1.7.1定积分的简单应用(李用).ppt

1、,1.7.1 定积分的简单应用,定积分在几何中的应用,1.平面图形的面积:,其中F(x)=f(x),2.微积分基本定理:,一、复习,因为f(x)在a,b内连续 是f(x)的一个原函数. 又F(x)是f(x)的原函数， F(x)= +C.在上式中令x=a,则由 得到C=F(a) 移项得 令 即得,证明：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,=-S,=s,3.定积分 的几何意义:,类型一.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积S,练习. 求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。,解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点

2、坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：,所以：,类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解,类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积S,注：,解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:,即两曲线的交点为(0,0),(1,1),两曲线围成的平面图形的面积的计算,求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,(1)作出示意图;(弄清相对位置关系),(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限),(3)确定积分变量及被积函数;,(4)列式求解.,解:,两曲线的交点,直线与x轴交点为(4,0),S1,S2,X型求解法,Y型求解法,解:

3、,两曲线的交点,练习,解:,两曲线的交点,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,练习,练习3,解,所围成的图形如图所示：,平面图形的面积。,则,y,o,x,2,-2,练习4 计算：由曲线,曲边梯形的面积,直线,和,轴所围成的,=,-,解:,练习5 如图所示由,和,所围图形的,面积是多少？,y,o,x,2,-2,-4,解:,B,D,C,A,-,-,定积分在物理中的应用,设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)0，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,一、变速直线运动的路程,解：由速度时间曲线可知：,例题,法二：由定积分的几何意义， 直观的可以得出路程即为 如图所示的梯形的

4、面积，即,二、变力沿直线所作的功,1、恒力作功,2、变力所做的功,问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，则变力F(x) 所做的功为:,例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l 米处，求克服弹力所作的功,解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比,即：F(x)=kx,所以据变力作功公式有,例题,练一练,1.设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？,解,如图：建立直角坐标系。,因为弹力的大小与弹簧的伸长（或压缩）成正比，即,比例系数,已

5、知,代入上式得,从而变力为,所求的功,练一练4一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求: (1)在t=4 s的位移; (2)在t=4 s运动的路程.,t=4s时刻该点距出发点4/3m (2) t=4s时刻运动的路程为4,设物体运动的速度v=v(t) (v(t)0) ，则此物体在时间区间a, b内运动的路程s为,1、变速直线运动的路程,2、变力沿直线所作的功,物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，则变力F(x) 所做的功为:,小结,通一类,1一点在直线上从时刻t0(单位：s)开始以速度vt2 4t3

6、(单位：m/s)运动，求： (1)在t4 s时的位置； (2)在t4 s时运动的路程,1、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求F(x)所作的功.,练一练,40J,2.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s)的速度运动,求该物体在35s间行进的路程.,练习：A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C点的速度为24m/s,从C点到B点前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试

7、求:（1）A、C间的距离;（2）B、D间的距离; （3）电车从A站到B站所需的时间。,略解: (1)设A到C的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s), 则AC,(2)设D到B的时间为t2则24-1.2t2=0, t2=20(s), 则DB,例2：一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式： 确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作用下，沿着r轴方向从r=a到r=b（ab），求电场力对它所作的功。,解:,由题意,所求功为,例3 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4 m/s2,问列车

8、应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?,解:列车速度v0=72km/h=20m/s,设列车由开始制动到经过t秒后的速度为v,则 ,令v=0,得t=50(s) 设列车由开始制动到停止时所走得路程为S,则,练习:,A 、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段速度为1.2t (m/s),到C点速度达24 m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经过t s后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求: (1)A、C间的距离; (2) B、D间的距离; (3)电车从A站到B站所需的时间.,(1)240 (m) (2)240

9、(m) (3)20+20+280=320(s),研一题,例1有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)求 (1)P从原点出发，当t6时，求点P移动的路程和离开原点的位移； (2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值 自主解答(1)由v(t)8t2t20得0t4， 即当0t4时，P点向x轴正方向运动， 当t4时，P点向x轴负方向运动 故t6时，点P移动的路程,悟一法,例2设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm所做的功,通一类,2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等 温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到点b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功,做变速直线运动的物体的速度为v(t)4t2，求t0