导数与积分经典例题以及答案

1、最新资料推荐高三数学导数与积分经典例题以及答案一 . 教学内容：导数与积分二 . 重点、难点：1. 导数公式：yf (x)cf( x)0yf (x)xnf ( x)n x n 1yf (x)sin xf( x)cos xyf (x)cos xf( x)sin xyf (x) a xf( x)ax ln ayf (x)log a xf( x)1log a ex2. 运算公式 f ( x) f ( x)f ( x) g( x)g (x)f (x)g (x)g( x)f ( x) g (x)f ( x)g (x)f ( x)g (x) f (x)g ( x) g2 ( x)3. 切线，过P（ x0

2、, y0 ）为切点的yf (x) 的切线， yy0f ( x0 )( xx0 )4. 单调区间不等式 f (x)0，解为 yf ( x) 的增区间，f (x)0 解为 yf ( x) 的减区间。5. 极值（ 1） x(a, x0 ) 时， f (x) 0 ， x( x0 ,b) 时， f ( x)0f ( x0 ) 为 yf ( x) 极大值（ 2） x(a, x0 ) 时 f (x) 0 ， x(x0 , b) 时， f ( x)0f ( x0 ) 为 yf ( x) 的极小值。1最新资料推荐【典型例题】 例 1 求下列函数的导数。（ 1） y13x37 x21；3x（ 2） yln | x

3、 |；（ 3） yx；1xx2（ 4） y3x ex2xe ；（ 5） yln x；x 21（ 6） yx cos xsin x 。分析：直接应用导数公式和导数的运算法则解析：（1） y(1 )(3x3 )(7 x2 )(1)3x14(x 3 ) 3(x3 ) 7( x2 )01 x 39x 214 x3（ 2）当 x0 时， yln x, y1；x当 x0 时， yln(x) ， y( 1 ) (1)11xxyx（ 3） yx (1xx2 )x(1xx 2 )(1x x2 )21xx2x(012x)1x 2(1 x x 2 ) 2(1 x x2 ) 2（ 4） y(3x ex ) (2x )

4、(e)(3x ) ex3 x (ex )(2x )03x ln 3ex3x ex2 x ln 2(3e) x ln 3e2 x ln 2（ 5） y(ln x) ( x21)ln x(x21)( x21)22最新资料推荐1( x21) 2x ln xx 21 2x2 ln xx(x 21) 2x( x 21) 2（ 6） y( xcos x)(sin x)cosxx sin x cosxx sin x 例 2 如果函数 f ( x)2a ln( x1) 的图象在 x1处的切线 l 过点（ 0，1 ）并且 l 与圆bbC： x 2y 21相离，则点（ a, b）与圆 C 的位置关系。解： f (

5、 x)2a1 l 切2aln 2abx 1y( x 1)bbl 过（ 0，112a ln 2a）bbbb a1ln 412aa1ln 2bbl 与圆相离b1，1a 2a 2b212bb1a2b 2 a 2b21b2b 点（ a, b ）在圆内 例 3 函数 yf ( x), yg( x) 在 a, b 上可导，且 f (x)g ( x) ，则 x(a,b) 时有（）A.f ( x)g( x)B. f ( x) g ( x)C.f ( x)g( a)g (x)f (a)D.f ( x)g(b)g(x)f (b)解： 令 F ( x)f ( x) g (x) F ( x)f( x)g ( x) x

6、 (a,b)F( x)0 x (a,b)F (x)3最新资料推荐 任取 x(a,b)F ( x)F (a)f ( x)g( x)f (a)g(a)即 f ( x)g (a)g( x)f ( a)故选 C 例 4f (x), g (x) 分别为定义在R 上的奇函数、偶函数。x0 时， f ( x) g( x)f ( x) g (x) 0, g( 3) 0 ，则不等式 f ( x) g( x)0 的解为。解： 令 F ( x)f ( x) g (x)F ( x)f ( x) g( x)f ( x) g ( x)x(,0)F ( x)0x( 0,)F ( x)f (x) 奇， g (x) 偶F (x

7、) 奇函数g( 3)0 F ( 3) 0F ( x)0 解为 (, 3)(0,3) 例 5 已知函数 f ( x)ax在 x1处取得极值 2。x 2b（ 1）求 f (x) 的解析式；（ 2） m 满足什么条件时，区间（m,2m1 ）为函数增区间；（ 3）若 P（ x0 , y0 ）为 yf (x) 图象上任一点， l 与 yf ( x) 切于点 P 求 l 的倾斜角的正切值的取值范围。解： f ( x)a( x2b)ax(2x)( x2b)2f (1)2a4f (x)4xf ( x)0b121xf ( x)4(1x2 )0x1(x 21) 2列表 (,1)（ 1， 1）（ 1， +）4最新资

