第一节 导数的概念.ppt

1、第二章导数与微分,第一节导数的概念,一、瞬时速度 曲线的切线斜率,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、导函数,六、可导与连续的关系,四、导数的物理意义,1.变速直线运动的瞬时速度,如果物体作直线运动，,在直线上选取坐标系，,该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数，记为,s = s(t)，,则从时刻 t0 到 t0 + t 的时间间隔内它的平均速度为,一、瞬时速度 曲线的切线斜率,叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度，简称速度，,在匀速运动中，,这个比值是常量，,但在变速运动中，它不仅与 t0 有关，,而且与 t 也有关，,很小时，,与在 t0 时刻的速度相近似.,如果当 t 趋于 0 时

2、，,平均速度 的极限存在，,则将这个极限值,即,当 t,记作 v (t0)，,点 P 是曲线 L 上的动点，,2.曲线切线的斜率,定义1设点 P0 是曲线 L 上的一个定点，,T,P0,P,x0,x0+x,N,当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时，,如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在，,则称直线 P0 T 为曲线 L 在点 P0 处的切线.,设曲线方程为 y = f (x).,在点 P0(x0, y0) 处的附近取一点 P(x0 + x , y0 + y ) .,那么割线 P0 P 的斜率为,x,y,y = f (x),如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时，割线 P0P 的极限

3、位置存在，,即点 P0 处的切线存在，,此刻 x 0， ，,割线斜率 tan 趋向切线 P0 T 的斜率 tan ，,即,切线定义,定义2设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内有定义.,在 x0 处给 x 以增量 x (x0 + x 仍在上述邻域内)，,函数 y 相应地有增量,y = f (x0 + x ) - f (x0) ，,二、导数的定义,则称此极限值为函数y = f (x)在点 x0 处的导数.,即,此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导.,有时为了突出自变量 x，又叫函数 f (x) 对 x 的导数，记为 .,如果上述极限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可

4、导.,例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1).,解 第一步求 y ：,y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12,= 2x +(x)2 .,第三步求极限：,所以 f (1) = 2.,第二步求 ：,函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0) 处的切线的斜率,即,tan = f (x0).,y = f (x),x0,P,三、导数的几何意义,法线方程为,其中 y0 = f ( x0).,y - y0 = f ( x0)(x - x0) .,由此可知曲线 y

5、 = f (x)上点 P0 处的切线方程为,例 2求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程.,解从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率为 2 ，,所以, 切线方程为,y 1 = 2(x - 1).,即,y = 2 x - 1.,法线方程为,即,从导数的几何意义可知：,导数的绝对值|f (x0)|越小，曲线在该点附近越平缓.,导数的绝对值|f (x0)|越大，曲线在该点附近越陡；,四、导数的物理意义,对于不同的物理量有着不同的物理意义.,例如变速直线运动路程 s = s(t) 的导数，就是速度，即 s(t0) = v(t0).,我们也常

6、说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度.,例如变速直线运动速度v = v(t) 的导数，就是加速度，即 v(t0) = a(t0)，,即速度函数 v(t) 对时间的导数就是加速度.,例 3求函数 y = x2 在任意点 x0 ( , )处的导数.,解,y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02,= 2x0 x + (x) 2.,五、导函数,第二步求 ：,求法与例 1 一样.,第一步求 y：,第三步取极限：,即,有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数，就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得,它的计算公式是：,例 3 表明，给定了 x0 就

7、对应有函数 f (x) = x2的导数值,这样就形成了一个新的函数，,f (x) = x2 的导函数，它的表达式就是,(x2) = 2x .,一般地，函数 f (x) 的导函数记作 f (x)，,叫做函数,注意：计算极限过程中 x 是不变的.,类似例 3，我们可以得 xn (n为整数) 的导函数，,当 n 为任意实数 时，上式仍成立，即,(xn)= nxn-1 .,(x ) = x -1 .,例 4求 f (x) = sin x 的导函数 ( x ( ， ).,解,即,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,类似可得,例 5求 f (x) = ln x (x (

8、0, ) ) 的导函数.,解,即,类似可得,解,例 6求 f (x) = ex (x (- , ) ) 的导函数 .,即,(ex) = ex.,类似可得,(ax) = ax lna .,例 7问曲线 y = ln x 上何处的切线平行直线 y = x + 1？,解 设点 ( x0 , y0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1，,根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知,即 x0 = 1，代入 y = lnx 中，得 y0 = 0，,所以曲线在点 (1, 0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1.,存在，则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记作 f -(x0)；,定

9、义3,则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数，记作 f +(x0) .,显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f -(x0) 及 f +(x0) 存在且相等 .,定义4如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x) 在区间 I 上可导.,如果,同样，,如果 I 是闭区间a, b，则端点处可导是指 f +(a)、 f -(b) 存在 .,定理如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真.,证,其中 y = f (x0 + x) - f (x0)，,所以,六、可导与连续的关系,即函数 f (x) 在点 x0

10、 处连续.,但其逆不真，即函数 f ( x ) 在点 x0 处连续，,而函数 f ( x ) 在点 x0 处不一定可导.,例 8 讨论函数 y = | x | 在点 x0 = 0 处的连续性与可导性.,解 y = f (0 + x ) - f (0),= | 0 + x | - | 0 |,= | x |，,即 f ( x ) = | x | 在 x0 = 0 处连续，,存在，,在 x0 = 0 处左、右导数不相等，所以在 x = 0 处函数 y = | x | 不可导.,因为,在 x = 1 处的连续性与可导性.,解先求在 x = 1 时的 y .,当 x 0 时，,y = f (1 + x) - f (1),= (