立体几何10道大题

1、立体几何练习题1.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知，.（1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）求证：；（3）求直线与面所成角的正弦值.2.如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是平行四边形，ad=ac=1，o为ac的中点，po平面abcd，po=2，m为pd的中点。（1）证明：pb/平面acm；（2）证明：ad平面pac（3）求直线am与平面abcd所成角的正切值。3. 如图，四棱锥中，与都是等边三角形（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值4.如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，acad底面abcd为梯形，abdc，abbc，pa=ab=bc=3，点e在棱pb上

2、，且pe=2eb（）求证：平面pab平面pcb；（）求证：pd平面eac；（）求平面aec和平面pbc所成锐二面角的余弦值5.如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，且 （1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角的余弦值.6.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，平面a1bc侧面a1abb1，且aa1=ab=2（1）求证：abbc；（2）若直线ac与平面a1bc所成的角为，求锐二面角aa1cb的大小7.在四棱锥vabcd中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面vad底面abcd（1）求证ab面va

3、d；（2）求面vad与面vdb所成的二面角的大小8.如图，在五面体abcdef中，四边形abcd为菱形，且bad=，对角线ac与bd相交于o，of平面abcd，bc=ce=de=2ef=2（） 求证：efbc；（）求面aof与平面bcef所成锐二面角的正弦值9.如图，在四棱锥pabcd中，底面为直角梯形，adbc，bad=90，pa底面abcd，且pa=ad=ab=2bc，m、n分别为pc、pb的中点（）求证：pbdm；（）求bd与平面admn所成的角10.如图，在等腰梯形中，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.立体几

4、何试卷答案（2）证明：连接ac， ，由余弦定理得， 6分取中点，连接，则. 面 8分（）如图，以射线oa为轴，以射线ob为轴，以射线os为轴，以为原点，建立空间直角坐标系, b y sca d2、试题解析：（1）证明：为ac的中点，即o为bd的中点，且 m为pd的中点，又平面acm，平面acm,所以pb/平面acm。（2）证明：因为，ad=ac，所以，所以,又po平面abcd，所以所以ad平面pac。（3）取od的中点为n，因为所以mn平面abcd，所以为直线am与平面abcd所成角。因为ad=ac=1，所以所以又所以3.（1）证明见解析；（2）试题解析：（1）证明：过作平面于，连依题意，则又

5、为，故为的中点面，面面在梯形中，4.【解答】（）证明：pa底面abcd，bc底面abcd，pabc又abbc，paab=a，bc平面pab又bc平面pcb，平面pab平面pcb（）证明：pcad，在梯形abcd中，由abbc，ab=bc，得bac=，dca=bac=，又acad，故dac为等腰直角三角形，dc=ac=（ab）=2ab连接bd，交ac于点m，则=2连接em，在bpd中， =2，pdem，又pd/平面eac，em平面eac，pd平面eac（）解：以a为坐标原点，ab，ap所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则a（0，0，0），b（0，3，0），c（3，3，0），p

6、（0，0，3），e（0，2，1）设=（x，y，1）为平面aec的一个法向量，则，=（3，3，0），=（0，2，1），解得x=，y=，=（，1）设=（x，y，1）为平面pbc的一个法向量，则，又=（3，0，0），=（0，3，3），解得x=0，y=1，=（0，1，1）（取pb中点为f，连接af可证为平面pbc的一个法向量）cos，=|=，平面aec和平面pbc所成锐二面角的余弦值为.注：以其他方式建系的参照给分5.（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）连接，交于点，连接，证明平面，从而即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）连接，交于点，连接，则平面，

7、 为中点，为中点，为的中位线，又平面平面，平面平面，平面，6【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取a1b的中点d，连接ad，因aa1=ab，则ada1b 由平面a1bc侧面a1abb1，且平面a1bc侧面a1abb1=a1b。得ad平面a1bc，又bc平面a1bc，所以adbc因为三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，则aa1底面abc，所以aa1bc又aa1ad=a，从而bc侧面a1abb1，又ab侧面a1abb1，故abbc（2）解：连接cd，由（1）可知ad平面a1bc，则cd是ac在平面a1bc内的射影acd即为直线ac与平面a1bc所成的角，则在等腰直角a1ab中，aa1=

8、ab=2，且点d是a1b中点，且，过点a作aea1c于点e，连de由（1）知ad平面a1bc，则ada1c，且aead=aaed即为二面角aa1cb的一个平面角，且直角a1ac中：又，且二面角aa1cb为锐二面角，即二面角aa1cb的大小为7.【解答】证明：（1）由于面vad是正三角形，设ad的中点为e，则vead，而面vad底面abcd，则veab又面abcd是正方形，则abad，故ab面vad（2）由ab面vad，则点b在平面vad内的射影是a，设vd的中点为f，连af，bf由vad是正，则afvd，由三垂线定理知bfvd，故afb是面vad与面vdb所成的二面角的平面角设正方形abcd的

9、边长为a，则在rtabf中，ab=a，af=a，tanafb=故面vad与面vdb所成的二面角的大小为8. 【解答】（本小题满分12分）证明：（）四边形abcd为菱形adbc，且bc面adef，ad面adef，bc面adef，且面adef面bcef=ef，efbc 解：（）fo面abcd，foao，foob又obao，以o为坐标原点，oa，ob，of分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取cd的中点m，连om，em易证em平面abcd又bc=ce=de=2ef=2，得出以下各点坐标：b（0，1，0），c（，0，0），d（0，1，0），f（0，0，），e（，），向量=（，），向量=（，1，0），向量，设面bcfe的法向量为：，得到，令时， =（1，1），面aof的一个法向量，设面aof与面bcef所成的锐二面角为，则cos=，sin=故面aof与面bcef所成的锐二面角的正弦值为99如图，以a为坐标原点建立空间直角坐标系axyz，设bc=1，则a（0，0，0）p（0，0，2），b（2，0，0），m（1，12，1），d（0，2，0）（）因为=0所以pbdm（）因为=0所以pbad又pbdm因此的余角即是bd与