8、料推荐m12m111m 02m1mf( x)4(1x 2 )4( x21)2421( x21)2( x21) 221) 2x 2( x1令1t(0,1x211) 21f( x)4 2t 2t4 2( t1 ,448f(x)2 例 6f (x)1 x31 (b1) x2cx32（ 1） f (x) 在 x=1， x=3 处取得极值，求b,c ；（ 2） f (x) 在 (, x1 ),( x2 ,), ( x1 , x2 )，且 x2x11，求证： b22(b 2c)（ 3）在（ 2）的条件下， tx1 比较 t 2bt c 与 x1 大小关系。解：（ 1） f(x)x2(b1) xcf(1)0

9、bc0b3f(3)063bc0c3 f ( x)1 x32x23x3（ 2） f ( x)x 2(b 1) x cx1x21 bx1 x2cx2 x11( x2x1 )21(x1x2 ) 24 x1 x2112bb24c1 b22(b2c)（ 3） x 2(b 1) x c( x x1 )( x x2 )t 2btc x1t 2(b 1)tc tx1(tx1 )(tx2 ) (t x1 )(tx1 )(t1x2 ) * x2x11 x2x11 t 15最新资料推荐 * 式 0 t 2bt c x1 例 7 已知抛物线 C1 : yx 22 x 和 C 2 : yx2a 。如果直线 l 同时是

10、C1 和 C 2 的切线，称 l 是 C1 和 C 2 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。（ 1） a 取什么值时， C1 和 C2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（ 2）若 C1 和 C2 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。分析：分别利用曲线C1, C2 方程求切线 l 的方程再比较，从而求得a 满足条件；对于（ 2）两条公切线段互相平分，也就是两公切线段的中点坐标相同。解析：（1）函数 yx22x 的导数 y 2x2，曲线 C1 在点 P(x1, x122x1 ) 的切线方程是y (x122x1 ) (2x1 2)( x x1 )即 y (2x1 2

11、) x x12函数 yx 2a的导数 y2x曲线 C2 在点 Q( x2 ,x22a) 的切线方程是y ( x22a)2x2 (x x2 )即 y2x2 x x22a 如果直线l是过 P 和 Q 的公切线，则式和式都是l 的方程x11x2所以x12x22a消去 x2 得方程 2 x122x11a 0442(1a)0 ，即 a11若判别式时解得 x1，此时点 P 与 Q 重合122即当 a时， C1 和 C 2 有且仅有一条公切线21由得公切线方程为yx4（ 2）由（ 1）可知，当 a1时 C1 和 C 2 有两条公切线2设一条公切线上切点为P( x1 , y1 ), Q ( x2 , x2 )

12、 ，其中 P 在 C1 上， Q 在 C2上，则有6最新资料推荐x1x21y1y2x122x1( x22a)x122x1( x1 1)2a1 a线段 PQ 的中点为 (1 ,1a)22同理，另一条公切线段P Q 的中点也是 ( 1 ,1 a )22所以公切线段PQ 和 P Q 互相平分 例 8 已知抛物线y ax 2bxc 过点(1,1) ，且在点 (2,1) 处与直线 yx 3 相切，求a, b, c 的值。解析： yf ( x)ax 2bx c y f (x)2axb 抛物线在点(2, 1) 处与直线 yx 3相切 f ( 2)1，且 f (2) 14a2bc1(1)即4ab1(2)又抛物

13、线过点（1， 1）abc1 （ 3）将（ 1）（ 2）（ 3）联立解得a3,b11, c9 例 9 设函数 yax 3bx 2cxd 的图象与 y 轴的交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为 12xy40 ，若函数在x2 处取得极值为0，试确定函数的解析式。解析： yax3bx2cxd 的图象与 y 轴交点为 P 点 P 的坐标为 ( 0, d ) 曲线在 P 点处的切线方程为y12x4 ，故 P 点坐标适合此方程，将 P(0, d ) 代入后得 d47最新资料推荐又切线的斜率为k12而 y 3ax22bxc ， y |x 0 c c 12又函数在 x2 处取得极值0y |x 20 且 f

