专项突破二 解三角形在高考中的热点题型

1、专项突破二解三角形在高考中的热点题型2021新亮剑高考总复习第四章专项突破二 解三角形在高考中的热点题型解三角形是高考的必考点和热点,解答题中与数列交替出现.解三角形以解答题形式进行考查时,有如下热点题型和考查方向:与面积或周长综合考查时,考查正弦、余弦定理及三角形面积公式的应用;与三角函数或向量综合考查时,考查三角恒等变换、三角函数的性质与解三角形等知识的综合应用.此外,利用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题也是考查的热点.2热点1三角形中的面积与周长等有关量的计算目录CONTENTS热点2解三角形的综合应用热点3解三角形在实际生活中的应用热点 1 三角形中的面

2、积与周长等有关量的计算正弦、余弦定理与三角形的面积的综合问题,若条件中存在已知角,则只需计算已知角的两条邻边的乘积即可;若条件中不存在已知角,则利用正弦定理和余弦定理进行化简求值,计算出其中一个内角的正弦,再求两条邻边的乘积.周长问题分为边长定量和不定量,边长定量时只需解三角形即可, 边长不定量时可预设一个参变量,把三角形三边用该参变量表示,利用函数性质或基本不等式计算最值或范围.4题型一三角形的面积问题例 1(2020 届安徽江淮十校模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若 sin2A-sin2B=3sin2C,cos A=-1.3(1) 求sin ;sin (2)

3、若 a=2,求ABC 的面积.解析解由余弦定理由正弦定理得sin = =3sin (2) 由(1)可知 b=3c,由余弦定理得c2= 1 a2=1, 则 c= 3,b= 3.1233cos A=-1,sin A= 1-cos2=2 2.33ABC 的 面 积 S=1bcsin A=1 3 32 2= 2.223336例 2(2020 届云南昆明月考)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 bsin A=acos - .6(1) 求角 B 的大小;(2) 若 D 为 AC 的中点,且 BD=1,求 SABC 的最大值.解析7解析(1)由正弦定理及 bsin A=acos -

4、 ,得sin BsinA=sin Acos - .66由 A(0,)知 sin A0,则 sin B=cos B- = 3cos B+1sin B,622化简得sin B= 3cos B,tan B= 3. 又 B(0,),B=.3(2)如图,S=1acsin B= 3ac,ABC24又 D 为 AC 的中点,2 = + ,等式两边同时平方得 4 2= 2+2 + 2,所以 4=a2+c2+2 =a2+c2+ac3ac,则 ac4,当且仅当 a=c 时取等号,3因此ABC 面积的最大值为 34= 3.4338方法总结：求三角形面积的方法(1) 若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)

5、,结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积;(2) 若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 9题型 2三角形的周长问题例 3(2020 届广东珠海模拟)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且2acos A=ccos B+bcos C.(1) 求角 A 的大小;(2) 若 a=2,求ABC 周长的取值范围.解析10解析(1)在ABC 中,2acos A=ccos B+bcos C,2sin Acos A=sin Ccos B+sin Bcos C,即 2sin Acos A=si

6、n(C+B)=sin A.A(0,),sin A0,cos A=1.2A(0,),A= .3(2)由于 a=2,A= ,由余弦定理得 cos A=2 + 2 - 2 =1,322bc=b2+c2-4=(b+c)2-4-2bc,bc=(+)2-4.3又根据基本不等式得 bc +2,(+)2 -4 + 2,232解得 b+c4(当且仅当 b=c=2 时等号成立).又三角形两边之和大于第三边,b+c2.a=2,ABC 周长 a+b+c 的取值范围为(4,6. 例 4在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos C+ccos A+2bcos B=0.(1) 求角 B 的大小;

7、(2) 若ABC 的面积为3 3,其外接圆的半径为5 3,求ABC 的周长.43解析解析(1)因为 acos C+ccos A+2bcos B=0,由正弦定理得 sin Acos C+sin Ccos A+2sin Bcos B=0,所以 sin(A+C)+2sin Bcos B=0.由 A+C=-B,得 sin B+2sin Bcos B=0.又 B(0,),所以 sin B0,所以 1+2cos B=0,解得 cos B=-1.所以 B=2.23(2)由(1)知 B=2,且外接圆的半径为5 3,33由正弦定理得 =25 3,解得 b=5.由余弦定理得 25=a2+c2+ac. 332因为A

