第4节三角函数的图象与性质

1、2021新亮剑高考总复习三角函数与解三角形第四章第4节三角函数的图象与性质1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析1. 能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性.2. 理解正弦函数、余弦函数在0,2 上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等),理解正切函数在 - , 内的单调性2 21. 三角函数的图象,主要考查三角函数的图象变换、三角函数解析式的求法及三角函数图象的应用.2. 三角函数的性质是高考的必考内容,常与三角函数的图

2、象结合,主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性高考动态知识拓展知识查缺补漏目录一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 y=sin x,x0,2的图象中,五个关键点分别为 (0,0),1 ,(,0),3 ,-1 ,(2,0). 22(2)在余弦函数 y=cos x,x0,2的图象中,五个关键点分别为(0,1),0 ,(,-1),3 ,0 ,(2,1). 225高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、三角函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中 kZ) 6函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域 R R x xR,且 xk+ 2值域-

3、1,1-1,1 R 高考动态知识拓展知识查缺补漏在在目 录 7函数y=sin xy=cos xy=tan x周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k-,2k+上 22单调递增;2k+,2k+322 上 单调递减在 2k,2k+ 上单调递减;在 2k-,2k 上 单调递增在 k-,k+ 上22单调递增对称中心(k,0) + 2 ,0 2,0 对称轴x=k+2x=k无高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录1.函数 y=Asin(x+)和 y=Acos(x+)的最小正周期为 T=2,函数 y=tan(x+)|的最小正周期为 T= .|2.正弦曲线与余弦曲线的相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离都是

4、半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1个周期.而正切曲线相邻两对称中心之4间的距离是半个周期.3.三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin x 或 y=Atan x 的形式,偶函数一般可化为 y=Acos x+b 的形式.8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1)正弦函数 y=sin x 的图象在0,2上的五个关键点分别是3(0,0),1 ,(,0),-1 ,(2,0).()22(2) y=sin|x|是偶函数.(3) 已知 y=ksin x+1,xR,则 y 的最大值为 k+1.(4) 正切函数 y

5、=tan x 在定义域内是增函数.(5)函数 f(x)=cos + 的最小正周期为 2.3答案解析9目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识解析(1)正确.由正弦函数 y=sin x 的图象易知.(2) 正确.由函数的奇偶性易得.(3) 错误.k 的符号不确定,则 y 的最大值也不确定.(4)错误.函数 y=tan x 在 - ,2(kZ)上是增函数. + 2(5)正确.T=2=2.10目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【基础自测】1.函数 f(x)=sin 2 + 的最小正周期为(C).3D.A.4 B.2C.2函数 f(x)=sin 2 + 的最小正周期 T=2=.解析32答案解析11目 录查缺

6、补漏高考动态知识拓展知识2.函数 y=tan- 的定义域是(D).4A.xk-3,kZB.xk+,kZ44C.xk-,kZD.xk+3,kZ24解析y=tan -x =-tan - ,由 x- +k,kZ,得 xk+3 ,kZ.故选 D.44424答案解析12目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识3.(2020 届福州模拟)下列函数中最小正周期为 ,且在,上为减函数的是(). 42A.y=sin 2 + B.y=cos 2 + 22 2C.y=sin + D.y=cos +2解析对于,上是减函数.故选 A. 42答案解析13目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识1 4.(2020 届长沙模拟)函数 y

7、=sin +,x-2,2的单调递增区间是(C).23A. -2,- 5 B. -2,- 5 和 ,2 333C. - 5 , D.,2 333解析令 z=1x+ ,函数 y=sin z 的单调递增区间为 2- ,2 (kZ).2 +232由 2k- 1x+2k+,得 4k-5x4k+(kZ),而 x-2,2,223233所以所求单调递增区间是 - 5 , .故选 C.33 答案解析14目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【易错检测】5.下列函数中最小正周期为 ,且图象关于直线 x=对称的是(B).3A.y=2sin 2 + B.y=2sin 2- 3 6+ D.y=2sin 2- C.y=2si

8、n 233解析函数 y=2sin 2- 的最小正周期 T=2=,62又 sin 2 - =1,函数 y=2sin 2x-的图象关于直线 x=对称.3663故选 B.答案解析15目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识, + 5 (kZ) -6.函数 f(x)=4sin -2 的单调递减区间是 1212.3f(x)=4sin -2x =-4sin 2- ,所以要求 f(x)的单调递减区间,只需求解析33y=4sin 2- 的单调递增区间.由-+2k2x-+2k(kZ),得- +kx5+k(k32321212Z),所以函数 f(x)的单调递减区间是 - +k,5+k (kZ).1212答案解析1617目

9、 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1三角函数的定义域 例 1(1)(2020 届烟台模拟)函数 y= cos- 3的定义域为(C).2A. - , B. - ,(kZ) + 6666C. 2- ,6(kZ)D.R2 + 6 -3,- 0, (2)(2020 届江苏模拟)函数 y=lg(sin 2x)+ 9-2的定义域为 22.答案解析18考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)cos x- 30,cos x 3,2k-x2k+,kZ.2266 0,(2)由 9-2得 2 0,-3 3,-3x-或 0x.22函数 y=lg(sin 2x)+ 9-2的定义

10、域为 -3,- 0,.2219考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.求三角函数的定义域常化为解三角不等式或等式.2. 求三角函数的定义域常借助单位圆中的三角函数线或三角函数的图象,有时也利用数轴.3. 对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式组分别求解,然后利用数轴或三角函数线求交集.20考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】 2 + ,2 + 5 (kZ) 1.函数 y= sin-cos的定义域为.44 解析利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示),所以函数的定义域为 x 2k+x2k+5,kZ .44答案解析21考点探究素养达成高考真题目 录x

