微分几何第四版习题答案解析梅向明

1、.1 曲面的概念rsin v , bv 的坐标曲线 .1. 求正螺面 r = u cos v ,ur,usin v0 ,bv 0 = 0,0 ，bv 0 u cos v0 , sin v0 ,0 ，解 u- 曲线为 r =u cos v0rsin v ,bv 为圆柱螺线为曲线的直母线； v- 曲线为 r = u0 cos v , u0r证明双曲抛物面r a（ u+v）, b （u-v ）,2uv 的坐标曲线就是它的直母线。ra（u+v0 ）,b（u- v0 ）,2u v0 =a v0 ,b v0 ,0+ ua,b,2v0 证 u- 曲线为 r =表示过点 av0 , bv0 ,0以 a,b,2

2、v0 为方向向量的直线 ;v-曲线为 r （）（ u0）u0 v=a u0 , bu0 ,0u0 r =au 0 +v ,b-v ,2+va,-b,2表示过点 (a u0 , b u 0 ,0)以 a,-b,2u 0 为方向向量的直线。r a cossin , a cossin , a sin 上任意点的切平面和法线方程。3求球面 r =解 r =a sincos, a sinsin, a cos，r=a cossin, a cos cos,0.xa cos cosya cossinza sin任意点的切平面方程为a sincosa sinsina cos0a cossina coscos0即

3、 xcoscos+ ycossin+ zsin- a = 0；法线方程为xa coscosy a cossinza sin。coscoscos sinsin4求椭圆柱面x2y21 在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线， 此a2b2曲面只有一个切平面。解 椭圆柱面x2y21 的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,a2b2r a sin,b cos ,0,rt0,0,1。所以切平面方程为：xa cosyb sinzta sinb cos00 ，即 x bcos+ y asin a b = 0001此方程与 t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一

4、数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。5证明曲面 r , a 3的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常u vuv数。33uv3 z 3 。证 ru 1,0,a2 ， rv 0,1,a2 。切平面方程为： xyuvuvuva与三坐标轴的交点分别为 (3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2) 。于是，四面体的体积为：uv.V1 3| u | 3 | v | 3a39 a3 是常数。6| uv |2曲面的第一基本形式1.r a（ u+v）, b （u-v ） ,2uv 的第一基本形式 .求双曲抛物面 r解ru , ,2 ,a,2 ,2a2b24v2 ,a

5、b v rvb u E ruF rurva2b 24uv, Grv2a 2b 24u 2 ,错误!未找到引用源。=(a 2b24v 2 )du 22 (a 2b 24uv)dudv( a2b 24u2 ) dv 2 。ru cos v ,usin v , bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互求正螺面 r =相垂直。解rucos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv, b ， Eru21 ， F ru rv 0 ，G rv2u 2b 2 ，错误 ! 未找到引用源。 = du 2(u2b 2 )dv 2 ，坐标曲线互相垂直。在第一基本形式为 错误 ! 未找到引用源。= du

6、2sinh 2 udv 2 的曲面上，求方程为 u = v 的曲线的弧长。解 由条件 ds2du 2sinh 2 udv 2 , 沿曲线u = v有 du=dv ，将其代入 ds2 得ds 2du 2sinh 2 udv 2 = cosh2 vdv2 ，ds = coshvdv ,在曲线 u = v 上，从 v1 到 v 2 的v2弧长为 | cosh vdv | | sinh v2 sinh v1 | 。v14设曲面的第一基本形式为 错误 ! 未找到引用源。 = du 2(u 2a 2 )dv 2 ，求.它上面两条曲线u + v = 0 ,uv = 0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的

7、内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E1，Fv0 ，G u 2a 2 ，曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0,v = 0, 交点处的第一类基本量为 E1 ，Fv0 ， G a 2 。曲线 u + v = 0的方向为 du = -dv , u v = 0的方向为 u= v ,设两曲线的夹角为，则有cos =Edu uGdv u1a 2。Gdv2E u 2G v 21a 2Edu25求曲面 z = axy上坐标曲线 x = x0,y = y0 的交角 .r=x,y,axy,坐