8、BC 的面积为3 3,所以1acsin B= 3ac=3 3,解得 ac=3,4244所以 25=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=(a+c)2-3,解得 a+c=2 7,所以ABC 的周长 L=a+c+b=2 7+5.方法总结：边的最值(或范围)问题,一般是通过三角形中的正弦、余弦定理将边转化为角的三角函数值,再结合角的取值范围求解,有时也可利用均值不等式求解. 热点 2解三角形的综合应用解三角形常与三角函数、三角恒等变换、平面向量、函数等知识综合考 查.解题思路:一是把其他条件转化为三角形边角关系的一个等式,再利用解三角形求解;二是利用解三角形表示其中一个变量的函数式,利用函数或基本不

9、等式求解.型 1 解三角形与三角函数的综合应用1(2020 届银川高三月考)已知向量 a=(cos x+sin x,sin x),b=(cos x-sin x,2cos x), f(x)=ab.1) 求函数 f(x)的单调增区间;2) 若ABC 的三个角 A,B,C 所对边分别是 a,b,c,且满足 A=,f(B)=1, 3a+ 2b=10,求 c3.解析=cos2x-= 2sin 2 +4由-+2k2x+2k242f(x)的单调递增区间是 - 38+ (2)由 f(B)=1,得 sin 2 +0B,B=.4 = 2.42设=k,则 3ksin+ 2ksin=10,得5k=10,解得sin s

10、in sin 342c=ksin C=4sin(A+B)=4 sincos+cossin= 6+ 2.3434例 2(2020 届辽宁五校联考)已知函数 f(x)=cos2x+ 3sin(-x)cos(+x)-1.2(1) 求函数 f(x)在0,上的单调递减区间;(2) 在锐角ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求ABC 的面积.解析解析(1)f(x)=cos2x- 3sin xcos x-1=1+cos 2- 3sin 2x-1=-sin 2- ,22226由 2k-2x-2k+,kZ,得 k-xk+,kZ.262

11、63又 x0,所以函数 f(x)在0,上的单调递减区间为 0, 和 5 , .36(2)由(1)知 f(x)=-sin 2- ,619所以 f(A)=-sin 2A-6=-1.因为ABC 为锐角三角形,所以 0A,所以-2A-5,所以 2A-=,即 A=.2666623又 bsin C=asin A,所以 bc=a2=4,所以 S=1bcsin A= 3.ABC2方法总结：解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面:(1) 利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形; (2)解三角形与三角函数图象与性质的综合应用. 20题型 2与解三角形有关的最值(或范围)问题例 3(2020 届河南南

12、阳月考)已知函数 f(x)=sin xcos - +cos2x-1.62(1) 求函数 f(x)的最大值,并写出当 f(x)取最大值时 x 的取值集合;(2) 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)=1,b+c=3,求 a 的最小值.2解析解析(1)f(x)=sin x 3 cos +1 sin +cos2x-1= 3sin xcos x+1cos2xin2 +22cos2 +24=sin 2 +2 +,64当 2x+=2k+(kZ),即 x=k+(kZ)时,sin 2x+=1,6266此时 f(x)取得最大值,最大值为3,4当 f(x)

13、取得最大值时,x 的取值集合为 x x=k+,kZ .6(2)由(1)知 f(A)=1sin 2 + +1=1,sin 2 + =1.264262A(0,),2A+ , 13 ,2A+ =5,解得 A= .666663在ABC 中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc.3b+c=3,(b+c)2-3bc(b+c)2-3 + 2=1(b+c)2=9(当且仅当 b=c 时取等号),即a29,a 的最小值为3.24442例 4(2020 届山西忻州模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sin +sin -sin -2 3a=0.sin si

