+ I&S h hS hM+ I&M I&U&bSb Sb 返 回上页下 页U& = Z (I& + I& ) - U&SS电路中有受控电压源.U Sk.I kU dkZ(Y )+ -+-kk.I Sk+-.U kZ的非主对角元素将

19、有与受控电压源的控制系数有关的元素。返 回上 页下 页例写出图示电路的阻抗矩阵R00LjwL2100 jwML0 jwMLjwLLZ = 301jwCL00I&0S1mjwCRLL05R6返 回上 页下页MjwL2jwL3R6R&1U 4+1/jwCmU&4 -I&S5R53.回路电流方程的矩阵形式Ub = 0KVL：B回路电流i l(b-n+1)1阶 BIl I b =TKCL:支路方程： = + - Ub Ib ISUS ZZBUb = BZ Ib +BZ IS -BUS = 0返 回上页下 页 BZ BT Il = BUS -BZ IS回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。

20、=BZ BZTl = B -BZ 回路电压源向量U lS U S I S Z = 回路矩阵方程I l U lS l返 回上 页下 页 BZ BT Il = BUS -BZ IS回路分析法的步骤：小结从已知网络，写出BZ UISS求出Z 列出回路方程Ull 求出 T = BII由KCL解出Ilbl根据支路方程解出Ub返回上 页下 页Z = lI l U lS 用矩阵形式列出电路的回路电流方程。例jwL44+I&S1U&-R21/jwC52S21R1jwL33 解 做出有向图，选支路1，2，5为树枝。120131040151 B= 1 -12 -10返 回上 页下 页2511jwCZ = diag

21、R , R , jwL , jwL ,12345 U&= 0- U&0000TSS2I&= I&000TSS1把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式Il = BUS -BZ ISBZ BT1R + jw L+1-jwCjwCI13 R I55l1 = 1 S1 -US2 11jwCIl2 R+ jw L+-jwC245 5返 回上 页下 页15.5 结点电压方程的矩阵形式1.支路导纳矩阵形式电路中不含互感和受控源.U Sk.I k.I ekZ(Y )+kk-.I Sk+.U k-U k= (I k+ I Sk )Zk-U SkI k= Y kU k+ Yk U Sk - I Sk返 回上 页下

22、 页Y10 0YLL 0 U 1 + U s1 I 1 I s1 0 M = - 2MM MM + UI b UI sb 0bsb0YLb 返 回上 页下 页 = + - I YU YUS IS 10 0 1 L Z1YL0 0Y1L0 = 00 = 0LY = Z -12Z M 0M 2 M 0ML Y 0b 1 0LZbbb阶对角阵返 回上 页下 页电路中电感之间有耦合.+U 1.U S1-.I.IjwL+1-1e1*.I S1M.U S2.I 2.I e2jwL+2-*.I S2+.U 2- = jwL1jwMZjwMjwL 112 返 回上 页下 页Z -1010L1100LZ2Y =

23、 Z -1= MM0 1 0LZb L2M -1jwLjwM= Z-1=1jwMjwL 11ML2 - 1 = jw(L L- M 2 )12返回上 页下 页I&电路中有受控电源(a) I dk 为VCCS.I Sk设： I dk= gkj U e j+.U k-I ekI dk= Yk U ek= Yk (U k + U Sk )= gkj U ej= gkj (Uj + U Sj )I k= Yk (U k +U Sk ) + gkj (U+) -jU SjI Sk返 回上 页下 页dk.I k.Z(Y )U SkI ekkk-+(2) I dk 为CCCS设：I dk= bI ejkjI

24、 ejI k= Yj (Uj + U Sj )+U Sk ) + bkjYj (U= Yk (U k+) -jU SjI SkI&.I Sk+.U k-返 回上 页下 页dk.I k.Z(Y )U SkI ekkk-+考虑b个支路时：若： I k= Yk (U k +U Sk ) + gkj (U+) -jU SjI Skjk I 1 Is1 +U S1M+U SkM+U SjMY10 U 1MMO I k gkjUYkIsk - k M = OM 0YU I Isj j jjO MMY b +UU I Sb I b bSb返 回上 页下 页I kU SkI Sk若：) + b Y (= Y

25、(+k+) -UUjU Sjkkjjkj I 1 Is1 +U S1M+U SkM+U SjMY10 U 1MMO I k bYkjjUYkIsk - k M = OM 0YU I Isj j jjO MMY b +UU I Sb I b bSb返 回上 页下 页2.结点电压方程的矩阵形式 = Y + Y - 支路方程： I U U S I S A = 0KCLI AY + AY - A = 0U U S I S = AT n KVLU UAY AT = A - AY = U n I S U S Isn返 回上 页下 页AY AT = A - AY = U n I S U S IsnYn独立电

26、源引起的流入结点的电流列向量结点导纳阵返 回上页下页Y = nU n I Sn 结点分析法的步骤小结第一步：把电路抽象为有向图623451返 回上页下 页1W+0.5W2W0.5W3A5V5W1W-1A6第二步：形成矩阵A23110021-10301-140105001610-11A= 23451第四步：形成US、IS第三步：形成矩阵Y2US= -5000-10300 T0.52Y = IS=000 T0.211返回上 页下 页第五步：用矩阵乘法求得结点方程 = AY AT = A - AY U n U S I S Isn0U& n1- 0.52.7- 2 3.550 - 2U& = -1- 0.5 3 n2&-14Un3返 回上 页下 页用矩阵形式列出电路的结点电压方程。L1例G44133iS520做出有向图 解 010010101-10I& = 0A= 10000iSS5-10返 回上页下 页5+ ua -gu* Ma*GC3L25L1G4413i3S520- ML000 0 2 L1注意g的位置- M0jwC30- gY= 0 0 00 000000G40G5 返 回上 页下页5+ ua -gu* Ma*GC3L25AY AT = A - AY 代入U n U S I S 0+ G5- G