生物、心理、药学 第3章随机变量的数字特征1节

1、2018/10/51第三章随量的数字特征基本内容：一、数学期望、方差 二、原点矩与中心矩 三、协方差与相关系数四、切比雪夫不等式与大数定律2018/10/52第一节数学期望引例1加权平均成绩设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 x1 , x2 ,L, xn ,其学分分别为1 ,2 ,L,n , 则称x1 + x2 + K + xnn1 x = xini =1 n 为该生各门课程的算术平均成绩.而nnnx=( xini)=x v, 其中v= ,iiiiji=1ji=1j=1j=1则称 x为该生的加权平均成绩.2018/10/53引例2. 甲乙两名乒乓球爱好者球技相同，他们约定各出5元作为奖金进行

2、比赛，每局中无平局，谁先赢四局则得奖金10 元，当甲赢了3局，乙赢了2局时，因故要终止比赛。问这10 元奖金如何分配才算合理公平。分析：设想如果比赛再继续下去，会出现什么结果？ 甲最终所得可能为10元，可能0元，这是随量 X 且再比赛2局必能分出胜负，其结果不外乎4种情况：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙X010甲期望所得：P1/43/40*1/4+10*3/4=7.5此分法不仅考虑已经比赛结果，而且还包括了再比赛下去的一种“期望”数学期望（均值）.2018/10/541. 随量的数学期望(1) 设有n个数x1，x2，L，xn ,那么这n个数的算术平均x1 + x2 + K + xnn1 x = xin

3、i =1 n (2) 这n 个数有相同,，不妨设其中有ni个取值为xi，i =1,L, k,1kkn其均值应为ni xi = i xini =1i =1n以数值xi出现的频率为权重做加权平均2018/10/551. 离散随量的数学期望定义: 设离散随量X的分布律为P( X = xk ) = pk , k = 1,2,L,若级数 xk pk 绝对收敛( 即| xk | pk ),kk注1E(X)是一个常数, 它是一种加权平均.与一般的平均值不同, 它从本质上体现了X 取可能值的真正的平均值.注2级数绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.因为数学期望是反映随量X 取可能值的平均值,

4、 它不因可能值的排列次序而改变.2018/10/56例1. 设X服从Poisson分布p (l),求数学期望E(X).解：X的概率函数为lk-lP( X= k) =e, k = 0,1,2,L;k!所以X的数学期望+lk+lk-l= ke-l= kek =0k!k =1k!+lk -1+ lk= le-l = le-l k =1 (k -1)!k =0 k!= le-l el2018/10/57例2. 据统计, 一位60 岁的健康者在5 年内健在的概率为 p (0 p a). 应如何确定b 值可使保险公司获益?解:以x 表示保险公司从一个投保者取得的收益, 则x 取值为 a,a - b, 相应

5、的概率分布为 p, 1- p于是Ex =a p + (a - b)(1- p) = a - b(1- p)保险公司要获益, 必须 a - b (1- p) 0,即 b 0,其他地方为0在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点a = x0 x1 x2 L xn-1 xn = b把 a , b分成n个小区间,各小区间长度Dxi = xi - xi -1记l = maxD xi ，当n 时，l 0，则1 i nxi -1ixi iP( x X x ) =if ( x)dx f ( x )Dxi-1nb+E( X ) = lim xi f ( x i ) D x i = a xf (x) dx

6、= - xf (x) dxl 0 i =12018/10/592. 连续随量的数学期望定义:设连续随量X的概率密度为f (x),+若积分xf (x)dx 绝对收敛(即+x | f ( x)dx ),|-则X的数学期望（或均值）存在，记为E(X) ,即+E( X ) = - xf ( x)dx2018/10/510例3. 某种化学物的PH(记为X)是一个随量，它的概率密度是 25(x - 3.8),3.8 x 4f (x) = - 25(x - 4.2), 4 0;f (x) = q 0,x 0.所以+ x 1e-x /q dx = + (-x) e-x /q d(- x )0q0q分部积分 +

7、=(-x)de- x /q 0= (-xe-x /q+ + e-x /q dx)002018/10/5123.随量函数的数学期望(一)一维随量函数的数学期望(1)问题的导入数学期望E( X ) = xk pk .XE(X)=kE(X ) = + xf (x)dx-数学期望g(X)Eg(X )=g是连续函数, g(X) 是随量, 如: 2X+1, X2等等.2018/10/513(2)随量函数数学期望的计算方法1 (定义法): g(X)是随量, 按照数学期望的定义计算Eg(X).关键: 由X的分布求出g(X)的分布.难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.2018/10/514方法

