第五章5 3分部积分法

1、第三节 不定积分的分部积分法基本内容小结一、分部积分公式设函数u = u( x)和v = v( x)具有连续导数,由 (uv) = uv + uv, d(uv) = uvdx + uvdx,d(uv) = uvdx + uvdxuv = udv + vdu, udv = uv - vdu.-分部积分公式 x cos xdx .例1 (1) 求积分xdx = 1 dx2 = dv令u = cos x,解（一）2x2x2 x cos xdx=cos x + sin xdx22显然，u,v 选择不当，积分更难进行.令 u = x,cos xdx = d sin x = dv解（二） x cos xd

2、x= xd sin x = x sin x - sin xdx= x sin x + cos x + C. x2ex dx.(2)解ex dx = de x= dv,u = x2 , x2ex dx2= x2ex - exdx= x2dex= x2ex - 2 xexdx= x2ex - 2 xdex= x2ex - 2( xe x - ex ) + C. x arctan xdx.(3)解x2令 u = arctan x ,xdx = d= dv2x22arctan x - xd(arctan x) x arctan xdx=222= xx21arctan x - 2dx1 + x222=

3、x12112arctan x - (1 -)dx1 + x222= xarctan x -( x - arctan x) + C.2 x3 ln xdx.(4)x4u = ln x,x3dx = d= dv,解4 x3 ln xdx= 1 ln x d(x4 )4= 1 x4 ln x - 1 x3dx44= 1 x4 ln x -1+ C .x4416求积分 ex sin xdx.(5)= sin xde x解= ex sin x - exd(sin x)= ex sin x - ex cos xdx = ex sin x - cos xdex= ex sin x - (ex cos x -

4、 exd cos x)= ex (sin x - cos x) -x ex sin xdx= e(sin x - cos x) + C .2 ex sin xdx注意循环形式 ex sin xdx udv = uv - vdu幂三幂指幂为u 对数反三自为u x2ex dx. xarctan xdx, xcos xdx, x3 ln xdx, ex sin xdx.三指相乘任意取分布两次移项求例2计算下列积分arcsinxdx = x arcsinx - x 1dx(1)1 - x2= x arcsinx + 1 1d(1 - x2 )1 - x22= x arcsinx +1 - x2 + C

5、(2) ln(x +1 + x2 )dx求In = (ln x)dx的递推公式(n为正整数，且n 2),n并用公式计算 (ln x)3dx例32例 4 已知 f ( x)的一个原函数是e- x,求 xf ( x)dx . xf ( x)dx = xdf ( x)= xf ( x) - f ( x)dx,解Q f(x)dx = e-x2 + C,两边同时对 x求导, 得2f ( x) = -2 xe- x, xf ( x)dx =xf ( x) - f ( x)dx22= -2 x2e- x - e- x+ C . ex dx例5二、小结合理选择 u,v，正确使用分部积分公式 uvdx = uv

6、 - uvdx思考题在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的 u 应为同类型函数. ex cos xdx第一次时若选例u1 = cos x ex cos xdx = ex cos x + ex sin xdxu2 = sin x第二次时仍应选练习题一、填空题：1、 x sin xdx = ；2、arcsin xdx = ；3、计算 x 2ln xdx ， 可设 u = ,dv = 4、计算 e - xcos xdx ，可设 u = ,dv = 5、计算 x 2arctan xdx，可设 u = ,dv = 6、计算 xe- x dx ，可设 u = ,dv =

7、.二、求 下列不定积分：(ln x)3x1、 x 2 dx ； 2 、 cos2dx ；x 223、 eax cos nxdx；5、cos(ln x)dx ；4、 e 3x dx；xearctan x6、dx .3(1 + x 2 ) 2三、已 知sin x 是f ( x) 的原函数，求 xf ( x)dx .xf ( x)dx = F ( x) + C ， f ( x) 可微，且f ( x) 的反四、设 函数 f -1 ( x) 存在，则f -1 ( x)dx =xf -1 ( x) - F f -1 ( x)+ C .练习题答案一、1、- x cos x + sin x + C ； 2、x arcsin x +1 - x 2+ C ； 3 、 ln x , x 2 dx ； 4 、 e - x , cos xdx ； 5、arctan x , x 2 dx ； 6、x , e - x dx .x 31+sin x + x cos x - sin x + C ；x 2二、1、622 、 - 1 (ln x)3 + 3(ln x)2 + 6 ln x + 6 + C ；xeax(a cos nx + n sin nx) + C3、a 2+ n234、3e- 23x + 2) + C ；x