8、 标曲线 x = x 0的向 量表 示为解 曲面 的向 量表 示为 rrrr = x 0 ,y,ax 0 y ，其切向量 r y =0 ，1，ax 0 ；坐标曲线 y = y0 的向量表示为 r =x ,y0 ,ax y 0 ，其切向量 rx =1 ，0，a y0 ，设两曲线 x = x0 与 y = y0的夹角为，则rx r ya 2 x0 y0有 cos =| rx | r y |1 a2 x02 1 a 2 y026. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的方程 .解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为u: v , 则有Edu u + F(du v + dv u)+

9、 G d v v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的正交轨线的微分方程为E u + F v = 0 .同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为Fu + G v = 0 .7. 在曲面上一点 , 含 du ,dv 的二次方程 Pdu 2 + 2Q dudv + R dv 2 ，确定两个切方向（ du ：dv）和（ u ：v）， 明 两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0. 明因 du,dv 不同 零，假定 dv0， 所 二次方程可写成 P( du ) 2 +u ,u = R ， du +u =dv2Qdu + R=0 , 其二根 du ,则 du2Q 错误 !

10、 未找到引dvdvvdvvPdvvP用源。又根据二方向垂直的条件知E du u+ F(du +u )+ G = 0 错误 ! 未找dvvdvv到引用源。将 错误 ! 未找到引用源。 代入 错误 ! 未找到引用源。 得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 明曲面的坐 曲 的二等分角 的微分方程 Edu 2 =Gdv 2 . 用分 用、d 表示沿 u曲 ，v曲 及其二等分角 的微分符号，即沿 u曲 u， v，沿 v曲 u，v沿二等分角 方向 du:dv , 根据 条件 , 又交角公式得(Edu v Fdv u) 2(Fdu v Gdv v)2( Edu Fdv) 2( Fdu Gdv)2E

11、 u 2 ds2G v 2 ds 2，即EG。展开并化 得E(EG-F 2 ) du 2 =G(EG-F 2 ) dv 2 , 而 EG-F 2 0，消去 EG-F 2 得坐 曲 的二等分角 的微分方程 Edu 2 =Gdv 2 .9 曲面的第一基本形式 错误 ! 未找到引u=avu用源。 = du 2(u 2a 2 ) dv 2V=1，求曲面上三条曲 vu = a v, v =1o相交所成的三角形的面 。u=-av解 三曲 在平面上的 形（如 ）所示。曲.线围城的三角形的面积是01a1S=u2a 2 dudvu 2a 2 dudvau0uaaau 2a 2 du1au )u2a 2 du=2

12、dv =2(10u0aa23=(u2a 2 ) 2uu 2a2a 2 ln( uu 2a 2 ) |0a3a= a 2 232ln(12 )。rsin, a cossin , a sin 的面积。10求球面 r = a cos解r=asin cos, a sinsin, a cos，r= a cos sin , a cos cos ,0E = r 2 = a 2 ,F= rr = 0 , G =r 2 = a 2 cos2. 球面的面积为：2S =2da 4 cos2 d2 a2 2 cos d2 a 2 sin|24 a 2 .202211.rr=tcos,tsin, t21 证明螺面 r

13、=ucosv,usinv,u+v和旋转曲面 r(t1, 02) 之间可建立等距映射=arctgu + v , t=u 21.分析 根据等距对应的充分条件, 要证以上两曲面可建立等距映射= arctgu+ v , t= u2 1 , 可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数 , 然后证明在新的参数下 , 两曲面具有相同的第一基本形式 .证明 螺面的第一基本形式为 错误 ! 未找到引用源。=2du 2 +2 dudv+( u 2 +1) dv 2 ,.旋转曲面的第一基本形式为 错误 ! 未找到引用源。 = (1t 2)dt 2t 2 d, 在旋转曲t21面上作一参数变换

14、=arctgu + v , t =u 21 , 则其第一基本形式为 :(1u 21)u21du 2(u 21)(12 du dv )2u 2u21u=( u 211)du 21du 22dudv(u21)dv 2 =2 du 2 +2 dudv+( u 2 +1)dv 2 = 错误 !u21 u 2未找到引用源。.所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t =u21 .3 曲面的第二基本形式r的第一基本形式 , 第二基本形式 .1. 计算悬链面 r =coshucosv,coshusinv,u解ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv =-coshusi