8、2 (公式法):定理设X是一个随量, Y= g(X), 则 g(x)p, X为离散型; E(Y ) = Eg(X ) = kkk+g(x) f (x)dx, X为连续型. -当X为离散型时, P(X=xk) =pk , (k =1,2,);当X为连续型时, X的密度函数为f (x).求Eg(X)时, 只需知道X的分布即可.2018/10/515例5.某种商品每周的需求量XU(10,30）,而商场每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应, 每单位商品获利300元.要使商场获得最大收益,问进货多少? 解:设应进货量为 a(10至

9、 30 间的某数),收益为Y,供大于求则X的概率密度函数为500X-100( a-X ),10 X a , 1 , 10 x 30,Y = g( X ) = 500a+300( X - a ),a X 30f ( x) = 20供不应求 0 ,其他，600X-100 a,10 X a , EY = E g( X )= 30 1 g( x)dx= +200 a,a 0;f (x) = 0, x 0.从而E(e-2X ) = + e-2 x f (x)dx = + e-2 xe- xdx = 1-03E( X + e-2X )=E( X )+ E(e-2 X ) = 4 , 选C.32018/10

10、/5282.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品, 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品, 则扔掉重新任取一只; 如仍然是废品, 则扔掉再取一只. 试求在取到正品之前, 已取出的废品只数的分布和数学期望.解：设X表示在取到正品前已取出的废品数, 则X=0，1，2.(1)X的概率分布设Ak=第k次取得的是正品k=1, 2, 32018/10/529由乘法公式，有P( X= 0) = P( A ) =8= 0.8110P( X= 1) = P( A1 A2 ) = P( A1 )P( A2 | A1 )=2 8 =810945P( X= 2) = P( A1 A2 A3 )= P( A1

11、 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )=2 1 8 =1.1098452018/10/530由此得离散随量X的概率分布为X012P0.88/451/45(2) 根据定义,随量X的数学期望E(X)=00.8+1(8/45)+2(1/45)=2/9.2018/10/5313. 设X的概率密度函数为1,| x 1,f (x) = 2p1- x0,| x | 1.试求E( X ).+1 x解:E( X )= xf (x)dx= dx(奇函数)-1 p1- x2= - 1 1d (1- x2 ) = - 121= 01- xp-1 21- x2p-12018/10/5324.设有N个

12、人,每个人将自己的帽子扔进屋子中央,把帽子混合后，每个人再随机地从中选一顶. 试求选中自己帽子的人数的数学期望.解：设X表示配对的人数，将X写成X=X1+X2+Xn1, 第i个人选中自己的帽子； 其中Xi = 0,第i个人选中自己的帽子.2018/10/533显然P( X= 1) =1 , P( X= 0) = 1-1 ,iNiNNN所以 E( X ) = E( Xi ) = P( Xi = 1)i=1i=1= N 1= 1N2018/10/5345.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55 分钟从底层起行. 假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处, 且

13、X在0,60上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望. （考研试题） 解： X在0,60上服从均匀分布, 其概率密度为 1, 0 x 60f (x) = 600,其它2018/10/535设Y是游客等候电梯的时间(单位:分), 则5 - X ,0 X 5;25 - X ,5 X 25;Y = g( X ) = 55 - X ,25 X 55;60 - X + 5, 55 X 60;因此E(Y ) = Eg( X ) = g(x) f (x)dx = 1 g(x)dx+60-600= 1 5 5 - x)dx + 25 (25 - x)dx + 55 55 - x)dx + 60 65 - x)d

14、x(600525552018/10/536= 1 5 5dx + 25 25dx + 55 55dx + 60 65dx - 60 xdx 600525550=11.67(分钟)2018/10/5376. 设随量X的概率密度函数为()3 x28,0 x 2px= 0,其它试求E(1/ X 2 ).解:E 1 = 2 1 3 x2dx = 2 3 dx = 3 .2 028084 Xx2018/10/538预备知识基本积分表(1) kdx =kx + C( k 为常数)(2) xm dx = 1xm +1 + C(m -1)m +1(3) d x =ln x+ Cx(4) dx= arctan x + C或 - arccot x + C1+ x2(5) dx= arcsin x + C或 - arccos x + C1 - x2(6) cos xdx = sin x + C2018/10/539(7) sin xdx =- cos x + C(8) d x= sec2 xdx = tan x + Ccos2 x(9) d x= csc2 xdx =- cot x + Csin2 x(10) sec x tan xdx = sec x + C(11) csc x cot xdx = - csc x