8 3 1-8 3 2 几个初等函数的麦克劳林展开式

1、8.3函数的幂级数展开及其应用8.3.1泰勒级数f ( x)在某一点 x0的邻域内有直到(n + 1) 阶导数，已知：若则在该邻域内f ( x) 的 n 阶泰勒公式：f ( x0 ) ( x - xf ( x) =f ( x) +f ( x)2)( x - x) +00002!f (n) ( x0 )nL +( x - x0 )+ Rn ( x)n!其中 Rn ( x) 的拉格朗日型余项f (n+1) (x )n+1Rn ( x) =( x - x0 )(n + 1)!(x 在 x0 与 x 之间)则在该邻域内f ( x0 ) ( x - xf ( x) +f ( xf ( x) P ( x)

2、 =)2)( x - x) +0000n2!f (n) ( x0 )nL +( x - x0 )n!其误差为| Rn ( x) |显然随着 n 的增大误差| Rn ( x) | 越来越小因此可以通过增加多项 式的项数来提高精确度定义1如果 f ( x)在(n = 1, 2,L)x0的某个邻域 N ( x0 ,d ) 内存在各阶导数这时可以设想(n) ( x)0fPn ( x) 的项数趋于无穷而成为 幂级数：f ( x0 ) ( x - xf ( x) +f ( x(1)2)( x - x) + L00002!称之为 f ( x)在基点 x = x0的泰勒级数或展开为( x - x0 ) 的幂级

3、数该级数在x = x0 时收敛注.(1) 显然且收敛于 f ( x0 )(1) 式中取x0 = 0，得(2)特别地f (0) +f (0)x + f (0) x 2 + L(2)2!称之为 f ( x) 的马克劳林级数(3)注.如果f ( x)能展开成x的幂级数，则这种展开式是唯一的若f ( x)在x0的某个邻域N( x0 )内存在根据泰勒级数的定义各阶导数， 则可作出它的泰勒级数；但反过来这个泰勒级数却不一定收敛或者收敛时其和函数未 必是 f ( x)e - x - 2x 0,x = 0.f (n) (0) = 0， (n = 1, 2, 3,L),f ( x) = 例如0,容易知道： f

4、(0) = 0于是其马克劳林级数为 f (0) 2!f (n) (0)f (0) +f (0)x +2nx+ L +x+ Ln!收敛，并且其和函数是 0显然此级数在实数域上但 x 0 时f ( x) 0 f (0) 2!( n) (0)ff ( x) f (0) +f (0)x +x+ L + L2nx即n!定理21设函数 f ( x)在点 x0的某个邻域内具有各阶导数则 f ( x) 在该邻域内能展成泰勒级数的充要条件是：f ( x) 的泰勒公式中的余项 Rn ( x) 当 n 时极限为 0，limRn ( x) = 0即nf ( x) 展开成 x 的幂级数的步骤：求出 f ( x) 的各阶

5、导数 f ( x), f ( x),L将1.如果在 x = 0 的某阶导数不存在就停止进行求 f (0), f (0), f (0),L, f写出幂级数( n) (0),L2.3. f (0) 2!( n) (0)ff (0) +f (0)x +x+ L +x+ L2n(3)n!并求出其收敛半径 r考察在收敛区间(-r, r) 内余项 Rn ( x)4.f (n+1) (x )n+1lim Rn ( x) =limnx(n + 1)!n是否为 0若是，则 (3) 即为 f ( x) 的幂级数展开式8.3.2 几个初等函数的麦克劳林展开式将 f ( x) = e x 展开成 x 的幂级数1解f

6、(n) ( x) = e x易知则f (n) (0) = 1(n = 1, 2,L)f (0) = 1且11x 2xn1 + x + L + L于是幂级数为2!n!lim (n + 1)! = +r =其收敛半径为n!n x R考察余项Rn ( x)| x |n+1ex|x|n+1 e(n + 1)!| Rn ( x) |=(n + 1)! x(x 在 0 与 x 之间)| x |n+1xn|x|= 0lim收敛从而由于 e有限并且级数n (n + 1)!n!n=0于是 lim Rn ( x) = 0因而得到n11e xx 2xn= 1 + x + L + L， (- x +)2!n!特别当

7、x = 1 时= e = 1 + 1 + 1 + L + 1+ L 1n=0 n!2!n!将 f ( x) = sin x 展开成幂级数2.解已知：f (n) ( x) = sin(x + n p )（n = 1, 2,L）2f (0) = 1f (0) = 0f (0) = 0则f (0) = -1f (2m) (0) = 0于是其幂级数为f (4) (0) = 0，Lf (2m+1) (0) = (-1)m，L111x 2n+1x 3x5- L + (-1)nx -+ L(2n + 1)!3!5!由于2n+12n-12xxx 1= 0= limlimn (2n + 1)!(2n - 1)!

8、n (2n + 1)(2n)所以收敛半径为r = +| x |n+1sin(n+1) xn+1Rn ( x) = x Rx(n + 1)!(n + 1)!| x |n+1xn= 0,则 lim由于级数收敛n (n + 1)!n!n=0从而 lim Rn ( x) = 0n因而得到幂级数115!1x 2n+1x 3x5- L + (-1)nsin x = x -+ L(2n + 1)!3!(- x +)将 f ( x) = (1 + x)a(a 为常数) 展开成幂级数f ( x) 的各阶导数：3.解f ( x) = a (a - 1)(1 + x)a -2f ( x) = a (1 + x)a

9、-1Lf (n) ( x) = a (a - 1)L(a - n + 1)(1 + x)a -n，Lf (0) = 1f (n) (0) = a (a - 1)L(a - n + 1)， (n = 1, 2,L)于是其幂级数为得到1 + ax + a (a - 1) x 2+ L + a (a - 1)L(a - n + 1) xn+ L2!其收敛半径为r =n! n + 1cn= 1limn= limn a - ncn+1设这个级数在 (-1 , 1) 内的和函数为 S( x)下面证明 S( x) =f ( x)根据逐项求导，可知S( x) = a + a (a - 1)x + L + a

10、(a - 1)L(a - n + 1) xn-1+(n - 1)!+ La (a - 1)L(a - n)xn+n!上式两边同乘 (1 + x)考察右端xn 的系数+ a (a - 1)L(a - n + 1)a (a - 1)L(a - n)(n - 1)!n!= a a (a - 1)L(a - n + 1)n!所以(1 + x)S( x)a (a - 1)a (a - 1)L(a - n + 1)n!= a 2n1 + ax +x+ L + Lx2!= a S( x)其初始条件为x (-1 , 1)解得 S( x) = (1 + x)a=f ( x)S(0) = 1于是 f ( x) = (1 + x)a的展开式为(1 + x)a= 1 + a x + a (a - 1) x 2+ L + a (a - 1)L(a - n + 1) xn+ L2!n!(-1 x 1)在区间的端点 x = -1或 x = 1处，展开式