15、nv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshusinv,0,ruv =-sinhusinv,sinhucosv,0,r vv =-coshucosv,-coshusinv,0,Eru2 = cosh 2 u, Frurv =0, Grv2 =cosh2 u.所以错误 ! 未找到引用源。= cosh 2 udu2 + cosh 2 u dv2 .rurv1 coshucos ,coshusin, sinhusin ,n =F 2=vvvEGcosh 2ucoshu1 , M=0, N=coshu=1 .L=sinh2sinh 2 11所以错误 ! 未找到引用源。 = -du

16、 2 + dv2 。.2. 计算抛物面在原点的2x35x124x1 x22 x22 第一基本形式 , 第二基本形式 .解 曲面的向量表示为 r x1 , x2, 5 x122x1 x2 x22 ,2r x1 1,0,5x1 2x2 (0 ,0) 1,0,0 , rx2 0,1,2x12x2 (0 ,0 ) 0,1,0 , rx1 x1 0,0,5 ,r x1 x2 0,0,2 , r x2 x2 0,0,2 , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,错误 ! 未找到引用源。 = dx12dx22 ,错误 ! 未找到引用源。 =5dx124dx1

17、 dx22dx22 .r u,v 处处有 EN-2FM+GL=0。3. 证明对于正螺面 r =u cosv ,u sin v ,bv,-解r ucos v, sin v,0, r vu sin v, u cos v ,b ， ruu =0,0,0,ruv =-uucosv,cosv,0,rvv =-ucosv,-usinv,0,E ru21 ， F rurv 0 ，G rv2u 2b 2 ， L= 0, M =u2b, N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .b 24.求出抛物面 z1 (ax 2by2 ) 在 (0,0) 点沿方向 (dx:dy) 的法曲率 .2解 r x1

18、,0, ax ( 0, 0)1,0,0 , r y 0,1, by ( 0, 0) 0,1,0 , r xx 0,0, a , rxy 0,0,0r yy 0,0, b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b, 沿方向 dx:dy 的法曲率 knadx2bdy 2dx2dy2 .5.已知平面到单位球面 (S) 的中心距离为d(0d1), 求与(S) 交线的曲率与法曲率 .解 设平面与(S)的交线为 (C),则 (C) 的半径为1d 2 , 即 (C) 的曲率为k1, 又 (C) 的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于1 d 2 , 所以1d 2.(C) 的法曲率为 knk1d 2

19、=1 .6.利用法曲率公式 knII , 证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基I本量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径 R 的倒数 1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v) ，沿任意方向 du:dvk nIILdu 22MdudvNdv 21 或 - 1，所以 LMN (1 ) ，即第一、第二IEdu 22FdudvGdv 2RREFGR类基本量成比例。7求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。r=u cosv ,u sin v ,bv ，证明对于正螺面 rr ucosv,sin v,0, rv u sin v ,u co

20、s v, b ， ruu=0,0,0， r vv=-ucosv,-usinv,0，L=(ru , rv , ruu ) =0, N=(ru , rv , rvv )=0 . 所以 u 族曲线和 v 族曲线都是渐近线。而uEGF 2EG F 2族曲线是直线， v 族曲线是螺旋线。8. 求曲面 z xy 2 的渐近线 .解 曲面的向量表示为 r x,y, xy 2 , rx1,0, y 2 ,r y 0,1,2xy, r xx 0,0,0 ,r xy 0,0,2y, r yy 0,0,2x, Erx21 4 y 4 , Frx r y2xy 2 , G r y214x 2 y 2 .L0, M2

21、y, N2x.1 4x 2 y 21 4x 2 y 2y 4y 4渐近线的微分方程为Ldx 22MdxdyNdy 2 , 即 4 ydxdy2xdy 20, 一族为 dy=0,即.yc1 , c1 为常数 .另一族为 2ydx=-xdy,即 ln x 2 yc2 ,或 x2 yc, c为常数 . .9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线 .证 在每一条曲线 (C) 的主法线曲面上 , 沿 (C) 的切平面是由 (C) 的切向量与 (C)的主法向量所确定的平面, 与曲线 (C) 的密切平面重合 , 所以每一条曲线 (C) 在它的主法线曲面上是渐近线 .方法二：任取曲线: rrrr (s)

22、 ，它的主法线曲面为 S : rr (s,t)rr(s)tr(s) ，r sr (s)rr ) (1 t ) rr ， r trrtt ) rt &(s) rt(rt， r str(1rrrrrrrrr在曲线上， t = 0 ,st，即st, 曲面的单位法向量nEGF 2n，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线 .10. 证明在曲面 z=f(x)+g(y)上曲线族 x=常数 , y= 常数构成共轭网 .证 曲面的向量表示为r常数 ,y= 常数是两族坐标曲线。r =x,y, f(x)+g(y),x=, r y 0,1, grrr,r x 1,0, f . rxx0,0, f, rxy 0,0,0,