14、 (2)012a4b120(1)即8a4b200(2)由（ 1）（ 2）解得 a2, b9y2x39x212x41 例 10 已知曲线y。x（ 1）求曲线在点 P（ 1，1）处的切线方程；（ 2）求曲线过点 Q（ 1， 0）的切线方程；（ 3）求满足斜率为1的曲线的切线方程。3解析：（ 1）y1x2 ，又 P（ 1， 1）是曲线上的点 P 为切点，所求切线的斜率为kf (1)1 曲线在 P 点处的切线方程为y 1(x1) ，即 yx2（ 2）显然 Q（ 1， 0）不在曲线y11) ，则x上，则可设过该点的切线的切点为A(a,1a该切线斜率为 k1f(a)a 211则切线方程为yaa 2 ( x

15、 a) （ * ）将 Q（ 1，0）代入方程（ * ）得111aa0。故所求切线方程为aa 2(1 ) 得2y4x 4（ 3）设切点坐标为A(a,1 ) ，则切线的斜率为k211aa23解得 a3 A(3,3 ) 或 A ( 3,3 ) ，代入点斜式方程得 y31 ( x3) 或33338最新资料推荐y31 (x3)33即切线方程为x3y230 或 x3y230 例 11 已知 a0 ，函数 f ( x)x 3a, x0,) ，设 x10 ，记曲线yf ( x) 在点M ( x1 , f (x1 ) 处的切线为 l 。（ 1）求 l 的方程；（ 2）设 l 与 x 轴交点为 ( x2 ,0)

16、，证明：111x2a 3 ；若 x1a 3 ，则 a 3x2x1 。解析：（1）求 f (x) 的导数：f (x)3x2 ，由此得切线l 的方程：y(x13a)3x12 ( xx1 )（ 2）依题意，切线方程中令y0x2x1x13a2x13a3x123x12111 x2a 3( 2x13a3x12 a3 )3x121112 ( x1a 3 ) 2 (2x1 a 3 )03x111 x2a 3当且仅当 x1a 3 时等号成立1x13a1 若 x1a 3 ，则 x13a0 ， x2x10 ，且由 x2a 3 ，所以3x121a 3 xx2x1 例 12设函数 f (x)ax(a1) ln( x1)

17、 ，其中 a1，求 f (x) 的单调区间。解析： 由已知得函数f ( x) 的定义域为 ( 1,) ，且 f ( x)ax1 ( a1)x1（ 1）当1a0 时，由 f( x)0 知，函数 f (x) 在 ( 1,)上单调递减9最新资料推荐（ 2）当 a0 时，由 f (x)01，解得 xaf ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表：x( 1, 1 )1( 1, )aaaf ( x)0+f ( x)极小值从上表可知当 x( 1,1 ) 时， f (x)0，函数 f ( x) 在 (1,1 ) 上单调递减aa当 x( 1 ,) 时， f(x)0 ，函数 f ( x) 在 ( 1,

18、) 上单调递增aa综上所述：当 1a0时，函数 f ( x) 在 ( 1,) 上单调递减当 a0 时，函数 f (x) 在 ( 1, 1 ) 上单调递减，f ( x) 在 ( 1 ,) 上单调递增aa 例 13 已知函数 f (x) ax33x2x1 在 R 上是减函数，求a 的取值范围。分析：因为 f ( x) 在 R 上为减函数， 即 f(x)0 在 R 上恒成立， 再解不等式即可得解。解析： 求函数 f (x) 的导数： f(x)3ax 26x1（ 1）当 f( x)0(xR) 时，f ( x) 是减函数3ax 26x10(xR)a0，且3612a0a3所以，当 a3 时，由 f(x)0

19、 知 f ( x)( xR) 是减函数；（ 2）当 a3 时， f ( x)3x33x 2x13( x1) 3839由函数 yx3 在 R 上的单调性，可知当 a3 时， f (x)( xR) 是减函数；（ 3）当 a3 时，在 R 上存在一个区间，其上有f ( x)0所以，当 a3 时，函数f (x)( xR) 不是减函数综上，所求 a 的取值范围是(, 310最新资料推荐 例 14 设 a 为实数，函数f ( x)x 3ax 2(a21)x 在 (,0) 和 (1,) 上都是增函数，求 a 的取值范围。解析：f(x)3x22(a21)ax其判别式4a212a 212128a 2（ 1）若1

