宁夏大学第十章 曲线

1、第十章曲线10-1曲线概述 曲线的形成 曲线的分类 曲线的投影 曲线的实长一、曲线的形成曲线是点的集合曲线可看作是一个点在空间连续运动的轨迹曲面体的外形轮廓线曲表面与其它表面的交线（如截交线、相贯线）二、曲线的分类二次曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线等）以及任一曲面与平面的交线平面曲线按点的运动轨迹是否在同一平面曲线上任意连续四个点不在同一平面上，例如圆柱螺旋线空间曲线可用数学方法精确描述，如圆、正弦曲线、圆柱螺旋线规则曲线按点的运动有无规律可用数学方法精确描述，只能用图和数据列表法表示，如海岸线等。不规则曲线三、曲线的投影EADBCaedbc曲线的投影一般仍为曲线属于曲线上的点，它的投影属于该

2、曲线在同一投影面上的投影属于曲线某点的切线，它的投影与该曲线在同一投影面的投影仍相切与切点的投影四、曲线的实长图例说明 将曲线分成若干段，定出各点的两面投影 利用直角三角形求实长的方法，求得各段曲线的近似实长。 顺次量取各段实长求和即得近似实长。10-2规则曲线 平面规则曲线 空间规则曲线平面规则曲线 平面规则曲线的投影特性平面曲线除具有曲线投影的性质外，尚有下列投影性质： 平面曲线所在的平面平行于某一投影面时，则在该投影面的投影，反映曲线的实形。 平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，则在该投影面的投影，积聚成一条直线。 平面曲线上某些奇异点的投影保持原有性质， 即曲线的拐点、尖点及两重点的

3、投影后仍为曲线投影的拐点、尖点及两重点。 抛物线、双曲线、椭圆等二次曲线投影后，一般性质不变，即抛物线的投影为抛线、双曲线的投影为双曲线、椭圆的投影为椭圆等。平面规则曲线的概念：凡曲线上所有点都属于同一平面，且该曲线可以用数学方法精确描述，则称为平面规则曲线。平面规则曲线圆的投影 圆的投影特性 倾斜于投影面的圆，它的投影为椭圆(解析法P144)。 倾斜于投影面的圆上任意一对相互垂直的直径， 投影成椭圆上的一对共轭直径(P144注)。 倾斜于投影面的圆上一对相互垂直的直径，其中有一条直径为投影面平行线时，则它们在该投影面的投影为椭圆的长短轴。平面规则曲线椭圆的投影 椭圆的投影特性 在特定条件下，

4、椭圆的投影可为一圆。(解析法P144)。 椭圆有一对共轭直径，投影后性质不变。空间规则曲线凡是曲线上有任意四个连续的点不属于同一平面，则称该曲线为空间曲线。螺旋线为常见的规则空间曲线。空间规则曲线(a)(b)螺旋线有左旋和右旋之分。当点按右手定则（以右手拇指指点的移动方向，四指弯曲指着点的旋转方向）运动时，则称为右旋(a)， 反之，则称为左旋(b)。圆柱螺旋线：动点沿着圆柱的轴线作等速移动，同时又绕柱轴作等速旋转运动，则动 点M的轨迹形成圆柱螺旋线动点沿着圆柱面的母线作匀速直线运动，同时，该母线又绕圆柱面轴线 作匀速转动，点的这种复合运动的轨迹，称为圆柱螺旋线。当母线旋转一周时，动点在母线上移

5、动的距离，称为导程。导圆柱面的直径、母线的旋转方向和导程是确定圆柱螺旋线的三要素， 已知三要素即可作出其投影图。圆柱螺旋线的投影图一般取螺旋线的轴线垂直于投影面，如取轴线垂直于H面，则螺旋线的水平投影为一圆周，直径等于导圆柱面的直径d ；正面投影为正弦曲线。具体作图方法如下（图6-（a）：把水平投影圆周分为若干等份（例如12等份），把导程h 分为同样多的等份，设始点为o，每旋转一份等分角，则上升一个等分距离，这样得到下面投影中一系列的点，用曲线连接起来，即为螺旋线的正面投影。螺旋线随导圆柱面展开时成直线（图6-（b）。一个导程的圆柱面展开后成矩形，矩形的边长为d 和h 。矩形的对角线即为螺旋线

6、展开后的位置，该直线与底圆展开后所得直线的夹角叫做螺旋线的升角，它的余角称为螺旋角。不规则曲线10-3概述自由曲线广泛用于汽车、飞机、轮船、火箭等计算机辅助设计中，涉及的问题有两个方面：一是由已知的离散点确定曲线；二是对已知自由曲线，通过交互方式予以修改，使其满足设计者的要求。不规则曲线的描述与表示(一)曲线的样条表示对于曲线而言，最具实际意义的莫过于样条曲线。样条曲线是在生产实践 的基础上产生和发展起来的。传统的处理方法是模线间的设计人员在绘制模线时，先按给定的数据将型值点准确地“点”到图板上。然后，采用一种称为“样条”的工具(一根富有弹性的有机玻璃条或木条)，用压铁强迫它通过这些型值点，再

7、适当调整这些压铁，让样条的形态发生变化，直至取得合适的形状，才沿着样条画出所需的曲线。近年来，计算机能够方便地处理样条曲线问题，复杂曲线形状不可能用单一的曲线模拟，而由几段曲线段彼此首尾相连拼接，要求曲线连接处有连续 的一阶和二阶导数，从而保证各曲线的光滑连接，在计算机图形学中，样条 曲线即指由多项式曲线段连接而成的曲线。不规则曲线的描述与表示(二)插值与逼近给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, , n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。插值和逼近则统称为拟合。(三) 曲线段的数学表示(略)注：本教材中还介绍了Hermite插值样条曲线(Ferguson曲线)、三次Bezier 曲线以及它们之间的关系等。大家在以后的学习中再深入的学习。画法几何学习相关网址 /draw/jinpin/jxdg.htm 09/kechenzx/03-2-3.htm 09/kechenzx/04-2-4.htm /files/study/sinde