23、ryy0,0, grrrrxry0 , 所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族x= 常数 , y= 常数因为 M rxyEGF 2构成共轭网。r11. 确定螺旋面 r =u cosv ,u sin v ,bv 上的曲率线 .解rucos v, sin v,0, r vu sin v, u cos v, b，ruu=0,0,0，r vv =-ucosv,-usinv,0， ruv =-sinv,cosv,0,Eru21 ，Frurv0 ，.G rv2u 2b 2 ， L=0, M=b, N=0, 曲率线的微分方程为 :u 2b 2dv 2dudvdu 2110u 2b20 , 即 dvdu , 积分得

24、两族曲率线方程 :0b0u 2b 2u 2b 2vln( uu 2b 2 )c1 和vln(u 2b 2u)c2 .12. 求双曲面 z=axy 上的曲率线 .解E1a 2 y2 , Fa 2 x 2 y 2 , G1a 2 x2 , L0, Ma, N=0 .1a 2 x 2a 2 y2dy2dxdydx2由 1 a 2 x 2a 2 x2 y 21 a 2 x2 =0 得 (1 a 2 y2 )dx 2(1 a 2 x 2 )dy 2 , 积分0a012x2a 2 y2a得两族曲率线为 ln(ax1 a 2 x2 )ln( ay1a2 y 2 )c .13. 求曲面 r a (uv), b

25、 (u v), uv 上的曲率线的方程 .222解Ea 2b 2v 2, Fa 2b2uv ,Ga 2b 2u 2, L 0,444abM=2,N=0. 代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:EGF 2(a 2b2u 2 )dv 2(a 2b2v 2 )du 2 , 积分得 :ln( ua 2b2u 2 )ln( va2b 2v 2 )c .14. 给出曲面上一曲率线 L, 设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角 , 求证 L 是一平面曲线 .证法一：因 L 是曲率线 , 所以沿 L 有 dnn dr, 又沿 L 有? n =常数 , 求微商得nn0, 而 n / dn /

26、dr 与 正交 , 所以n0 , 即 -n =0, 则有=0, 或n =0 .若 =0,则 L 是平面曲线；若n=0 ，L 又是曲面的渐近线， 则沿 L ， n =0 ，这时 dn = 0， n 为常向量，而当 L 是渐近线时，=n ，所以为常向量， L 是一平面曲线 .证法二：若n，则因 nrrrdr ，所以 n ，所以 d n &，由伏雷rr=0, 从而内公式知 d n （）而 L 是曲率线，所以沿 L 有 dn r ，所以有曲线为平面曲线；rrr&若 不垂直于 n ， 则有 ?n =常数 , 求微商得n因为 L 是曲率线，n 0,所rrrr以沿 L 有 dn dr，所以&0，所以 n0

27、，即-n =0 ，若 =0，则问n题得证；否则rr0 ，有 n rrrn =0 ，则因 n， dn d （ -），矛盾。15如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。.16 求正螺面的主曲率。解 设正螺面的向量表示为rr =u cosv ,u sin v ,bv.解 r ucos v,sin v,0, rvu sin v ,u cos v, b ， ruu=0,0,0，r vv =-ucosv,-usinv,0， ruv =-sinv,cosv,0,Eru21 ，Frurv0 ，G

28、rv2u 2b 2 ， L= 0, M =b, N = 0,代入主曲率公式u2b 2（ EG-F 2 ） N2 - （ LG-2FM+EN）N + LN- M 2 = 0 得 N2 =a 2。(u2a 2 ) 2所以主曲率为1a, 2a。2a2u2a2u确定抛物面z=a(x 2y 2 ) 在（ 0， 0）点的主曲率 .17解 曲面方程即r，r x, y, a(xy) ，rxr，ryy0,0, 2ar22r1,0, 2 ry0,1, 2ayrrxx 0,0, 2a ，rrxy 0,0,0, rryy0,0,2a 。在（0，0）点 ,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a . 所以N2 -4aN +4 a 2 =0 ，两主曲率分别为1 =