11、 2k 0,sin 0,解析要使函数有意义,则 cos- 1 0, 即 cos 1 ,222 + 2, 解得所以 2kx+2k,kZ, -+ 2 + 2,333所以函数的定义域为 x 2k 0,| 的最小2正周期为 4,且xR,有 f(x)f成立,则 f(x)图象的一个对称中心坐标是(A). 3A. - 2 ,0 B. - ,0 2 ,0 5 ,0 C. D. 3333答案解析29考点探究素养达成高考真题目 录(1)f(x)=sin x-cos x= 2sin x-,又 f -= 2sin - =- 2, 故 选 B.解析442(2)由 f(x)=sin(x+)的最小正周期为 4,得 =1.2

12、,即1+=+2k(kZ).因为 f(x)f恒成立,所以 f(x)=f 3 3max232由|0)的周期为2,函数y=Atan(x+)(0)的周期为 求解. 32考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】1.已知函数 f(x)=2sin + + - , 是偶函数,则 的值为(B).322B.C.D.A.0643解析因为函数 f(x)为偶函数,所以 +=k+(kZ).32又因为 - , ,所以 +=,解得 =,经检验符合题意.故选 B.22326答案解析33考点探究素养达成高考真题目 录2.已知函数 f(x)=sin + (0)的最小正周期为 ,则该函数的图象().A3A.关于点,0 对 称B

13、.关于直线 x=对称34C.关于点,0 对 称D.关于直线 x=对称43解析T=2=,=2, 则 f(x)=sin 2x+ .3当 x=时,sin2=0, + 333 ,0 对称,故选 A.该函数的图象关于点 3答案解析34考点探究素养达成高考真题目 录3.(2018 年江苏卷)已知函数 y=sin(2x+) - 的图象关于直线 x=对 223- 称,则 的值是. 6解析由函数 y=sin(2x+)的图象关于直线 x=对称,得 sin2+ =1,332+=k+(kZ),=k-(kZ).又-0,函数 f(x)=sin + 在, 上单调递减,则 的取4215 , 值范围是解析. 24由 x0,得

14、+ x+ .22444又 y=sin x 的单调递减区间为 2 + ,2 + 3 ,kZ,22 + + 2,kZ,解得 4k+12k+5,kZ.所以 2423 + 24+ 2,4又函数 f(x)在2 , 上单调递减,所以周期 T=2,解得 00 的单调区间时,要视“x+”为一个整体,通过解不等式求解. 但如果 0,0)是奇函数,且在 - , 43上单调递减,则 的最大值是(C).D.2A.1B.2C.3232解析因为函数 f(x)=cos(x+)(0,0)是奇函数,所以 =,所2=-sin x.因为 f(x)在 - , 上单调递减,所以-以 f(x)=cos + 24342且 ,解得 3.又

15、0,故 的最大值为3.3222答案解析39考点探究素养达成高考真题目 录6-1,g(x)=f x+2.已知函数 f(x)=-4sin且 lgg(x)0,则 g(x)的单调递增区间 2 + 2 ,kZ是 + 6. 解又由 lgg(x)0,得所以 2k+ 2x+2k+5,kZ666当 2k+2x+2k+,kZ,即 k0)的单调区间时,要视“x+”为一个整体,通过解不等式求解.41考点探究素养达成高考真题目 录 -,- 7 和 - 12,0 例已知函数 y=sin -2 123y=sin -2x =-sin 2- ,解析33令 2k-2x-2k+,kZ,232得 k- xk+5,kZ.12127所以

16、 y=sin-2 在-,0上的单调递减区间是 -,-和 -,0 .31212答案解析42考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】1.已知函数 f(x)=-2sin(2x+)(|),若 f=-2,则 f(x)的一个单调递减区间是(C)8A. - , 3 9B., C. - 3 , 5D., 88888888 + =1,+=2k+,kZ,解析由 f =-2 得 sin8442=2k+,kZ.又|0,-,若 f(x)的最小正周期为 6,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则(A).2A.f(x)在区间-2,0上是增函数B.f(x)在区间-3,-上是增函数C.f(x)在区间3,5上是减函数D.f(x

17、)在区间4,6上是减函数答案解析44考点探究素养达成高考真题目 录解析由题意得 =2=1,所以 f()=2sin(1+)=2,解得 =+2k(kZ).32323又-0)两个相邻的极值点,则44=(A.2).AB.3D.1C.122解析因为 x1=,x2=3是函数 f(x)=sin x(0)两个相邻的极值44点,所以 =3 - =,所以 T=,故 =2.2442答案解析46考点探究素养达成高考真题目 录2.(2019 年全国卷)函数 f(x)=2sin x-sin 2x 在0,2的零点个数为().BA.2B.3C.4D.5解析令 f(x)=2sin x-sin 2x=0,化简得 2sin x(1-cos x)=0,所以 sinx=0 或 1-cos x=0.又因为 x0,2,所以 x=0 或 x= 或 x=2,故函数f(x)有 3 个零点.答案解析47考点探究素养达成高考真题目 录3.(2018 年全国卷)若 f(x)=cos x-sin x 在区间-a,a上是减函数,则 a 的最大值是(A)A.B.C.3D.424 f(x)=cos x-sin x= 2cos + ,由题意得 a0,故-a+.解析444因为 f(x)= 2cos +