14、n 3(1) 求角 C;(2) 若ABC 的中线 CE 的长为 1,求ABC 的面积的最大值.解析解析(1)由sin +sin -sin -2 3a=0 及正弦定理得 +-=2 3a,即 2+ 2- 2= 2sin sin 33sin C,3sin 3由余弦定理得 cos C= 3sin C,tan C= 3.3C(0,),C= .3(2)在ACE 中及BCE 中,由余弦定理得b2=1+ 24-212cosCEA,a2=1+ 24-212cosCEB,由+得b2+a2=2+ 22,即 2(b2+a2)=4+c2.c2=a2+b2-2abcosC,a2+b2=4-ab2ab,ab4,当且仅当 a

15、=b 时取等号,3S=1absin C14 3= 3.ABC22323方法总结: 利用三角函数的有关公式,结合三角形的面积公式及正弦、余弦定理,将问题转化为边或角的关系,利用函数或不等式是一种解决此类问题的常规方法. 热点 3解三角形在实际生活中的应用题型 1测量距离问题例 1(2020 届江西赣州模拟)如图,为了测量 A,B 两处岛屿的距离,小明在 D 处观测,A、B 分别在 D 处的北偏西 15、北偏东 45方向,再往正东方向行驶 40 海里至 C 处,观测 B 在C 处的正北方向,A 在 C 处的北偏西 60方向,则 A,B 两处岛屿间的距离为(A ).A.20 6 海里B.40 6 海

16、里C.20(1+ 3) 海里D.40 海里26答案解析解析由题意可知,BDC=90-45=45,又BCD=90, BC=CD=40(海里).在ADC 中,ADC=105, ACD=90-60=30, DAC=45.由正弦定理可得 AC=40sin 105=20( 3+1)(海里).sin 45在ABC 中,由余弦定理得 AB= 2 + 2-2cos60=20 6(海里).故选 A.27例 2 如图,为了测量河对岸 A,B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C;并测量得

17、到 CD=2,CE=2 3,D=45, ACD=105, ACB=48.19, BCE=75,28答案解析E=60, 则 A,B 两点之间的距离为 10. cos 48.19 23解析依题意知,在ACD 中,CAD=30,由正弦定理得 AC=sin 45=2 2.sin 30在BCE 中,CBE=45,由正弦定理得 BC=sin 60=3 2.sin 45在ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=10,所 以 AB= 10.29方法总结: 求距离问题的策略(1) 选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把

18、未知量放在另一确定三角形中求解.(2) 确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 题型 2 测量高度问题例 3 (2020 届衡水模拟)如图,为了测量河对岸电视塔 CD 的高度, 小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30, 塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15角,小王向前走了 1200 m 到达 M 处,测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60角,则电视塔 CD 的高度为 600 2 m.31答案解析解析在ACM 中,MCA=60-15=45, AMC=180-60=120,32由正弦定理得=,即1200 = ,解得 AC=600 6.sin sin 22 32

19、在 ACD 中 ,tanDAC= 3,DC=600 6 3=600 2.33例 4(2020 届大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔 AB 的高度,先取与发射塔底部 B 在同一水平面内的两个观测点 C,D,测得BDC=60, BCD=75, CD=40 m,并在点 C 的正上方 E 处观测发射塔顶部 A 的仰角为 30, 且 CE=1 m,则发射塔高33答案解析AB=(A ).A.(20 2+1)mB.(20 3+1)mC.20 2 mD.(40 2+1)m解析如图,过点 E 作 EFAB,垂足为 F,则 EF=BC,BF=CE=1,AEF=30.在BCD 中,由正弦定理得 BC=sin =

20、40sin 60=20 6,34所 以 EF=20 6,sin sin 45在 RtAFE 中 ,AF=EFtan AEF=20 6 3=20 2,3所 以 AB=AF+BF=(20 2+1) m.方法总结: 求解高度问题的三个关注点(1) 在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键;(2) 在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的情况,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. 题型 3测量角度问题例 5如图,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,则 21cos 的值为14.答案解析解由余弦定理得 BC由正弦定理得sin =,sin 由BAC=120, 知ACB 为锐角,则 cosACB7由 =ACB+30,得 cos =