20、2 8a 20 ，即 a62当 x(, a ) 或 x( a ,) 时， f( x)0 ， f ( x) 在 (,) 上为增函数33 a62（ 2）若128a 20 ，恒有 f( x)0 ， f ( x) 在 (,) 上为增函数 a 23即 a (,6 )(6 ,)222（ 3）若12 8a 20 ，即6a6 ，令 f ( x) 022解得 x1a32a 2a32a23， x23当 x(, x1 ) 或 x(x2 ,) 时， f (x)0， f (x) 为增函数当 x(x1, x2 ) 时， f(x)0， f (x) 为减函数依题意 x10 得 x21由 x10 得 a32a 2，解得 1a6

21、2由 x21 得 3 2a 23 a解得6a622从而 a1,6 )2综上， a 的取值范围为 (,6 6 ,) 1,6 )22211最新资料推荐即 a ( ,6 1, )2【模拟试题】（答题时间： 60分钟）1. 已知曲线 yx 23 ln x 的一条切线的斜率为1 ，则切点的横坐标为（）421A. 3B. 2C. 1D.22.设 a0 ， f ( x) ax 2bx c ，曲线 yf (x) 在点 P(x0 , f ( x0 ) 处切线的倾斜角的取值范围为 0, ，则 P 到曲线 yf (x) 对称轴距离的取值范围是（）4A. 0, 1 B.0,1 C. 0,| b |D. 0, | b

22、1 |a2a2a2a3.在函数 yx38x 的图象上， 其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数4是（）A. 3B. 2C. 1D. 04.ylnln(lnx) 的导数为（）A.1B.1x ln(ln x)ln x ln(ln x)C.1D.1x ln xln(ln x)ln(lnx)5.已知函数 f (x) 在 x1处的导数为3，则 f ( x) 的解析式可能为（）A.f ( x)( x1) 33( x1)B. f (x)2( x1)C.f ( x)2( x1)2D.f ( x)x16.设 f (x), g (x)分 别 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ， 当

23、x0 时 ，f ( x)g ( x)f (x) g (x)0，且 g (3)0 ，则不等式f ( x) g (x)0 的解集是（）A.(3,0)(3,)B.(3,0)( 0,3)C. (,3)(3,)D.(, 3)(0,3)7.函数 y( x2a)( xa)2 的导数为（）12最新资料推荐A. 2( x2a 2 )B. 3( x2a 2 )C. 3( x2a 2 )D. 2( x2a2 )8. 设 f ( x) 是函数 f (x) 的导函数， yf (x) 的图象如下图所示，则 yf ( x) 的图象最有可能的是（）9. 函数 y( x1) 2 ( x 1) 在 x1 处的导数等于（）A. 1

24、B. 2C. 3D. 410.已知 f ( x) 与 g( x) 是定义在 R 上的连续函数，如果f (x) 与 g(x) 仅当 x0 时的函数值为 0，且 f (x)g (x) ，那么下列情形不可能出现的是（）A. 0 是 f ( x) 的极大值，也是g( x) 的极大值B. 0 是 f ( x) 的极小值，也是g ( x) 的极小值C. 0 是 f ( x) 的极大值，但不是g( x) 的极值D. 0 是 f ( x) 的极小值，但不是g( x) 的极值11.已知二次函数f ( x)ax 2bxc 的导数为 f (x), f (0)0 ，对于任意实数，都有f ( x)0 ，则f(1)的最小

25、值为（）f(0)A. 3B.5C. 232D.212.设函数 f (x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线yf ( x) 在 x5 处的切线的斜率为（）1B. 01D. 5A.C.5513.已知对任意实数x，有 f (x)f ( x) ， g( x)g(x) ，且 x 0 时， f (x) 0 ，13最新资料推荐g (x)0，则 x0 时（）A.f (x)0, g ( x) 0B.f (x)0, g ( x) 0C.f (x)0, g (x) 0D.f( x)0, g ( x)014. 若曲线 yx4的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为（）A. 4x y 3

26、0B. x 4 y 50C. 4x y 3 0D. x 4 y 3 015. 设 f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数，将 yf (x) 和 y f( x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）16. 若对任意 xR, f (x)4x3 ， f (1)1，则 f (x) 是（）A.f ( x)x 4B.f ( x)x42C.f ( x)4x 35D.f ( x)x 4217.f (x) 是定义在 (0,) 上的非负可导函数，且满足 xf ( x)f ( x)0 任意正数 a, b ，若 ab，则必有（）A.af (a)f (b)B.f (b)f ( a)C. af (b)bf ( a)D.bf (a)af (b)18. 曲线 y1 x3 2 在点 ( 1, 7 ) 处切线的倾斜角为（）33A. 30 B. 45 C. 135D